2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一上学期10月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的定义结合集合的描述法理解运算.

【详解】设集合，

可得：，且，故.

故选：C.

2．已知命题：+10，则为（    ）

A．+10 B．+10

C．+10 D．+10

【答案】D

【分析】将特称命题否定为全称命题即可

【详解】因为命题：+10，

所以为+10，

故选：D

3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图形，求出圆的半径以及 .再利用勾股定理求得 ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.

【详解】设，可得圆的半径为，

又由，

在直角中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

4．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.

【详解】因为，，所以，

记，

对于A选项，其表示，不满足；

对于B选项，其表示，不满足；

对于C选项，其表示，满足；

对于D选项，其表示，不满足；

故选：C.

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，

即不等式的解集为，

所以“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

6．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.

【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；

对于B，，无法判断，故B错误；

对于C，因为，，故C正确；

对于D，因为，故，即，故D错误．

故选：C．

7．下列函数中最小值为的是（    ）

A． B．当时，

C．当时， D．

【答案】B

【分析】对于，如果时，，故不符合题意；

对于，利用基本不等式得到函数的最小值为4，故正确；

对于，利用基本不等式得到最小值为，故错误；

对于，利用基本不等式得最小值取不到，故错误．

【详解】对于，，如果时，，故不符合题意；

对于，因为，

当且仅当，即时取等号，故正确；

对于，因为，

当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，故错误；

对于，，当且仅当即此时无解，这表明最小值取不到，故错误．

故选：．

8．已知函数，，若对于任意实数x，与至少有一个为正数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分，，三种情况讨论，的正负情况，得到时符合题目要求，当时，恒成立，然后分，，，四种情况讨论，求的范围即可.

【详解】当时，，符合题目要求；

当时，，符合题目要求；

当时，，所以，即不等式在时恒成立，

当时，不等式为，解得，符合要求；

当时，不成立；

当时，的对称轴为，又，符合要求；

当时，的对称轴为，则，解得，所以；

综上所述，.

故选：D.

二、多选题

9．一元二次不等式对一切实数x都成立，k的取值可以为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】AB

【分析】利用三个“二次”之间的关系列不等式，解不等式即可.

【详解】为一元二次不等式，所以，

当时，，解得.

故选：AB.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在圆O外的充要条件

B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件

C．是的必要不充分条件

D．x或y为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件

【答案】AD

【解析】选项A根据点与圆的位置关系判断；选项B举例说明即可；选项C根据集合的关系直接判断；选项D举例说明即可.

【详解】选项A：根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件，故选项A为真命题；

选项B：两个三角形面积相等也可能同底等高，全等三角形面积一定相等，故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故选项B为假命题.

选项C：是的充要条件，故选项C为假命题.

选项D当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立；当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立，故选项D为真命题.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查充分与必要条件的辨析、点与圆的位置关系、三角形面积相等与三角形全等的关系、根据集合运算的结果判断集合的包含关系，是基础题.

11．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A．有最小值2 B．有最大值

C．ab有最大值 D．有最大值

【答案】CD

【解析】根据题中条件，利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以A选项，，

当且仅当，即时，等号成立，故A错；

B选项，，

当且仅当时，等号成立，即有最小值，无最大值；故B错；

C选项，，当且仅当时，等号成立；故C正确；

D选项，，当且仅当时，等号成立；故D正确.

故选：CD.

【点睛】易错点睛：

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（    ）

A．如果，那么

B．若，则存在，满足

C．如果，那么

D．如果，那么

【答案】ABC

【分析】A选项：令，，得，即可得；

B选项：分别分析和同奇和同偶两种情况，去判断；

C选项：设，，求出，即可得到；

D选项：求出，得到.

【详解】A选项：当，时，，又，，所以，故A正确；

B选项：，和同奇或同偶，

当同奇时，为奇数，为偶数；

当同偶时，能被4整除，但不一定能被4整除，所以存在，满足，故B正确；

C选项：设，，则，故C正确；

D选项：，故D错.

故选：ABC.

三、填空题

13．集合满足，则集合的个数有________个.

【答案】3

【分析】根据题意求出所有的集合，即可解出.

【详解】因为，即，所以，，，即集合的个数有3个.

故答案为：3.

14．用列举法表示______．

【答案】

【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可.

【详解】解：因为且，所以或或或，

解得或或或，

所以对应的分别为、、、，

即；

故答案为：

15．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】利用韦达定理求出，再根据结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：因为关于x的一元二次方程的两个解分别为，

所以，解得，

，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

16．已知集合，，若集合的子集个数为2，则实数m的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据集合的子集个数为2，得到集合中只有一个元素，然后转化为方程在上只有一个解，然后分情况讨论即可.

【详解】集合的子集个数为2，所以集合中的元素个数为1，

即函数和的图象在上只有一个交点，

联立函数解析式，消得：，令，

①方程只有一个解，且在区间上，则，解得或3，

当时，方程的解为，符合要求；

当时，方程的解为，不符合要求；

②方程有两个解，有一个解在区间上，且，

所以，解得；

综上所述，的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．设集合，，若，求实数的值．

【答案】或

【分析】先由，得，而，的子集有4种情况，故对集合分这4种情况分别分析.

【详解】解：∵，∴．

，

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即无解；

当时，，即．

综上，或.

【点睛】由于集合是固定的，集合是变化的，所以对进行分类讨论，属于中档题.

18．已知，，其中.

(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)是否存在m，使得是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析.

【分析】分别求出命题与命题，再根据充分条件与必要条件即可解出答案.

【详解】(1)命题.

命题.

若p是q的充分条件，则

即

(2):或.

是q的必要条件,则

即或；解得：或；又

故不存在使是q的必要条件.

【点睛】本题考查充分必要条件.属于基础题.解本类题型常用“小范围可以推大范围，大范围不能推小范围”来解决.

19．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：

(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式

(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.

【答案】(1)，证明见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；

（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.

【详解】(1)该不等式为

证明：因为，所以，于是.

(2)若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，

若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，

又 ，

所以当时，两种方案一样；

当时，第二种方案比较经济.

20．1.已知关于的不等式.

(1)不等式的解集为，求实数，的值；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)，

(2)当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为；

当时，不等式的解为.

【分析】（1）把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，利用韦达定理求出实数a，b的值；（2）解含有参数的一元二次不等式，对进行分类讨论

【详解】(1)因为不等式的解集为，所以，为的两个根，所以，解得，故，.

(2)不等式等价于，

整理得到：.

当时，不等式的解集为.

当时，不等式的解集为.

当时，，故不等式的解集为.

当时，，不等式的解集为.

当时，，故不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

21．菏泽市某高中为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为.

(1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；

(2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.

【答案】(1)矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为

(2)矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为

【分析】（1）设矩形栏目的高为，宽为，根据题意可知，矩形海报的面积，然后再根据基本不等式，即可求出矩形海报的面积最小；

（2）由题意可知，，，可得，由（1）可得，再根据函数的单调性即可求出结果.

【详解】(1)解：设矩形栏目的高为，宽为，

则，矩形海报的高为，宽为（其中，），矩形海报的面积，

当且仅当，即，时取等号，

所以矩形栏目的高为，宽为时可使矩形海报的面积最小为.

(2)解：由题意得，，，解得，

由（1）可得，

令，易知函数在上单调递减，

所以当时，矩形海报的面积最小为.

故当矩形栏目的高为，宽为，可使矩形海报的面积最小为.

22．符号[x]表示不大于x的最大整数（xR），例如：[1.3]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.

(1)已知[x]=2，[x]=-2，分别求两方程的解集M、N；

(2)设方程[|x-1|]=3的解集为A，集合，若，求k的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意解方程即可；

（2）根据题意列方程，解方程得到集合，然后分，，三种情况讨论求集合B即可.

【详解】(1)因为表示不大于的最大整数，时，解得：，

所以 ，

时，解得：，所以 .

(2)因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得： ，

又；

当时，，所以成立；

当时， ，若，则有：，

解得；

当时，，若，则有：，

解得；

综上：.