初二数学下册：勾股定理4大易错点

一、直角边与斜边未明确
例题1：一直角三角形的三边分别为6，8，x，那么以x为边长的正方形的面积是多少？
分析：不要受定势思维的影响，看到6和8就认定是勾股数6，8，10，得到正方形的面积为100。此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，即分8为直角边和为斜边两种情况。因此面积可能为64+36=100，也可能为64-36=28.
例题2：如果直角三角形的两边长为3、4，则它的斜边长是多少？
分析：与例题1一样，不要看到3和4，就只想到勾股数3，4，5，还是分两种情况，斜边长是4或5。勾股数我们确实应该熟记，但是思维不应该定势。
二、直角三角形的存在性问题
例题3：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由。分析：分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解。
解：①当∠CDB=90°时，S△ABC=1/2ACBD=1/2ABBC，即1/2×10BD=1/2×8×6，解得BD=4.8，∴CD=3.6，t=3.6÷1=3.6秒；②当∠CBD=90°时，点D和点A重合，t=10÷1=10秒，综上所述，t=3.6或10秒；
三、三角形形状不明
题目中如果没有明确三角形的形状，需要分情况讨论，三角形可能为锐角三角形，也可能为钝角三角形。
例题4：等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC的长为多少？分析：作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可。这类题目比较常见，解题时也可以根据全等三角形的性质画在同一个三角形中。
四、蚂蚁爬行（最短路径）问题
例题5：如图，无盖的长方体盒子的长为15，宽为10，高为8，在顶点B处（盒子里面）有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，想从盒子的A点爬到盒子的B点，爬行的最短路程是多少？分析：蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可。