云南省曲靖市2023届高三数学第一次教学质量监测试题（Word版附解析）

这是一份云南省曲靖市2023届高三数学第一次教学质量监测试题（Word版附解析），共22页。

曲靖市2022-2023学年高三年级第一次教学质量监测
数学试题卷
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，将对应的字母填在答题卡相应位置上，在试题幕上作答无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. （－2，2） B. [0，3）
C. （－2，3） D. （－2，3]
【答案】C
【解析】
【分析】求一元二次不等式与分式不等式的解集再求两者的并集即可.
【详解】∵，，
∴.
故选：C
2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义求得a的值，代入求得复数的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.
【详解】∵，
又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，
∴，解得，
∴，
∴，即：，
∴复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.
故选：A.
3. 在扇形COD中，．设向量，，则（）
A. －4 B. 4 C. －6 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】运用向量的数量积运算公式求解即可.
【详解】∵，，
∴，，
，
∴.
故选：D.
4. 如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）克（精确到个位数）

A. 176 B. 207 C. 239 D. 270
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积的值，进而求得涂胶的克数.
【详解】由已知得圆锥的母线长，
所以台灯表面积为，
需要涂胶的重量为（克），
故选：B.
5. 已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为2π，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】先根据条件求出，，进而结合三角函数的对称中心及对称轴辨析即可.
【详解】相邻两对称中心的距离为，则，．
已知为奇函数，根据可知，
则，．
令，，故A错误，B正确；
令，，故C、D错误．
故选：B．
6. 若,则在“函数的定义域为”的条件下,“函数为奇函数”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先列出所有的结果数,由于函数的定义域为,则,恒成立,可得,在所有结果数中选出满足的情况,求出概率,根据为奇函数可得或,在所有结果数中选出同时满足两个事件情况,求出其概率,再根据条件概率的计算公式即可计算出结果.
【详解】解:用所有的有序数对表示满足的结果，
则所有的情况为:,共9种,
记“函数的定义域为”为事件A,
因为函数的定义域为,
所以,恒成立,
即,即,
其中满足的基本事件有:
共6种,故．
记“函数为奇函数”为事件B．
已知是奇函数,且定义域为,则,
即,即,
解得或．
满足或的情况有共3种,
所以,即同时满足事件A和事件B的情况有共3种,
故,所以.
故选:C
7. 已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（）
A. 2022 B. 2023 C. 40 D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件可得展开式中含x的项为6x，则．进而可求得答案.
【详解】的展开式中含x的项为：
，
的展开式中含x的项为：
，
所以，的展开式中含x的项为6x，其系数．
依题意得，
故选：D．
8. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，，结合函数的单调性分别得出，，从而得出答案．
【详解】令，
则，，
∵，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
令，则，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
所以，即．
综上，．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）
A. C的方程为
B. C的离心率为
C. 曲线经过C的一个焦点
D. C的焦点到渐近线的距离为1
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答.
【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，则设双曲线C：，
又点在双曲线C上，有，即双曲线C的方程为，A错误；
双曲线C的实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线C的离心率，B错误；
双曲线C的焦点坐标为，其中满足，C正确；
双曲线C的焦点到渐近线的距离，D正确．
故选：CD
10. 已知，且则下列结论一定正确的有（）
A. B.
C. ab有最大值4 D. 有最小值9
【答案】AC
【解析】
【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，找反例，当时，，，，B不正确；
C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；
D选项，，D不正确.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（）
A.
B. 函数图像关于直线对称
C. 函数的值域为
D. 若函数有四个零点，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的解析式可得判断A，根据函数的定义域可判断B，根据二次函数的性质及三角函数的性质可得函数的值域判断C，利用数形结合可判断D.
【详解】因为，
所以，故A正确；
由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；
当时，，
当时，，，
所以函数的值域为，故C正确；
由可得，则函数与有四个交点，
作出函数与的大致图象，

由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.
故选：AC.
12. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（）

A. 与共面；
B. 三棱锥的体积跟的取值无关；
C. 当时，；
D. 当时，过，，三点平面截正方体所得截面的周长为．
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A：可得，可判断；
对于选项B：点到平面的距离为定值，且的面积为定值可判断；
对于选项C：分别求出的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;
对于选项D：先将过，，的截面分析做出，再求周长可判断.
【详解】对选项A：在中，因为，为，的中点，

所以，所以与共面，所以A正确；
对选项B：由，
因为到平面距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；

对选项C：当时，,可得，，
取的中点分别为，连接,则
在直角三角形中,
则，所以不成立，所以C不正确．
对选项D：当时，取,连接,则,又所以

所以共面,即过，，三点的正方体的截面为，
由,则是等腰梯形,且
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的图象在处的切线的倾斜角为α，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义求出，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【详解】，，即，，，
利用三角函数定义，．
故答案为：.
14. 已知随机变量，若，则p＝_____．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】由可得，进而可求解答案.
【详解】已知X～B（2，p），
则，
∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．
故答案为：．
15. 已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由是正三角形得到圆心点到直线的距离为，从而用点到直线距离公式即可求解.
【详解】设圆的半径为，
由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为,
即，
两边平方得，解得.
故答案为: .
16. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得或，再分和两种情况讨论，当时求出、的坐标，由，即可得到关于的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线与椭圆的方程消去整理得到，解得或．
①时，代入解得，已知点位于轴右侧，取交点，则，
此时，与矛盾，不合题意．
②时，代入解得．已知点，关于轴对称且位于轴右侧，取交点、，
已知，则轴，．
此时，即，两端同除以可得：，解得．
因为，所以，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
（1）请写出你的选择，并求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，设的前n项和为，求证：．
【答案】（1）选①，；选②，.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
由题意知，，，，
选①，由题意知，，
，
所以，，即：，.
选②，由题意知，，
,
所以，，即：，.
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∴①，
②，
①②得：，
∴．
又∵对，恒成立，
∴．
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
（1）求角B的大小；
（2）当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理与重要不等式可得△ABC面积最大时a、c的值，在△ABD中应用正弦定理可解得AD的值.
【小问1详解】
∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
【小问2详解】
在△ABC中，由余弦定理得，
即．
∵，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当a＝c＝2时，，
又∵△ABC面积为，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时，．
又∵为的角平分线，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．
19. 某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：

A商场
B商场
C商场
D商场
购讲该型冰箱数x
3
4
5
6
销售该型冰箱数y
2.5
3
4
4.5

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法求线性回归方程即可；
（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，求出分布列得到期望，由期望的性质求出，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
，，，．
所以，则．
故y关于x的线性回归方程为．
【小问2详解】
设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以，X的分布列为
X
0
1
2
P



所以，
．
令，即，解得，又，
所以．所以p的取值范围为．
20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．

（1）求证：MN平面PAD；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）取PB中点E，连接ME，NE．由线面平行的判定定理可证得ME平面PAD，NE平面PAD，再由面面平行的判定定理即可证明；
（2）以AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，由线面角的向量公式可求出Q点的位置，即可得出的值.
【小问1详解】
如图，取PB中点E，连接ME，NE．

∵M，N分别是线段AB，PC的中点，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD，
∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD．
又∵，∴平面PAD平面MNE．
∵平面MNE，∴MN平面PAD．
【小问2详解】
∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD．QPA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD两两垂直．
依次以AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，PC中点，∴，．
设平面DMN的法向量，则，即，
取x＝1，得y＝1，z＝－1，．
若满足条件的CD上的点Q存在，设，，又，则．
设直线NQ与平面DMN所成的角为，则，
解得t＝1或t＝－3．
已知0≤t≤4，则t＝1，∴．
DQ＝1，CD＝4，CQ＝CD－DQ＝4－1＝3，．
故CD上存在点Q，使直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为，且．
21. 如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且．

（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，，证明定值，并求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.
（2）设直线AB的方程，求出点M的坐标，联立直线AB与轨迹C的方程后由韦达定理得、，由已知向量关系式可得，，进而求得的值与的范围.
【小问1详解】
设点，则，且．
由得，
即，化简得．
故动点P的轨迹C的方程为：．
【小问2详解】
设直线AB的方程为：，则．
联立直线AB与轨迹C的方程得，消去x得，
则．
设，，由韦达定理知，．
由，得：，，
整理得，．
所以．
故为定值0．
∵，
∴，
∴的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数的图像与直线l：相切于点．
（1）求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
（2）求c与a的函数关系；
（3）当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为3，最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用导数求切线方程，进而求出截距；
（2）先求出函数在x＝1处的切线方程，对照系数消去b即可得到；
（3）把题意转化为对，不等式恒成立．对x分类讨论：①x＝0直接判断；②时，利用分离参数法得到恒成立．设，求得．利用导数求出；③当时，与②同，求出的范围．
【小问1详解】
，，，．
函数图像在点处的切线方程是：.
令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．
【小问2详解】
，，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，
两端乘以b变作：①．
又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．
直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．
【小问3详解】
函数零点为a＝1，a＝1时．
对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．
①当x＝0时，对恒成立，此时．
②当0＜x≤2时，恒成立．
设，求得．
0＜x≤2时，由得，由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，，此时．
③当时，恒成立．
与②同，设，．
令，则，在上单调递增．
所以，时，得，在上单调递减．
所以，时，取得最大值，此时．
整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究恒（能）成立问题．