江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题

海安市2022-2023学年高三上学期期末考试

数学试题

(满分150分，考试时间120分钟)

一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

 1. 已知全集U＝{x|－2＜x＜3}，集合A＝{x|－1＜x≤1}，则∁UA等于(　　)

A. (－1，1]　　    B. (－2，－1]∪(1，3)　　   

C. [－1，1)　　    D. (－2，－1)∪[1，3)

 2. 若复数z在复平面内对应的点在直线y＝1上，且z＝iz，则z等于(　　)

A. 1－i　　　　  B. 1＋i　　　　 C. －1＋i　　　   D. －1－i

 3. 的二项展开式中的常数项是(　　)

A. －20　　　　　B. －15　　　　　C. 15　　　　　D. 20

 4. 经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图，则残差的最大值和最小值分别是(　　)

A. 0.4，－1.8    B. 1.8，－0.4    C. 0.4，－0.7    D. 0.7，－0.4

 5. 为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得∠BCD的大小为60°，点C，D的距离为200 m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为(　　)

A. 100 m　　　B. 100 m　   C. (200－200)m　　 D. 200 m

 6. 已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r1，r2(r1＜r2)，若两圆的一条公切线的方程为y＝(x＋3)，则  的值为(　　)

A. 　　　 　B. 2　　　 　 C. 　　　  　D. 3

 7. 设G为△ABC的重心，则＋2＋3等于(　　)

A. 0　　　　　B. 　　　　C. 　　　  D.

 8. 设a＝e，b＝，c＝2ln ，则下列结论中正确的是(　　)

A. a＜b＜c　　　　 B. a＜c＜b　　　　 C. c＜b＜a　　　　 D. b＜a＜c

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

 9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝，则下列结论中正确的是(　　)

A. EF⊥BD　　　　　　　　　　　　　    B. EC1∥平面ABF　

C. EF⊥平面B1CD1　　　　　　　　　     D. 直线EF与直线BD1异面

10. 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点M，N均在抛物线C上，若△FMN是以F为直角顶点的等腰三角形，则MN等于(　　)

A. 　　　　　     B. －1　　　　　    C. 　　　　　　    D. ＋1

11. 已知等差数列{an}中，当且仅当n＝7时，Sn仅得最大值．记数列的前k项和为Tk，则下列结论中正确的是(　　)

A．若S6＝S8，则当且仅当k＝13时，Tk取得最大值

B．若S6＜S8，则当且仅当k＝14时，Tk取得最大值

C．若S6＞S8，则当且仅当k＝15时，Tk取得最大值

D．若∃m∈N*，Sm＝0，则当k＝13或k＝14时，Tk取得最大值

12. 将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．如图所示的单位正方形中，区域Ⅰ表示事件AB，区域Ⅱ表示事件A，区域Ⅰ和Ⅲ表示事件B，则区域Ⅳ的面积为(　　)

A. P()　　　　               B. P()　　　　   

C. P(|)P()　　　　　    D. P()P()

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知sin (π－x)＝，x∈，则tan x＝__________．

14. 已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，且cos ∠F1PF2＝，则椭圆C的离心率e＝________．

15. 设过直线x＝2上一点A作曲线y＝x3－3x的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A的纵坐标为________．

16. 已知球O的表面积为100π cm2，P是球O内的定点，OP＝ cm，过点P的动直线交球面于A，B两点，AB＝4 cm，则球心O到AB的距离为__________cm；若点A，B的轨迹分别为圆台O1O2的上、下底面的圆周，则圆台O1O2的体积为__________cm3.

四、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10分)

已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，a6成等差数列，a5，a6，a7，…成等比数列，a2＝－10，a6＝2.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＞0，求n的最小值．

18. (12分)

已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.

(1) 求圆O的半径；

(2) 求AC的长．

19. (12分)

如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′.

(1) 求证：平面BD′E⊥平面ABC；

(2) 若三棱锥D′-ABC的体积为，求二面角D′-AB-C的余弦值．

20. (12分)

甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为.

(1) 若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率；

(2) 求恰好打完2局结束比赛的概率．

21. (12分)

已知双曲线C过点(3，)，且双曲线C的渐近线方程为y＝±x.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 设A为双曲线C的右顶点，过点P(－2，0)的直线与圆O：x2＋y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与双曲线C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．

22. (12分)

已知0＜a＜1，函数f(x)＝x＋ax－1，g(x)＝x＋1＋logax.

(1) 若g(e)＝e，求函数f(x)的极小值；

(2) 若函数y＝f(x)－g(x)存在唯一的零点，求实数a的取值范围．

数学参考答案

1. B　2. D　3. C　4. C　5. A　6. B　7. B　8. D

9. AB　10. BD　11. BD　12. BC

13. 　14. 　15. 2或－6　16. 　π

17. (1) 当1≤n≤6时，设{an}的公差为d，

则d＝＝3，

所以an＝－10＋ 3(n－2)＝3n－16，

所以a5＝－1，a6＝2.(2分)

当n≥5时，设{an}的公比为q，则q＝－2，

所以an＝－1·(－2)n－5＝－(－2)n－5，

所以an＝(4分)

(2) 显然n>7，所以Sn＝＋

＝－33－＋·(－2)n－6>0，(6分)

则n为偶数，(－2)n－6>，所以n－6≥6，则n≥12，

所以n的最小值为12.(10分)

18. (1) 在△ABD中，结合题意及余弦定理，得BD＝＝7.(2分)

设圆O半径为R，

所以R＝＝.(5分)

(2) 由(1)，得cos ∠ADB＝＝，sin ∠ADB＝.(7分)

因为∠BAC＝∠BDC＝60°，所以sin ∠ADC＝sin (∠ADB＋60°)＝×＋×＝，(10分)

所以＝2R＝，解得AC＝×＝8.(12分)

19.  (1) 在菱形ABCD中，因为∠ABC＝60°，所以△ABC和△ACD均为等边三角形．(2分)

又E为AC的中点，所以BE⊥AC，D′E⊥AC.

因为BE∩D′E＝E，BE，D′E在平面BD′E内，

所以AC⊥平面BD′E.(4分)

又AC⊂平面ABC，

所以平面BD′E⊥平面ABC.(6分)

(2) 过点D′作D′M⊥BE于点M，则D′M⊥平面ABC，

所以VD′-ABC＝××4·D′M＝，解得D′M＝.(8分)

过点M作MN⊥AB于点N，连接D′N，

所以∠D′NM即为二面角D′-AB-C的平面角，

EM＝＝，所以BM＝，MN＝，

所以D′N＝＝，所以cos ∠D′NM＝＝.故二面角D′-AB-C的余弦值为.(12分)

20. (1) 记“甲”表示甲赢，“乙”表示乙赢，“丙”表示丙赢，

则丙成为优胜者的情形为：甲丙丙，乙丙丙．(2分)

甲赢乙，丙赢甲，丙赢乙的概率P1＝××＝，

乙赢甲 ，丙赢乙， 丙赢甲的概率P2＝××＝，

所以丙成为优胜者的概率P＝＋＝.(4分)

(2) 若甲乙先比赛，2局结束比赛的情形分为①甲赢乙，甲赢丙；②乙赢甲，乙赢丙，

则P1＝×＋×＝.

若甲丙先比赛，2局结束比赛情形分为①甲赢丙，甲赢乙；②丙赢甲，丙赢乙，

则P2＝×＋×＝.

若乙丙先比赛，2局结束比赛的情形分为①乙赢丙，乙赢甲；②丙赢乙，丙赢甲，

则P3＝×＋×＝.(10分)

故恰好打完2局结束比赛的概率P＝×(＋＋)＝.(12分)

21. (1) 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0).

因为双曲线C过点(3，)，所以3－2＝λ，则λ＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1.(4分)

(2) 设直线MN方程为x＝t′y－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(，0)，

联立得(t′2＋1)y2－4t′y＋9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，

所以kAM·kAN＝·＝＝＝＝.(6分)

设直线DE的方程为x＝my＋t，D(x3，y3)，E(x4，y4)，A(，0)，

联立得(m2－3)y2＋2mty＋t2－3＝0，

由kAD·kAE＝·＝，得3y3y4＝(my3＋t－)(my4＋t－)，即(m2－3)y3y4＋m(t－)(y3＋y4)＋(t－)2＝0，

所以(m2－3)·＋m(t－)·＋(t－)2＝0.(10分)

因为直线DE不过点A(，0)，所以t≠，

所以(m2－3)(t＋)－2m2t＋(m2－3)(t－)＝0，即m2t＋m2－3t－3－2m2t＋m2t－m2－3t＋3＝0，

所以t＝0，

所以直线DE为x＝my，恒过定点(0，0).(12分)

22. (1) 由g(e)＝e，得e＋1＋logae＝e，则a＝，

所以f(x)＝x＋e1－x，f′(x)＝1－e1－x，

令f′(x)＝0，得x＝1，

当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)极小值＝f(1)＝2.(4分)

(2) f(x)－g(x)＝ax－1－logax－1，

令F(x)＝ax－1－logax－1，

则F(x)存在唯一的零点，F′(x)＝ax－1ln a－＝，

令φ(x)＝xax－1ln a－，则φ′(x)＝ax－1(1＋x ln a)ln a，

令φ′(x)＝0，解得x＝－，

当0<x<－时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；当x>－时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，

所以φ(x)min＝φ＝－a－－1－.(8分)

①若－a－－1－≥0，即ln  a≤ln ，

令－＝t，所以(t－1)≤ln t，即ln t－＋1≥0，所以t≥1，所以－≥1，

即≤a<1时，φ(x)min≥0，则F′(x)≥0，

所以F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，

又F(1)＝0，所以F(x)存在唯一的零点，符合题意．

②当0<a<时，φ(x)min<0，注意到x→0时，φ(x)>0，若x→＋∞时，φ(x)→－>0，

所以φ(x)即F′(x)在和(－，＋∞)上各有一个零点x1，x2，

注意到F(x)在(0，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，＋∞)上单调递增，

而F′(1)＝ln a－<0，所以x1<1<x2，

且当x→0时，F(x)→－∞，当x→＋∞时F(x)→＋∞且F(x1)>F(1)＝0，F(x2)<F(1)＝0，

所以F(x)在(0，x1)，(x1，x2)和(x2，＋∞)上各有一个零点，

共有3个零点，舍去．

综上，实数a的取值范围为.(12分)