陕西省西安市鄠邑区2023届高三理科数学下学期第一次质量检测试题（Word版附解析）

鄠邑区2023年高三第一次质量检测

理科数学

注意事项：

1. 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题卡上，考试结束后，只收答题卡.

2. 答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题卡首有关项目填写清楚.

3. 全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 设集合，，则（）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交集运算求解即可>

【详解】解：，，

．

故选：B．

2. 计算：（）

A. 1 B. -1 C. i D. -i

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可求得答案.

【详解】解：，

故选：C.

3. 设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.

【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；

对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；

对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.

故选：C

4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）

A. s＞3？ B. s＞5？ C. s＞10？ D. s＞15？

【答案】C

【解析】

【分析】

根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，

s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，

不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，

不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，

此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.

因此判断框内的条件可填：s＞10？

故选：C.

【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.

6. 若，，，则关于a、b、c的大小关系，下列说法正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】比较与0的大小，先比较与的大小，然后取倒数即可.

【详解】

又

即

即

所以

故选：A

7. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是

A. ，， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面平行，线面垂直，和线线垂直的判定定理得到相应的结果.

【详解】若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误，

若，，则或，故B错 误．

若，，则或，故C错误．

若，，易得，故D正确．

故答案为D.

【点睛】本题主要考查了平面的基本性质及推论，是高考中常见的题型，往往学生忽视书本上的基本概念，值得大家注意．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

8. 设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）

A. 2 B. -2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，

【详解】因为成等比数列，所以，即

故选D.

【点睛】本题考查等差数列前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．

9. 函数的大致图象为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，以及，即可容易求得结果.

【详解】因为，且定义域关于原点对称，

故是偶函数，图像关于轴对称，排除；

又因为，故排除B.

故选：C.

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，函数图像的辨识，涉及对数运算，属综合基础题.

10. 在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求解出结果，运用几何概型求出概率

【详解】在区间上随机取一个数，使

则

解得

所求概率

故选

【点睛】本题主要考查了几何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为基础．

11. 设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线的一支相交，不满足题意．

（2）由直线过焦点可设直线的方程为：，求出双曲线的渐近线方程，若直线与双曲线的左、右两支都相相交，则，整理即可．

【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线的一支相交，不满足题意．

（2）由直线过焦点可设直线的方程为：，由双曲线的方程可得其渐近线方程为，若直线与双曲线的左、右两支都相相交，则，整理得：，即：，故选B．

【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的交点情况问题，把双曲线的渐近线与直线作对比，即可判断直线与双曲线的交点情况．然后把问题转化成渐近线的斜率与直线斜率之间的大小问题求解．

12. 已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】分析：构造函数，对函数求导，得出单调性，又，得出不等式的解集．

详解：构造函数，则，所以函数在定义域上为减函数，且，所以的解集为，即的解集为，选A.

点睛：本题主要考查了函数导数的应用：利用但函数的正负判断原函数的单调性，以及不等式的解法，属于中档题．解答本题的关键是构造函数．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列中，，，则数列的通项公式是________.

【答案】

【解析】

【分析】利用累积法求得数列的通项公式，

【详解】依题意，当时，所以

，当时上式也符合，故数列的通项公式是.

故答案为.

【点睛】本小题主要考查累加法求数列通项公式，考查等差数列前项和公式，属于基础题.

14. 已知，则二项式的展开式中的系数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据计算出，再利用二项式定理的通项求二项式的展开式中的系数.

【详解】解：，

则二项式，

其展开式的通项公式为，

令，可得展开式中的系数为，

故答案为：.

15. 在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：

①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB距离为定值；

③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．

其中所有真命题的序号是______．

【答案】①③

【解析】

【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．

【详解】易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．

故答案为：①③

16. 若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.

【答案】2或18

【解析】

【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可.

【详解】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：，

∴由抛物线的定义知，，

∴点A的横坐标为，则，

又∵点A在抛物线上，

∴，解得：或.

故答案为：2或18.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

（一）必考题（共60分）

17. 函数的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+).

（1）求函数g(x)的单调增区间；

（2）设ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，又c=，且锐角C满足g(C)=-1，若sinB=2sinA，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据图象最值确定A，根据半个周期确定，根据最小值点确定，再根据诱导公式化简g(x)，最后根据余弦函数性质求单调增区间；

（2）先求C，再根据正弦定理化边的关系，结合余弦定理解得，，最后根据三角形面积公式求结果.

【详解】（1）由函数的部分图象可得

，，即，则，

又函数图像过点，则，即，

又，即，

即，则

由，，得，，

所以函数的单调增区间为

（2）由，得，因为，所以，

所以，，

又，由正弦定理得①.      

又，由余弦定理，得，即②.

由①②解得，. 所以的面积为.

【点睛】本题考查由图象确定三角函数解析式、余弦函数性质、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

18. 通过随机调查大学生在购物时是否先询问价格得到如下列联表：

（1）根据以上列联表判断，能否在反错误的概率不超过的前提下认为性别与是否先询问价格有关系？

（2）从被调查的28名不先询问价格的大学生中，随机抽取2名学生调查其优先关注哪个方面的问题，求抽到女生人数的分布列及数学期望．

附：

【答案】（1）能；（2）.

【解析】

【分析】（1）由二联表中数据计算出，结合附表做出判断；（2）的取值可能为，，，分别计算出概率，列出分布列表格，计算出数学期望即可.

【详解】解：（1）由计算可得

．

所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与先询问价格之间有关系”．

（2）的取值可能为，，．

，，．

的分布列为

的数学期望为．

【点睛】本题考查了独立性检验，随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.

19. 如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

【详解】（1）证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，.

又∵平面平面，平面，作平面，

那么，根据题意，点落在上，

∵和平面所成角为，∴.

∵，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，

∴平面.

（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，.

∴，，设平面的一个法向量为.

∵，∴.令，∴取，

又∵平面的一个法向量，∴.

又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为.

20. 设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）;（2）.

【解析】

【分析】（1）由标准方程可得，，设，则可得，结合有最大值1，得，解得，从而可得结果；（2）设，，由得，根据平面向量数量积公式结合为锐角，利用韦达定理可得，从而可得结果.

【详解】（1）易知，，

所以，，设，则

，

因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即

，解得

故所求的椭圆方程为.

（2）设，，由得

，

故，.

又为锐角，

∴

又

∴

，

∴，解得∴的取值范围是.

【点睛】点睛：求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，可列出相应的不等式组，再通过解不等式确定参数范围;②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

21已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当，证明：.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可.

（2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明.

【小问1详解】

∵，定义域为，

则，

①当时，，在上单调递增；

②当时，当时，，在上单调递增

当时，，在上单调递减，

综上，①当时，在上单调递增，

②当时，在上单调递增，在上单调递减.

【小问2详解】

由（1）可得，当时，

.

要证，

只需证，

即证恒成立.

令，，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴的最大值为，即：.

∴恒成立，

∴原命题得证.即：当时，.

（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

选修4-4：坐标系与参数方程：

22. 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.

试题解析：（1）等价于①

将代入①既得曲线C的直角坐标方程为

，②

（2）将代入②得，

设这个方程的两个实根分别为

则由参数t 的几何意义既知，.

考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.

选修4-5：不等式选讲：

23. 已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【详解】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．

试题解析：

（1）当时，，

由得不等式的解集为.

（2）由二次函数，

知函数在取得最小值2，

因为，在处取得最大值，

所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.

只需，即.