2022-2023学年北京五十中高一（上）段考数学试卷（12月份）（含答案解析）

2022-2023学年北京五十中高一（上）段考数学试卷（12月份）

1.  已知集合，集合，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为奇函数，且当时，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，，则“”是“”的 (    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若函数是R上的减函数，，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  函数的单调递增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  函数的图象和函数的图象的交点个数是(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

9.  已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知函数，给出下列结论：
①，是奇函数；②，不是奇函数；
③，方程有实根；④，方程有实根.
其中，所有正确结论的序号是(    )

A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ②③④

11.  函数的定义域是__________.

12.  已知幂函数，它的图象过点，那么的值为______.

13.  已知函数，则______，如果，那么x等于______.

14.  已知函数是指数函数，若，则__________用“>”“<”“=”填空

15.  2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间单位：年的衰变规律满足表示碳14原有的质量，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的__________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在__________年到5730年之间．参考数据：，

16.  已知集合，或，
求，；
若，求实数m的取值范围．

17.  已知函数
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并给予证明；
求不等式的解集．

18.  某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年N所需的各种费用总计为万元．

该车营运第几年开始赢利总收入超过总支出，今年为第一年；

该车若干年后有两种处理方案：

①当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；

②当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．

问：哪一种方案较为合算？并说明理由．

19.  已知函数
解关于x的不等式；
若函数在区间上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：，，

故选：
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，当时，，
则，
又由为奇函数，则，
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
直接根据必要性和充分性判断即可．

【解答】

解：设，，当，时，满足但不满足，
故当，，由“”推不出“”，
而“”“”，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：

4.【答案】D 

【解析】解：，，，

故选：
根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于简单题．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．
设，当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【解答】

解：设，
当连续函数满足时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又，，
故，
故方程在区间上有解，
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．
利用特殊值法即可判断A、B；利用不等式的基本性质比较a与2a的大小关系，结合的单调性即可判断C；利用作差法比较与的大小关系，结合的单调性即可判断

【解答】

解：若，则，，所以，，故A、B错误；
因为，所以，又是R上的减函数，所以，故C错误；
因为，所以，
又是R上的减函数，所以，故D正确．
故选：

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查复合函数的单调性及对数函数的图象和性质.
由得：或，令，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．

【解答】

解：由得：或，
即的定义域为或，
令，
在内单调递增，
而时，为减函数，时，为增函数，
故函数的单调递增区间是
故选：

8.【答案】B 

【解析】解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数的图象
如下图所示：

由函数图象得，两个函数图象共有3个交点
故选：
根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数的图象，数形结合即可得到答案．
本题考查的知识函数的图象与图象的变化，其中在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查不等式的求解，属于中档题.
根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．

【解答】

解：是偶函数，
，
不等式等价为，
在区间单调递增，
，
解得
故选

10.【答案】B 

【解析】

【分析】

由函数奇偶性的定义即可判断①正确，②错误；方程，即为，对a分类讨论即可判断③错误，④正确，从而可得结论．
本题主要考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性以及方程根的情况，属于基础题．

【解答】

解：函数，定义域为，关于原点对称，
且，所以，是奇函数，故①正确，②错误；
方程，即为，即，
当时，方程无实根，当时，，
所以，方程有实根，故③错误，④正确．
故正确结论的序号是①④．
故选：

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题．
根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可．

【解答】

解：要使函数有意义，则，
得，
即，
即函数的定义域为，
故答案为：

12.【答案】 

【解析】解：设幂函数，为常数，
由它的图象过点，得
，
解得，
，

故答案为：
用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值．
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
 

13.【答案】  2或 

【解析】解：函数，则，
如果，则有或，
解可得：或，
故答案为：，2或
根据题意，由函数的解析式计算可得第一空答案，对于第二空：由函数的解析式可得或，解可得x的值，即可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
 

14.【答案】< 

【解析】

【分析】

利用待定系数法求出函数的解析式，再利用函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了指数函数的概念和指数函数的性质，是基础题．

【解答】

解：设且，
，
，解得：，
，在R上单调递减，
，
，
故答案为：

15.【答案】

4011

【解析】

【分析】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
根据生物体内碳14的质量N与死亡年数t之间的函数关系式，将代入，得，故每经过5730年衰减为原来的一半；利用碳14的质量是原来的至，建立不等式，即可推算良渚古城的年代．

【解答】

解：生物体内碳14的量N与死亡年数t之间的函数关系式为：，
当时，，
所以每经过5730年碳14的质量为原来的，
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，
；
两边同时取以2为底的对数，得：

；
故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．
故答案为：，

16.【答案】解：，或，
或，
，
；
或
，
或，
或，
实数m的取值范围或 

【解析】直接根据交集以及并集、补集的定义求解即可．
先求出C的补集，再结合子集的定义求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 

17.【答案】解：由题意可得，即，即，…分
解得，…分
函数的定义域为…分
函数为奇函数．…分
证明：由第一问得，函数的定义域为，…分
 ，…分
所以函数为奇函数．…分
解不等式，即，…分
从而有，…分
所以，…分
不等式的解集为 …分． 

【解析】对数的真数部分大于零，即解不等式，即，由此求得函数的定义域．
函数为奇函数，根据函数的定义域为，再由，可得结论．
解不等式，即，从而有，由此求得不等式的解集．
本题主要考查对数函数的图象和性质的应用，分式不等式的解法，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为客车每年的营运总收入为30万元，使用x年，
所需的各种费用总计为万元，
若该车x年开始赢利，则，
则，即，
解得，
所以该车营运3年开始赢利；
方案①由题意知赢利总额，
时，赢利总额达到最大值为22万元，
所以6年的赢利总额为万元，
方案②，年平均赢利总额，
当且仅当时取等号．时年平均赢利总额达到最大值为4万元，
所以5年的赢利总额为万元，
两种方案的赢利总额一样，但方案②的时间短，故方案②合算． 

【解析】设使用x年，根据已知建立不等式即可求解；
先求方案一中盈利总额的最大值，再利用基本不等式求出方案二中年平均盈利总额，对比两种方案即可求解．
本题考查了根据实际问题建立函数模型，考查了函数求最值以及基本不等式问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
，即，即，
令，解得或，
当时，此时，故原不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
函数在区间上有两个不同的零点，转化为方程在上有两个不同的根，
，解得，
故实数k的取值范围为；
，对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，
令，，则，
又，则，当且仅当，即时等号成立，
，
故实数k的取值范围为 

【解析】由题意得，令，解得或，分类讨论，，，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案；
题意转化为方程在上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可得出答案；
利用分离参数法，题意转化为对任意的，恒成立，构造函数，，利用基本不等式求出的最小值，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题和二次函数的图象与性质、基本不等式的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．