2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）

A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】由题意可得：，则.

故选：A.

【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

3．已知函数则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据题意，先求，再求即可.

【详解】根据题意，因为，所以．

故选：B.

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得到答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，y=x+1，是一次函数，不是奇函数，不符合题意；

对于B，y=x3，为幂函数，既是奇函数又是增函数，符合题意；

对于C，y=，为反比例函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；

对于D，y=x2，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

5．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解出不等式，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.

【详解】解不等式，得或，是的真子集，

因此，“”是“”的必要不充分条件，故选B.

【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下：

（1），则“”是“”的充分不必要条件；

（2），则“”是“”的必要不充分条件；

（3），则“”是“”的充要条件；

（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件.

6．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，则菜园的最大面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出长宽，表示出关系，利用基本不等式即可求出菜园的最大面积.

【详解】由题意可设菜园的长为x(墙所对的边)，宽为，则x+2y=L，面积.

因为，所以，

当且仅当，即，时，等号成立，所以菜园的最大面积为．

故选：A．

7．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数为奇函数排除C，再结合排除B，最后根据排除D，进而得答案.

【详解】解：由题知函数的定义域为， ，

所以函数为奇函数，故排除C选项，

由于时，，且，

故排除B,D.

故选：A

8．若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用基本不等式求出的最大值，然后解出对应的一元二次不等式即可.

【详解】因为，

所以，当且仅当即时等号成立

所以，解得或

故选：C

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【解析】由不等式的性质逐项判断即可得解.

【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，若，则，所以，故C正确；

对于D，，则，所以，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

10．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A．的根为和

B．函数的零点为和

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.

【详解】关于的不等式的解集为，

，C选项正确；

且和是关于的方程的两根，

则 ，则，，故D不正确；

不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.

故选：AC．

11．已知，则下列函数的最小值为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用基本不等式以及二次函数配方即可求解.

【详解】由，

对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，，当且仅当取等号，故B不正确；

对于C， ，故C不正确；

对于D，，

当且仅当时取等号，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：；，当时，都有；.则下列选项成立的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．，，使得

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及最值的应用，对每个选项进行注意判断，即可选择.

【详解】因为函数定义在上的函数，

所以由：，得函数为偶函数．

又因为由知：，，当时，都有，所以函数在上单调递减．

对：因为函数为偶函数，所以，

而函数在上单调递减，因此，即，故正确；

对：因为定义在上的偶函数在上单调递减且连续，且，

所以，解得或，故错误；

对：因为，函数为偶函数，所以．

因为函数为偶函数，在单调递减，

当时，令，解得；当时，令，解得，

所以由，得或，故正确；

对：由知：是函数的最大值，

因此，，使得，故正确.

故选：．

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围．

【详解】由题意，解得且，所以定义域为．

故答案为：．

14．已知幂函数的图象经过点，则______．

【答案】9

【分析】根据题意设，进而待定系数得，再求函数值即可.

【详解】解：设，则，解得，所以

所以．

故答案为：

15．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】由二次函数图像性质可得对称轴为满足或，求解即可

【详解】二次函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，则或，解得.

故答案为：

16．设是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为__________

【答案】

【分析】有题意分别设，再根据，进而可得.

【详解】

所以设，

所以

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，再进行交运算；

（2）根据集合的结果，进行集合的补和并运算；

【详解】（1），，

；

（2）或，

或；

18．已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若是的________条件，判断实数是否存在？

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果；

（2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果.

【详解】（1）若，则，

则，解得，

所以实数的取值范围是．

（2）若选择条件，即是的充分条件，则，

所以，解得，

所以实数的取值范围是；

若选择条件，即是的必要条件，则，

所以，解得．

又，所以，

所以实数的取值范围是；

若选择条件，即是的充要条件，则，

所以，方程组无解，

所以不存在满足条件的实数．

19．（1）已知，，用作差法证明：；

（2）已知，都是正数，求证.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）作差后，通分化简成几个因式乘积的形式，判断符号，得出结论；

（2）分别求出、、的取值范围，两边同时相乘即可证明.

【详解】（1）证明：

∵

，，

∴，

∴

即．

（2）证明：∵

∴，，，

∴，，

∴

当且仅当、、同时成立，即时，等号成立.

∴.

20．已知函数．

(1)判断在上的单调性并用定义法证明；

(2)判断的奇偶性，并求在上的值域．

【答案】(1)在上为减函数，证明见解析

(2)为奇函数，在上的值域为

【分析】（1）判断出在上为减函数，然后任取、，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（2）求出函数的定义域，验证与的关系，即可得出函数的奇偶性，再利用（1）中函数的单调性可求得函数在上的值域.

【详解】（1）解：在上为减函数，证明如下：

任取，则，

因为，所以，，，，

则，即．

故在上为减函数．

（2）解：的定义域为，

，故为奇函数．

结合（1）知在上为减函数，

当时，取得最大值，且最大值为，

当时，取得最小值，且最小值为．

故在上的值域为．

21．设函数,且

(1)若，求不等式的最小值；

(2)若在R上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；

（2）由题意可得， 在R上恒成立，再对参数分类讨论，分别计算可得.

【详解】（1）函数，

由，可得，所以，

当时等号成立，因为，，，

解得，时等号成立，

此时的最小值是9.

（2）不等式在R上恒成立，

即在R上恒成立.

当，即恒成立，不符合题意；

当时，由题意知，有

解得，

综上所述，实数的取值范围是．

22．新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：

(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？

【答案】(1)；

(2)年产量为30万台，利润最大.

【分析】（1）根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.

（2）利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.

【详解】（1），

∴.

（2）当时，，故在上单调递增，

∴时，取最大值，

当时，，当且仅当时等号成立，

∴当时，，

综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.