【中考一轮复习】2023年中考数学复习训练——第15讲 二次函数B（含解析）

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1．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是 （ ）
A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6
2．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是 （ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4B．或C．或4D．或4
5．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
二、填空题
6．二次函数的最小值为________．
7．已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）．
8．如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
9．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______．
10．如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．
三、解答题
11．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
12．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
13．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
14．在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
(1)判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
15．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．
①如图1，若点在第三象限，且，求点的坐标；
②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求四边形的周长．
16．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【解析】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
2．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解析】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
3．B
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【解析】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
4．D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【解析】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
5．D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【解析】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
6．-2
【分析】由二次函数可直接求解．
【解析】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数的最小值为-2；
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．＜＜
【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），
∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，）
∵0＜2＜＜3
∴＜＜
故答案为：＜＜．
【点睛】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键．
8．
【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．
【解析】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
9．或
【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
【解析】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
当抛物线过点时，
解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10．
【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．
【解析】解：过点作，垂足为，
在中，
∵，，
∴，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴点在上运动时，为等腰直角三角形，
∴，
∴当点在上运动时，，
由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），
∴，
当时，过点作于点，如图：
此时，
在中，，，
∴，，，
∴，
即，
所以当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．
11．(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解析】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
12．(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【解析】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
13．(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)存在，的坐标为或或或
【分析】用待定系数法可求得二次函数的表达式为；
过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积；
由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解．
【解析】（1）将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图：

设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
14．(1)存在，
(2)①；
【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解；
（2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解；
②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解．
（1）
解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，
∴和谐点都在上，
，
解得，
上的和谐点为；
（2）
解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
∴即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
，
联立①②，得，
②，
，
其顶点坐标为，则最大值为3，
在时，随的增大而增大，当时，，
根据对称轴可知，当时，，
时，函数的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3，
实数的取值范围为：．
【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
15．(1)
(2)①；②或
【分析】（1）把点，代入，即可求解；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点，则OD=-m，，再由四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到，即可求解；②过点E作轴于点M，先求出直线BC的解析式为，证得四边形为菱形，可得，然后根据△CEM∽△CBO，设点，则点，然后分三种情况讨论，即可求解．
【解析】（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点，则OD=-m，，
∵轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点；
②如图，过点E作轴于点M，
令y=0，，
解得：（舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵点关于直线的对称点落在轴上时，
∴，，，
∵DP⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∴CE=PE，
∴，
∴四边形为菱形，
∵轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴，
设点， 则点，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时，，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时，，
∴，解得：或0（舍去），
此时，
∴四边形的周长为；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，，
∴，解得：或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形的周长为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键．
16．(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（，）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
（1）
解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）
如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m）2，
∵0，
∴当m时，△OPE面积最大，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）
设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m或，
∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，
∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…