湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（原卷版）

2022年下学期期末考试试卷

高二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 圆的圆心和半径分别是（）

A. ， B. ， C. ， D. ，

2如果且，那么直线不经过（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 设正四面体ABCD的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线，则（）

A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为

C. 直线l的一个法向量为 D. 直线l的一个方向向量为

5. 如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（）.

A.  B.  C.  D.

6. 若直线​与圆​相交于​两点，且​(其中​为原点)，则​的值为（）

A. ​或​ B. ​ C. ​或​ D. ​

7. 已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（）

A.  B.  C.  D. 2

8. 设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分．

9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　）

A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4

C. 离心率 D. 渐近线方程为

10. 已知数列满足，，则（）

A. 是递减数列 B.

C.  D.

11. 已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（）

A. 当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆

B. 当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线

C. 当时，点的轨迹为抛物线

D. 当时，点的轨迹为一条直线

12. 棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则（）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则存在非零向量使

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 若向量，，则与夹角的正弦值为__________．

14. 数列中，前99项的和，则___________.

15. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．

16. 已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量.

（1）若，求的值;

（2）以坐标原点为起点作，求点到直线距离.

18. 已知圆C过点，，且圆心在x轴上．

（1）求圆C方程；

（2）设直线与圆C相交于A，B两点，若，求实数m的值．

19. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．

（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面

（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 已知数列前项和为，且﹔等差数列前项和为满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

21. 某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，､两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.

（1）以为原点，以方向为轴正方向，且以米为单位，建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点，求点的轨迹方程；

（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

22. 已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；

（3）求四边形面积的最小值．