专题30 三角形综合练习-冲刺2023年中考几何专项复习（解析版+原卷版+知识点）

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专题30 三角形综合练习（提优）
一．选择题
1．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③△DMN为等腰三角形；④DM平分∠BMN；⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝22.5°，继而可得∠AFE＝∠AEB＝67.5°，即可判断①；
②求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断②；
③根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM＝22.5°，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判断③；
④求出∠BMD＝45°＝∠BMN，即可判断④；
⑤证明△AFB≌△CNA可得AF＝CN，由AF＝AE，即可判断⑤．
【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝22.5°，
∴∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠AEB＝∠AFE
∴AF＝AE，故①正确；
②∵AF＝AE，M是EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠ADB＝90°，
∵∠AFM＝∠BFD
∴∠DAN＝∠FBD，
在△FBD和△NAD中
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，AN＝BF，
故②正确；
③∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四点共圆，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
故③正确；
④∵∠DNA＝∠MDN＝67.5°，
∴∠DMN＝45°，
∵∠BMN＝90°，
∴∠BMD＝45°＝∠BMN，
∴DM平分∠BMN，
故④正确；
⑤在△AFB和△CNA中，
∠BAF=∠C=45°AB=AC∠ABF=∠CAN=22.5°，
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
故⑤正确；
其中正确结论的个数是：①②③④⑤，5个；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质和应用，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，CE⊥CD，且CE＝CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA＝165°，②BE＝BC；③AD＝BE；④CD＝BD．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①根据：∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA＝165°，从而得证结论正确；
②根据CE⊥CD，∠ECA＝165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；
③由②的结论，等量代换即可；
④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD＝30°，可得CM=12AC，求证△CMD≌△CND，可得CN＝DM=12AC=12BC，从而得出CN＝BN．然后即可得出结论．
【解答】解：∵∠CAD＝30°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECA＝165°，①正确；
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，③正确；
∵BC＝AD，
∴BE＝BC，②正确；
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD＝30°，且DM=12AC，
∵AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠NCD＝90°﹣∠ACD＝15°，∠MDC＝∠DMC﹣∠ACD＝15°，
在△CMD和△CND中，
∠CMD=∠CND∠MDC=∠NCDCD=CD，
∴△CMD≌△CND，
∴CN＝DM=12AC=12BC，
∴CN＝BN．
∵DN⊥BC，
∴BD＝CD．∴④正确，
故选：D．

【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握．
3．已知，等腰Rt△ABC中AC＝BC，点D在BC上，且∠ADB＝105°，ED⊥AB，G是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE＝2FG，连GE、GB．则下列结论：
①AG⊥BE；②∠DGE＝60°；③BF＝2FG；④AD+2DC＝AB．
其中正确的结论有（　　）

A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】延长ED交AB于M，证△ACD≌△BCE知∠ADC＝∠BEC＝75°，即可判断①；求得Rt△EDF中∠EDF＝60°，知DE＝2DF＝2FG即DF＝FG，结合AG⊥BE可判断②；在Rt△ACD中由∠ADC＝75°可令CD=6−2、AC=2+6、AD＝4，根据AB=2AC，变形后可判断④；由DE=2CD、FG=12DE、EF=32DE可得FG、EF，再根据BF＝BE﹣EF＝AD﹣EF可得BF的长，即可判断③．
【解答】解：如图，延长ED交AB于M，

则∠DMB＝90°，
∵∠ADB＝105°，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠MDB＝45°，∠ADC＝75°，∠CAD＝15°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CE＝CD，
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC∠ACD=∠BCE=90°CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝75°，
∴∠AFE＝180°﹣∠CAD﹣∠CEB＝90°，即AF⊥BE，故①正确；

∵∠ADC＝75°，∠CDE＝45°，
∴Rt△EDF中，∠EDF＝60°，
∴DE＝2DF＝2FG，即DF＝FG，
∴EF垂直平分DG，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠DGE＝60°，故②正确；

方法一：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝75°，
∴∠PAD＝15°，
作∠ADP＝∠PAD＝15°，
则PA＝PD，∠CPD＝30°，
设CD＝a，则PD＝PA＝2a，PC=3a，
∴AD=CD2+AC2=a2+(2a+3a)2=8+43a，
则CDAD=a8+43a=18+43=8−4316=6−24，
同理可得ACAD=6+24，
∴CD：AC：AD＝（6−2）：（6+2）：4，
∴令CD=6−2、AC=2+6、AD＝4，
∴AB=2AC=2（2+6）＝2+23=4+2（6−2）＝AD+2CD，故④正确；
方法二：由①知∠AFB＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF＝75°，
∴∠DBF＝15°，
由②知△DEG为等边三角形，且BE⊥AG，
∴DF＝GF，
∴∠DBF＝∠GBF＝15°，
∴∠BGF＝90°﹣∠GBF＝75°，
∵∠ABG＝∠ABD+∠DBF+∠GBF＝75°，
∴AB＝AG，
又∵DG＝DE=2CD，
∴AB＝AG＝AD+DG＝AD+2CD，故④正确；

∵DE=2CD=2（6−2）＝23−2，
∴FG=12DE=3−1，EF=32DE＝3−3，
∴BF＝BE﹣EF＝AD﹣EF＝4﹣3+3=1+3，
显然BF≠2FG，故③错误；
综上可知，①②④正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、中垂线的性质、等边三角形的判定及角平分线定理等知识点，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．
4．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G．则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE＝AF；（4）S△ACF＝5−5；（5）EG2＝FG•DG．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由余角的性质和角平分线的性质可得∠ACE＝∠AFD＝∠CFE，且∠CEF＝∠CEA＝90°，可证△EFC∽△ECA；
②由“ASA”可证△AEC≌△AEH，可得AC＝AH＝25，CE＝EH，通过证明△CGE∽△CDH，可求GE=12DH=5−1，CG=12CD＝2，可证BC≠CE，可得△ABC与△AEC不全等；
③由“ASA”可证△ADF≌△CGE，可得CE＝AF；
④通过证明△ADF∽△EGF，可得GEAD=GFDF，可求DF=5−1，GF＝3−5，由三角形的面积公式可求S△ACF＝5−5；
⑤分别求出EG2，FG•DG的值，即可求解．
【解答】解：如图，延长AD，CE交于点H，

∵AE平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠FAC，
∵AE⊥CE，
∴∠CAE+∠ACE＝90°＝∠DAE+∠AFD＝90°，
∴∠ACE＝∠AFD＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠CEA＝90°，
∴△EFC∽△ECA，故①正确；
∵矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，
∴AC=AB2+BC2=4+16=25，
∵∠DAF＝∠FAC，AE＝AE，∠AEH＝∠AEC＝90°，
∴△AEC≌△AEH（ASA），
∴AC＝AH＝25，CE＝EH，
∴DH＝25−2，
∵EG∥DH，
∴△CGE∽△CDH，
∴GEDH=CECH=CGCD，
∴GEDH=12=CGCD
∴GE=12DH=5−1，CG=12CD＝2，
∴CE=CG2+GE2=4+5+1−25=10−25，
∴CE≠BC，
∴△ABC与△AEC不全等，故②错误；
∵AD＝2，CG＝2，
∴AD＝CG＝DG＝2，
∵∠DAF+∠AFD＝90°＝∠CFE+∠ECF，
∴∠DAF＝∠ECF，
又∵∠ADF＝∠EGC＝90°，
∴△ADF≌△CGE（ASA），
∴AF＝CE，故③正确；
∵GE∥AD，
∴△ADF∽△EGF，
∴GEAD=GFDF，
∴5−12=GFDF，
∵DF+GF＝DG＝2，
∴DF=5−1，GF＝3−5，
∴S△ACF=12×CF×AD=12×（2+3−5）×2＝5−5，故④正确；
∵EG2＝（5−1）2＝6﹣25，FG•DG＝6﹣25，
∴EG2＝FG•DG，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝42−4；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE＝OH；
②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF＝EC；
③由线段的垂直平分线的性质可求BC＝BE＝4，由正方形的性质可求BP＝PE＝22，可求BF的长；
④通过证明△BOH∽△BGE，可得BHBE=BOBG，可得BH•BG＝BE•BO．
【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝22，
∴PC＝4﹣22=QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝22−（4﹣22）＝42−4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BHBE=BOBG，
∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是三角形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，直角三角形的性质的应用，相似三角形的判定和性质等知识，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．
6．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．下列结论：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．其中一定正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO＝AP，可证△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，

∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴12BD×AH=12CE×AF，且BD＝CE，
∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE＝PD，连接AO，

∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP＝AO，
∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO＝60°，且AP＝AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD，故④符合题意．
故选：C．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有（　　）
（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF•BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）S△ADF=29S△ABC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH＝EG，BG＝DG，由三角形中位线定理可得EG∥DF，GE=12DF，可得GH=12DF；
②通过证明△BDF∽△BCD，可得BDBC=BFBD，可证BD2＝BC•BF；
③由菱形的判定可证四边形EBHD是菱形；
④条件不足，无法证明．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AB，
∴四边形DEBH是平行四边形，
∴GH＝EG，BG＝DG，
又∵EF＝BE，
∴EG∥DF，GE=12DF，
∴GH=12DF，
∴GH：DF＝1：2，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝EF，
∴∠BDF＝90°＝∠C，
又∵∠ABD＝∠DBC，
∴△BDF∽△BCD，
∴BDBC=BFBD，
∴BD2＝BC•BF，故②正确；
∵BE＝DE，四边形DEBH是平行四边形，
∴四边形DEBH是菱形，故③正确；
条件不足，无法证明S△ADF=29S△ABC．故④错误，
故选：C．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
8．如图，△ABC为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接CD，过D作DE⊥DC交AB于点E，F为DE上一点且DF＝DC，连接BF，N为BF中点，延长DN至点M，交BC于点G，使得∠ABM＝∠ACD，连接AM，AF，BM，下列结论：①MN＝ND；②DM=2AM；③∠BAM＞∠CGD；④2AF+BF＝DM；⑤若BM＝2，AB=10，AF=2，则S四边形ACDF＝4．其中正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】连接AD，交BC于H，连接AN，CF，由“SAS”可证△BMN≌△FDN，可得MN＝DN，BM＝DF，由“SAS”可证△ABM≌△ACD，可得AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，由等腰直角三角形的性质和三角形的三边关系以及三角形的面积公式依次判断可求解．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵CD⊥DE，
∴∠BAC＝∠EDC＝90°，
∵∠CDE+∠DEA+∠BAC+∠ACD＝360°，
∴∠ACD+∠AED＝180°，
∵∠ACD+∠BED＝180°，
∴∠BED＝∠ACD，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴∠ABM＝∠BED，
∴BM∥DE，
∴∠BMD＝∠EDM，
∵N为BF中点，
∴BN＝NF，
又∵∠BNM＝∠DNF，
∴△BMN≌△FDN（AAS），
∴MN＝DN，BM＝DF，故①正确；
如图1，连接AD，交BC于H，连接AN，CF，

∵CD＝DF，
∴DC＝BM，
又∵AC＝AB，∠ABM＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠CAD+∠BAD＝∠BAM+∠BAD＝∠MAD＝90°，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∴MD=2AM，∠AMD＝∠ADM＝45°，故②正确；
∴∠ACB＝∠ADM＝45°，
又∵∠AHC＝∠GHD，
∴∠CAD＝∠CGD，
∴∠BAM＝∠CGD，故③错误；
∵△MAD是等腰直角三角形，MN＝ND，
∴MD＝2AN，
在△ANF中，AN＜AF+FN，
∴2AN＜2AF+2FN，
∴MD＜2AF+BF，故④错误；
∵BM＝2＝DF＝CD，
∴CF=2CD＝22，
∵AF2+CF2＝2+8＝10，AB2＝10，
∴AF2+CF2＝AB2，
∴∠AFC＝90°，
∴S四边形ACDF＝S△CFD+S△AFC=12×22×2+12×2×2＝4，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD＝CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正确的说法有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①正确．根据SAS证明三角形全等即可．
②正确．证明∠BGE=12∠BFE，∠BFE＝60°即可．
③正确．证明∠BGF＝30°+12∠EAC，∠ABG＝30°+12∠ABD即可．
④正确．过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，想办法证明GF＝GC，AH＝AG即可．
⑤正确．由题意，S△AEGS△CBG=12⋅AE⋅GJ12⋅BC⋅GK=AEBC，因为AE＝BD，推出S△AEGS△CBG=BDBC，又因为S△BGDS△BGC=DGGC=12⋅BD⋅GT12⋅BC⋅GK=BDBC，由此可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠ACE=60°AD=CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），故①正确，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵∠BFE＝∠BAE+∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，
∵∠AEC＝∠EBF+∠BFE，
∴∠AEC＝∠FBE+60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC=12∠AEC=12∠FBE+30°，∠GBE=12CBD=12∠FBE，
∵∠GEC＝∠GBE+∠BGE，
∴∠BGE＝30°，故②正确，
∵FG平分∠DFE，BG平分∠FBE，
∴同法可得∠BGF=12∠AEB=12（∠EAC+∠C）=12∠EAC+30°，
∵∠ABG＝∠ABD+∠DBG＝∠ABD+12（60°﹣∠ABD）=12∠ABD+30°，
∵∠ABD＝∠EAC，
∴∠ABG＝∠BGF，故③正确，
过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴GT＝GK＝GJ，
∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，
∴△GJF≌△GKC（AAS），
∴GF＝GC，
∵∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，
∴∠BAH＝∠AGF，
∵∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∠AGH＝∠BGF+∠AGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∴AH+GF＝AG+GC＝AC＝AB，
∴AB＝AH+GF，故④正确，
∵S△AEGS△CBG=12⋅AE⋅GJ12⋅BC⋅GK=AEBC，
∵AE＝BD，
∴S△AEGS△CBG=BDBC，
∵S△BGDS△BGC=DGGC=12⋅BD⋅GT12⋅BC⋅GK=BDBC，
∴∵S△AEGS△CBG=DGGC，故⑤正确，
故选：A．

【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC＝45°；②BD=12AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；⑤AC+ABAM为定值，其中正确的结论有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】通过证明点A，点C，点D，点B四点共圆，由圆周角的性质可判断①；延长BD，AM交于点F，由“ASA”可证△ACE≌△BCF，可得AE＝BF，由互余的性质可求BF＝2BD＝AE；过点E作EH⊥AB于H，由“AAS”可证△CEA≌△HEA，可得AC＝AH，CE＝EH，由直角三角形性质可得BH＝HE＝CE，可判断③；由全等三角形的性质和平行线分线段成比例可判断④，设AC＝BC＝a，用a表示AB，CE，CM，AM，即可求判断⑤．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴点A，点C，点D，点B四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∠CAD＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，
∴①正确；
如图，延长BD，AM交于点F，

∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCF＝90°，
∴△ACE≌△BCF（ASA）
∴AE＝BF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠DBC＝∠DCB，且∠BCF＝90°，
∴CD＝BD，∠BCD+∠DCF＝90°，∠DBC+∠F＝90°，
∴∠DCF＝∠F，
∴CD＝DF，
∴CD＝DF＝BD，
∴BF＝2BD＝AE，
故②正确；
如图，过点E作EH⊥AB于H，

∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∠ACB＝∠AHE＝90°，
∴△CEA≌△HEA（AAS）
∴AC＝AH，CE＝EH，
∵∠ABC＝45°，∠EHB＝90°，
∴∠ABC＝∠HEB＝45°，
∴BH＝HE＝CE，
∴AB＝AH+HB＝AC+CE，
故③正确；
∵AB＝AC+CE＝BC+CE，
∴AB﹣BC＝CE，
∵△ACE≌△BCF，
∴CF＝CE，
∴CF＝AB﹣BC，
∵DM⊥AC，∠ACB＝90°，
∴DM∥BC，
∴BDBF=CMCF=12，
∴CF＝2CM，
∴AB﹣BC＝2CM，
故④正确；
设AC＝BC＝a，
∴AB=2a，
∴CF＝CE＝BH＝AB﹣AC＝（2−1）a，
∴CM=2−12a，
∴AM=2+12a，
∴AC+ABAM=(2+1)a2+12a=2，
故⑤正确，
故选：D．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了四点共圆的判断，圆的性质，圆周角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，解本题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形．
11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论，①△AEF∽△CAB②S△DFC＝4S△FDE③DF＝DC④AD=2AB，其中正确的结论是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①正确．只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；
②根据三角形的面积公式即可得到结论，
③根据已知条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM＝DE=12BC，根据线段垂直平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论；
④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：①如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，S△DCF＝4S△DEF
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；

②∵点E是AD边的中点，
∴S△DEF=12S△ADF，
∵△AEF∽△CBF，
∴AF：CF＝AE：BC=12，
∴S△CDF＝2S△ADF＝4S△DEF，故②正确；

③∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE=12BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF＝DC，
故③正确；

④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，
由△BAE∽△ADC，有 ba=2ab，即b=2a，
∴tan∠CAD=CDAD=ABAD=22．
∴AD=2AB
故④正确；
故选：A．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
12．如图，等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°、AD＝AE，BE和CD交于点N，AF⊥BE、FG⊥CD交BE的延长线于点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②AN垂直平分BC；③GE＝GM；④BG＝AF+FG．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由余角的性质可求∠ABE＝∠FAC，可判断①；由“SAS”可证Rt△ABE≌Rt△ACD，可得∠ABE＝∠ACD，可求∠CBN＝∠BCN，可得BN＝CN，由线段垂直平分线的性质可得AN垂直平分BC，可判断②；由余角的性质可得∠AEB＝∠FMC，可得∠GEM＝∠GME，可证GE＝GM，可判断③；过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH，由“SAS”可证△GFK≌△HFK，可得GK＝KH，GF＝FH，可得AF+FG＝AH，由线段垂直平分线的性质可得BH＝BG，由等腰三角形的判定和性质可得AH＝BH，可得BG＝AH＝AF+FG，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠ABE＝∠FAC，故①正确；
如图，连接AN，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°，
∵AD＝AE，∠BAC＝∠BAC，AC＝AB，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠CBN＝∠BCN，
∴BN＝CN，
又∵AB＝AC，
∴AN垂直平分BC，故②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BEA＝∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM＝90°，
而∠ADC+∠DCM＝90°，
∴∠AEB＝∠FMC，
∴∠GEM＝∠GME，
∴GE＝GM，故③正确．
如上图，过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH，
∵CD⊥FG，AF⊥BG，
∴∠GFC+∠BCN＝90°，∠CBN+∠BFA＝90°，
∴∠GFC＝∠AFB，
∴∠GFC＝∠HFK，
在△GFK和△HFK中，
∠GFK=∠HFKFK=FK∠GKF=∠HKF，
∴△GFK≌△HFK（SAS），
∴GK＝KH，GF＝FH，
∴AF+FG＝AF+FH＝AH，
∵GK＝KH，GH⊥BC，
∴BG＝BH，
又∵BC⊥GH，
∴∠GBC＝∠HBC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∴∠ABC+∠GBC＝∠ABC+∠HBC＝∠ABH＝90°﹣∠ACD，
∵∠BAH＝90°﹣∠FAC，∠ABE＝∠CAF＝∠ACD，
∴∠ABH＝∠BAH，
∴AH＝BH，
∴BG＝AH＝AF+FG，故④正确，
故选：D．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二．填空题
13．如图，在平面直角坐标中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；
②C，O两点之间的最大距离为4；
③当BO＝BC时，则AB⊥CO；
④AB的中点D运动路径的长为12π．
其中正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序号）．

【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA＝AC；
②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；
③如图2，当∠ABO＝30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；
④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，AC=42−22=23，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，

∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝23；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE=12AB＝2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；

③如图2，

在Rt△AOB和Rt△ACB中，
BO=BCAB=AB，
∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL），
∴AC＝AO，OB＝OC，
∴AB垂直平分OC．
所以③正确；
④如图3，

斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14，
则：90π×2180=π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②③；
故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．
14．如图，△ABC中，AD为BC上的中线，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，点F在AC的延长线上，连接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，则AB＝　7　．

【分析】延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，GF，过点C作CH⊥BG于H，过作CN⊥BE于N，由平行四边形的判定可证四边形ABGC是平行四边形，可得AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，由“AAS”可证△BCN≌△△BCH，可得BN＝BH，CN＝CH，由三个角是直角是四边形是矩形可证四边形CFGH是矩形，可得HG＝CF＝1，由线段的数量关系可求EN的长，由直角三角形的性质可求CN＝CH＝43，由勾股定理可求CG的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，GF，过点C作CH⊥BG于H，过作CN⊥BE于N，

∵AD为BC上的中线，
∴BD＝CD，且DG＝AD，
∴四边形ABGC是平行四边形，
∴AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，
∴∠ACB＝∠CBG，且∠EBC＝∠ACB，
∴∠EBC＝∠CBG，且∠N＝∠CHB＝90°，BC＝BC，
∴△BCN≌△BCH（AAS），
∴BN＝BH，CN＝CH，
∵AC﹣BE＝5，
∴BG﹣BE＝BH+HG﹣BE＝BN+HG﹣BE＝EN+HG＝5，
∵AD＝DF，AD＝DG，
∴AD＝DF＝DG，
∴∠AFG＝90°，
∵AC∥BG，CH⊥BG，
∴CH⊥AF，且CH⊥BG，∠AFG＝90°，
∴四边形CFGH是矩形，
∴CF＝HG＝1，
∴EN＝4，
∵∠BEC＝120°，
∴∠NEC＝60°，且∠N＝90°，
∴NC=3EN＝43，
∴CH＝43，
∴AB＝CG=CH2+HG2=48+1=7，
故答案为：7．
【点评】本题是三角形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，点E在边AB上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．连接EF．下列结论：①BE+CF=22BC；②AD≥EF；③S四边形AEDF=12AD2；④S△AEF≤14S△ABC，其中正确的是　①③④　（填写所有正确结论的序号）．

【分析】由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，由等腰直角三角形的性质可判断①，③，由三角形的三边关系可判断②，由三角形面积关系可判断④．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，
∴BD＝CD＝AD=12BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC=2AB，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC=2AB，
∴BE+CF=22BC，故①正确；
∵AE+AF≥EF，
∴AF+CF≥EF，
∴AC≥EF，
∴2AD≥EF，故②错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC=12×AD2，故③正确；
∵S△AEF=12×AE×AF，且AE+AF＝AC，
∴当AE＝AF时，S△AEF的最大值=14S△ABC，
∴S△AEF≤14S△ABC，故④正确，
故答案为：①③④
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
16．如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有　①②③　．（只需要填写序号）

【分析】①首先由等边三角形的性质易得AB＝AC＝BC，由垂直平分线的性质易得AP＝AC，等量代换可得AP＝AB，由SAS定理可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；
②在CP上截CQ＝PD，证明△ACQ≌△APD，等量代换，证得△ADQ为等边三角形，得出结论；
③由等腰三角形的性质可得AD是BP的垂直平分线；
④由垂直平分线的性质可得PH＝CH，由等边三角形的性质可得BD＝DH＝PD，可得PC＝4PD．
【解答】解：①∵AH是PC的垂直平分线，
∴PA＝AC＝AB，
∵AD平分∠PAB，
∴∠PAD＝∠BAD，
在△PAD和△BAD中，
PA=BA∠PAD=∠BADAD=AD，
∴△PAD≌△BAD（SAS），
∴DP＝DB；故①符合题意；
②在CP上截取CQ＝PD，连接AQ，如图所示：

∵AP＝AC，
∴∠APD＝∠ACQ，
在△APD和△ACQ中，
AP=AC∠APD=∠ACQPD=CQ，
∴△APD≌△ACQ（SAS），
∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD，
∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠PAD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，
∴△ADQ为等边三角形，
∴DA＝DQ，
∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，
即DA+DB＝DC．故②符合题意；
③∵AB＝AP，AD平分∠PAB，
∴AD⊥PB，故③符合题意；
④∵AH垂直平分PC，
∴PH＝CH，
∵△BDH为等边三角形，
∴DB＝DH，
∵PD＝DB，
∴PD＝DH，
∴PH＝2PD，
∴CP＝4PD，故④不合题意，
故答案为：①②③．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形和直角三角形是解题的关键．
17．将一张圆形纸片，进行了如下连续操作

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示
（4）连接AE、AF，如图（5）所示，则S△AEF：12S圆=　33：2π　．
【分析】由折叠的性质可得∠BMD＝∠BNF＝90°，证得CD∥EF，再根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN＝MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，连接ME，求出∠MEN＝30°，再求出∠EMN＝60°，根据等边对等角求出∠AEM＝∠EAM，由三角形的外角性质求出∠AEM＝30°，得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，判定△AEF是等边三角形，设圆的半径为r，求出MN=12r，EN=32r，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得出结果．
【解答】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD＝90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF＝90°，
∴∠BMD＝∠BNF＝90°，
∴CD∥EF，
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN＝MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
连接ME，如图所示：
则ME＝MB＝2MN，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，
又∵AM＝ME（都是半径），
∴∠AEM＝∠EAM，
∴∠AEM=12∠EMN=12×60°＝30°，
∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，
同理可求∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，设圆的半径为r，则MN=12r，EN=32r，
∴EF＝2EN=3r，AN＝r+12r=32r，
∴S△AEF：12S圆＝（12×3r×32r）：12πr2＝33：2π；
故答案为：33：2π．

【点评】本题三角形综合题目，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，垂径定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积公式以及圆的面积公式等知识；理解折叠的方法，证明△AEF是等边三角形是解题关键．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，P是△ABC内一个动点，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，且PD+PE＝PF．则P运动所形成的图形的长度是　2　．

【分析】如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．首先证明PD+PE＝AM，再证明MA＝MN＝PF，得出点P的运动轨迹是线段MH．求出MH即可解决问题；
【解答】解：如图，作∠ACB的平分线CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在线段MH上取一点P，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F．

∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵MH∥BC，
∴∠AMH＝∠B＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠PDM＝90°，
∴∠DMP＝∠DPM＝45°，
∴PD＝DM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠A＝∠PDA＝∠PEA＝90°，
∴四边形ADPE是矩形，
∴PE＝AD，
∴PD+PE＝DM+AD＝AM，
∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，
∴MA＝MN，
∵PF⊥BC，MN⊥BC，
∴PF∥NM，∵PM∥FN，
∴四边形PFNM是平行四边形，
∵∠PFN＝90°，
∴四边形PFNM是矩形，
∴PF＝MN，
∴PF＝AM，
∴PF＝PD+PE，
∴点P的运动轨迹是线段MH．
设AM＝MN＝x则BN＝MN＝x，BM=2x，
∵AB=2+1，
∴x+2x=2+1，
∴x＝1，
在Rt△AMH中，∵AM＝AH＝1，
∴MH=2，
∴P运动所形成的图形的长度是2．
故答案为2．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、轨迹、角平分线的性质定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
19．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG＝BD，连接EG，FG，若AE＝DE，AB＝2，则EG＝　7　．

【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB＝BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB＝60°，设EF与BD相交于点H，AB＝4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG．
【解答】解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE＝DE，
∴AB＝BD，
又∵菱形的边AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
设EF与BD相交于点H，AB＝4x，
∵AE＝DE，
∴由菱形的对称性，CF＝DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=12DO=14BD＝x，
在Rt△EDH中，EH=3DH=3x，
∵DG＝BD，
∴GH＝BD+DH＝4x+x＝5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=EH2+GH2=2x，
所以，EGAB=27x4x=72．
∵AB＝2，
∴EG=7．
故答案是：7．

【点评】本题考查了三角形综合题，需要熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半等知识点，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（10，10），P′（﹣10，﹣10），直线MN过点P′与x轴平行，与y轴交于点D，等腰直角△ABC的直角顶点A与P′重合，边AB在直线MN上，且AB＝4，若△ABC的直角边AB以1个单位长度/秒的速度在射线DM上移动．
（1）若△ABC向右平移，当点B与点D重合时，△ABC停止移动，在△ABC向右移动的过程中，设运动时间为x秒，S△PBC的面积为y，y与x的函数关系式是　y＝﹣2x+72（0≤x≤6）　．
（2）在平移的过程中，若△PBC为直角三角形，点C的坐标是　（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6）　．

【分析】（1）先求出x的范围，再利用三角形的面积的和差即可得出结论；
（2）设出点A坐标，进而得出点B，C坐标，进而求出BC2，BP2，CP2，最后用勾股定理的逆定理建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵P′（﹣10，﹣10），
∴DP'＝10，
∵AB＝4，当点A与点P'重合时，BD＝6，
∴B（﹣6，0），
∴0≤x≤6，
∵△ABC的直角边AB以1个单位长度/秒的速度在射线DM上移动，
由运动知，BD＝6﹣x，AD＝10﹣x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝4，
如图，过点P作PG⊥MN于G，
∵P（10，10）
∴PG＝20，BG＝16﹣x，AG＝10+10﹣x＝20﹣x，
∴y＝S△PBC＝S梯形ACPG﹣S△ABC﹣S△PBG
=12（AC+PG）×AG−12AB2−12BG×PG
=12（4+20）×（20﹣x）−12×42−12（16﹣x）×20
＝﹣2x+72（0≤x≤6），
故答案为：y＝﹣2x+72（0≤x≤6）；

（2）设A（m，﹣10），
∴B（m+4，﹣10），C（m，﹣6），
∴BD＝﹣（m+4），AD＝﹣m，
∵P（10，10），
∴CP2＝（m﹣10）2+（﹣6﹣10）2＝（m﹣10）2+256，BP2＝（m﹣6）2+400，
∵AB＝4，
∴BC2＝2AB2＝32，
∵△PBC为直角三角形，
∴①当∠PBC＝90°时，BC2+BP2＝CP2，
∴32+（m﹣6）2+400＝（m﹣10）2+256，
∴m＝﹣14，
∴C（﹣14，﹣6），
②当∠PCB＝90°时，BC2+CP2＝BP2，
∴32+（m﹣10）2+256＝（m﹣6）2+400，
∴m＝﹣6，
∴C（﹣6，﹣6）
③当∠BPC＝90°时，BP2+CP2＝BC2，
∴（m﹣6）2+256+（m﹣10）2+400＝32，
此方程无解，即：此种情况不存在，
即：点C的坐标为（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6），
故答案为：（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6）．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形，梯形的面积公式，勾股定理逆定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
三．解答题
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AB上一点（不与A，B重合）
（1）如图1，若BC＝BE，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，若AC＝BC，过点B作BF⊥CE于点F，交CD于G．
①求证：AE＝CG；
②当BC＝BE时，BG与CF的数量关系是　BG＝2CF　．

【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠A＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠CEB＝∠ECB，则可得出答案；
（2）①证明Rt△CGF≌Rt△BGD（ASA），由全等三角形的性质得出DE＝DG，则可得出结论；
②由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
又∵BC＝BE，
∴∠CEB＝∠ECB，
又∵∠CEB＝∠A+∠ACE，∠ECB＝∠DCB+∠ECD，
∴∠ACE＝∠ECD，即CE平分∠ACD．
（2）①∵AC＝BC，且∠ACB＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又CD⊥AB，
∴CD＝BD＝AD，
在Rt△CGF和Rt△BGD中，
∵∠CGF＝∠BGD，
∴∠FCG＝∠DBG，
在Rt△CDE和Rt△BDG中，
∠DCE=∠DBGCD=BD∠CDE=∠BDG=90°，
∴Rt△CGF≌Rt△BGD（ASA），
∴DE＝DG，
又CD＝AD，
∴AE＝CG．
②解：∵△CGF≌△BGD，
∴BG＝CE，
又∵BC＝BE，BF⊥CE，
∴CF＝EF，
∴BG＝2CF．
故答案为：BG＝2CF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
22．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．

【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，

在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE=12∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．

（2）①补全图形，如图所示．


②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α．
在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN和△ADN中，
AB=ADBN=DNAN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．

（1）求证：BM+CN＝MN．
（2）如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．
问题①：BC＝6，求MN的长．
问题②：求证：O是MN的中点．
【分析】（1）由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，则可得出结论；
（2）①在BC上截取BG＝BM，CH＝CN，连接OG，OH，证明△MBO≌△GBO（SAS），由全等三角形的性质得出OM＝OG，∠BOM＝∠BOG，得出△OGH为等边三角形，由等边三角形的性质得出OG＝OH＝GH，则可求出答案；
②由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴BM+CN＝OM+ON＝MN；
（2）①解：在BC上截取BG＝BM，CH＝CN，连接OG，OH，

∵BG＝BM，∠MBO＝∠GBO，OB＝OB，
∴△MBO≌△GBO（SAS），
∴OM＝OG，∠BOM＝∠BOG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBG＝∠MBO＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠MBO＝∠BOG＝30°，
∴∠OGH＝60°，
同理△NCO≌△HCO，
∴ON＝OH，∠HOC＝∠HCO＝30°，
∴∠OHG＝60°，
∴△OGH为等边三角形，
∴OG＝OH＝GH，
∵BC＝6，OG＝BG，OH＝CH，
∴GH＝2，
∴MN＝OM+ON＝4．
②证明：由①可知OM＝OG，ON＝OH，
∵△OGH为等边三角形，
∴OG＝OH，
∴OM＝ON．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若DG＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AE+AF．

【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出DG＝2AG＝2，则可得出AC＝4；
（3）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形．
（2）解：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，
∵AD⊥BC，
∴DG=AG=12AD=2，
∴AD＝4＝AB＝AC，
即AC＝4；
（3）∵△ABD是等三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
即∠BDE＝∠ADF．
在△BDE和△ADF中，
∠ABD=∠DAC=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ ASA），
∴BE＝AF，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AE+AF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　60°　；线段BE与AD之间的数量关系是　BE＝AD　；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°，BE＝AD；

（3）AE＝BE+2CM，理由：
同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
26．顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．DE是AB的垂直平分线，交AC于D，并连接BD．
（1）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（2）设AB＝1，BC＝x，试求x的值；
（3）如图2，在△ABC中将BC延长至点F，使CF＝AC＝1，求BCAF的值．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A．求得∠ABC＝∠C＝72°，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝BC，于是得到结论；
（2）设BC＝x,AC＝1,由(1)知，AD＝BD＝BC＝x,根据相似三角形的性质即可得到结论；
(3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠B＝72°,得到∠ACF＝180°﹣72°＝108°,根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形；
（2）设BC＝x,AC＝1,由(1)知，AD＝BD＝BC＝x,
∵∠DBC＝∠A,∠C＝∠C,
∴△BDC∽△ABC,
∴BCAC=DCBC,
即x1=1−xx,
解得：x=−1±52,
∵x为正数，
∴x=−1+52；
(3)∵∠A＝36°,AB＝AC,
∴∠ACB＝∠B＝72°,
∴∠ACF＝180°﹣72°＝108°,
∴AC＝CF＝1,∠F＝∠CAF＝36°,
∴∠BAF＝72°＝∠B,
∴△FBA∽△ABC,
∴BCAB=5−12,ABAF=5−12,
∴BCAF=BCAB×ABAF=(5−12)2=3−52．
【点评】此题考查的了三角形的综合题，相似三角形的判定和性质，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算是解题的关键．
27．在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP，补完全图，直接写出PB的长．
（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；
（3）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC的长．

【分析】（1）由旋转的性质得到△ADP为等边三角形，从而判断出△BPD为直角三角形，根据勾股定理计算即可；
（2）由旋转的性质得到△DAP是等边三角形，根据勾股定理得逆定理判断出△BPD为直角三角形，即可；
（3）作出△ABQ∽△ACP，判断出△APQ为直角三角形，从而得到△BPQ为直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，

由旋转有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠BAC＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°，
∵∠ADB＝∠APC＝150°，
∴∠BDP＝90°，
在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3，
∴PB=BD2+DP2=16+9=5；
（2）如图2，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，

∴△APC≌△ADB，
∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2，
∴∠DAP＝∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAP＝60°，
∴△DAP是等边三角形，
∴PD＝3，∠1＝60°，
∴PD2+DB2＝32+42＝52＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠2＝30°，
∴∠APC＝30°；
（3）如图3，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，

∴∠AQB＝∠APC＝120°，
∵AB＝2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ＝2AP＝2 3，BQ＝2CP，∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵AQAP=2，
∴∠APQ＝90°，PQ＝3，
∴∠AQP＝30°
∴∠BQP＝∠AQB﹣∠AQP＝120°﹣30°＝90°，
根据勾股定理得，BQ=PB2−PQ2=25−16=4，
∴PC=12BQ＝2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质和判断方法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解本题的关键．
28．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．

【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，即可推出BC＝BD+CD＝EC+CD；
（2）证△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可证明；
（3）同（1）得△ABD≌△ACE（SAS），则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝135°，得BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，再证∠BCE＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）解：结论BC＝CE+CD不成立，猜想BC＝CE﹣CD，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD；
（3）解：BC＝CD﹣CE，CE⊥BC，理由如下：
如图3所示：
同（1）得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE，
∵∠ABD＝135°，
∴∠ACE＝135°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CE⊥BC．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
29．在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32＝0．

（1）求点A、B的坐标；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF＝AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（﹣2，c），求c的值及OE的长；
（3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC∥x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由题意得（a+4）2+（b+4）2＝0，则a＝﹣4，b＝﹣4，即可得出答案；
（2）过点F作FM⊥AO于M，先证△AMF≌△EOA（AAS），得AM＝EO，FM＝AO＝4，即可解决问题；
（3）过C作CN⊥OA于N，则ON＝BC，先证△BEG是等腰直角三角形，得∠BEG＝45°，再证△BCE是等腰直角三角形，得BC＝BE＝2，得AN＝ON，然后由线段垂直平分线的性质得AC＝OC即可．
【解答】解：（1）∵a2+b2+8a+8b+32＝0，
∴（a+4）2+（b+4）2＝0，
∴a+4＝0，b+4＝0，
∴a＝﹣4，b＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣4）；
（2）过点F作FM⊥AO于M，如图1所示：

则∠FMA＝90°，
∴∠AFM+∠FAO＝90°，
由（1）得：OA＝4，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°＝∠AOE，
∴∠OAE+∠FAO＝90°，
∴∠AFM＝∠OAE，
在△AMF和△EOA中，
∠FMA=∠AOE∠AFM=∠OAEAF=AE，
∴△AMF≌△EOA（AAS），
∴AM＝EO，FM＝AO＝4，
∵点F的坐标为（﹣2，c），
∴c＝4，OM＝2，
∴OE＝AM＝OA﹣OM＝4﹣2＝2；
（3）△AOC是等腰三角形，理由如下：
过C作CN⊥OA于N，如图2所示：

则ON＝BC，
由（1）得：OA＝OB＝4，OE＝2，
∴BE＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵EG⊥AB，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
∴∠OBC＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
∴ON＝BC＝2，
∴AN＝OA﹣ON＝2，
∴AN＝ON，
∴AC＝OC，
∴△AOC是等腰三角形．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、配方法等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
30．【背景】在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．
【研究】点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．
（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是　DM⊥EM　，数量关系是　DM＝EM　；
（2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；
（3）【应用】如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝22，AC＝4，求DE的长．

【分析】（1）由“SAS”可证△ECM≌△FBM，可得BF＝CE，∠FBM＝∠ECM，通过证明△DEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证△EMC≌△FMB，△DAE≌△DBF，可得BF＝CE，FM＝ME，DF＝DE，∠BDF＝∠ADE，通过证明△DEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理分别求出DN，NE的长，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长EM到点F，使得MF＝ME，
∵点M为BC的中点，
∴BM＝CM，
又∵∠BMF＝∠CME，
∴△ECM≌△FBM（SAS），
∴BF＝CE，∠FBM＝∠ECM，
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴DF∥EC，
∴∠DBC+∠ECM＝180°，
∴∠DBC+∠FBM＝180°，
∴点D，点B，点F共线，
∵AE＝CE，
∴BF＝AE，
∵AD＝DB，
∴DF＝DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
又∵EM＝FM，
∴DM⊥EM，DM＝EM；
（2）如图2，延长EM到F，使FM＝EM，连接BF，DF，

∵点 M 为 BC 的中点，
∴BM＝CM，
在△EMC和△FMB中，
MC=BM∠EMC=∠FMBEM=FM，
∴△EMC≌△FMB（SAS），
∴BF＝CE，FM＝ME，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴DA＝DB，EA＝EC，∠ABD＝∠BAD＝∠ACE＝∠CAE＝45°，
∴FB＝EA．
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE+∠BAC＝90°+∠BAC，
又∠FBM＝∠ECM，
∴∠DBF＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠FBM＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣（∠ACB+∠ACE）＝90°+∠BAC，
∴∠DAE＝∠DBF，
在△DAE和△DBF中，
DA=DB∠DAE=∠DBFAE=BF，
∴△DAE≌△DBF（SAS），
∴DF＝DE，∠BDF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠BDF+∠BDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
又∵EM＝FM，
∴DM⊥EM，DM＝EM；
（3）如图3，取BC中点M，连EM，BE，设AB与ED交于点N，

∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，AB＝22，AC＝4，
∴AB=2AD，AC=2AE，
∴AB＝2，AE＝CE＝22，
在（2）的结论可得，BM＝CM，EM⊥BC，
∴BE＝CE＝AE＝22，
∴DE为AB的垂直平分线，
∴DN=12AB=2，
∴NE=BE2−BN2=8−2=6，
∴DE=2+6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．