2021-2022学年浙江省“9 1”高中联盟高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年浙江省“9+1”高中联盟高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，i是虚数单位，则是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算法则直接计算.

【详解】.

故选：C.

2．已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量共线定理可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解.

【详解】解：因为与平行，

所以存在实数，使得，即，

又为不共线，

所以，解得.

故选：B.

3．已知的面积为，下图是的直观图，已知，，过作轴于，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角形直观图面积和原图面积之间的关系，结合题意，即可容易求得.

【详解】设三角形直观图的面积为，显然，

又，解得.

故选：

4．如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可．

【详解】由题意圆锥的母线长为，

所以台灯表面积为，

需胶重量为（克）．

故选：B．

5．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算.

【详解】

设的中点为，则，所以，

所以外心与中点重合，故为直角三角形.

设，则，，

，设为方向上的单位向量，则

在上的投影向量为.

故选：C.

6．若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.

【详解】

.

故选：D.

7．在△中，内角的对边分别是，且，则等于（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果.

【详解】在三角形中，

由正弦定理可得：.

故选：A.

8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.

【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下：

，

在三角形中，由余弦定理可得：，即，

则，故，

显然当且仅当时，取得最小值，

故，的最小值为.

即的最小值为.

故选：

二、多选题

9．函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（    ）

A．

B．的一个对称中心为

C．函数图像向右平移个单位可得图象

D．是函数的一条对称轴

【答案】AB

【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.

【详解】解：因为为该图像最高点，

所以，

又函数的图象与轴交于点，

则，

又，所以，

则

，

则，

所以，

由图可知，所以，

所以，

所以，故A正确；

对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；

对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；

对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.

故选：AB.

10．已知的内角的对边分别是，，，则下列正确的是（    ）

A．若，则有二解

B．若有解，则的范围为

C．若，，则的长度为

D．若是的中点，是的中点，那么的取值范围

【答案】BCD

【分析】对选项A与B：可用余弦定理转化为二次方程解的个数问题;

对选项C与D：可用，分别表示 ，，，长度问题转化向量模长解决.

【详解】对选项A：在中，由余弦定理可知，

，

即，

整理可得:，即，则，故选项A错误；

对选项B：在中，由余弦定理可知，

，设，

即，整理可得:，

因为有解，方程需有正解，

所以且，解得，

即，因为，则，故选项B正确；

对选项C：.因为，所以

所以

，所以，所以选项C正确.

对选项D：因为为的中点，所以，

因为为的中点，所以，

设，因为，所以，

则，

因为函数是增函数，

所以，

故选项D是正确的.

故选：BCD.

11．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（    ）

A．与的夹角为 B．

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.

【详解】对：设的夹角为，，

两边平方可得：，

即对任意的恒成立，

故可得：，即，

则，又，故，故错误；

对：，故正确；

对：

，当且仅当时取得等号，故错误；

对：

，对，当且仅当时取得最小值，

故的最小值为，故正确.

故选：.

12．已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（    ）

A．对于任意点，直线与直线为异面直线

B．线段长的最小值为

C．三棱锥的体积为定值

D．三棱锥外接球的表面积最大值为

【答案】ACD

【分析】结合图象可判断A；取的中点，连接，计算可判断B；连接，因为分别为棱的中点，由正方体的结构特征结合线面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，由此可判断CD

【详解】对于A：由图象易知四点不可能共面，

所以直线与直线为异面直线是异面直线，故A正确；

对于B：取的中点，连接，

则易知，

 此时，故B错误；

对于C：连接，

因为分别为棱的中点，

由正方体的结构特征结合线面垂直的判定定理，

可得平面，且平面，平面平面，

且与和的交点分别为，且分别为和的中心，

为内（包括边界）的一个动点，

所以点到平面的距离为，

又因为的面积与都为定值，

所以三棱锥的体积为定值，故C正确；

对于D：又C可知三棱锥外接球的球心必在上，

其中的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，

当过点的球与所在平面相切于中心时，此时球的半径最小，

根据运动的思想，可得当点与或或重合时，此时外接球的半径最大，

设此时外接球的半径为，由正方体的棱长为1，

可得，

连接，在等边中，由，可得，

在等边中，由，可得，

则，

设，则，

在直角三角形中，有，

在直角三角形中，有，

所以，

解得，

所以，

所以最大外接球的表面积为，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．关于的实系数方程的一个虚根为，i为虚数单位，则实数______.

【答案】5

【分析】将虚根代入方程，根据复数相等列出等量关系，即可求得结果.

【详解】根据题意可得：，

即，

故，且，

解得.

故答案为：.

14．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.

【答案】

【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.

【详解】解：由题意可知，

设，

则弧的长度为，所以，

设弧所对的扇形的面积为，

，

则该鲁洛克斯三角形的面积为.

故答案为：.

15．已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若球的体积是，则墙角顶点到球面的点的最近距离为______.

【答案】

【分析】根据球体的体积公式，结合题意，即可容易求得结果.

【详解】根据题意，作图如下：

设墙角顶点为，球心为，该球与墙面的切点分别为，

设球体的半径为，因为其体积为，则，解得，

又因为，解得，

墙角顶点到球面的点的最近距离为.

故答案为：.

16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.

【答案】

【分析】根据题意做出几何图形，结合平面向量的基本知识以及正弦定理，数形结合即可求解.

【详解】根据题意，作图如下：

令，

根据题意可得：，且，

取中点为，故，点在以为直径的圆上运动；

显然当三点共线时，取得最大值，即；

不妨设三角形的外接圆圆心为，显然，

在三角形中，由正弦定理可得：，即，

故，当且仅当时取得，同时；

显然当三点共线时，取得最大值，

此时

故，当且仅当，且四点共线时取得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：问题的关键点是能够充分的进行数形结合结合圆的知识求解.

四、解答题

17．如图，在五棱柱中，侧棱垂直于底面，，，AE⊥AB，，AA1=3，过点作截面AB1D1E.

(1)求直三棱柱的表面积；

(2)求多面体的体积.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）根据多面体的表面积公式计算即可；

（2）分别求出直三棱柱的体积和直五棱柱的体积，然后相减即可得解.

【详解】（1）解：由题意得：，

直三棱柱的表面积为；

（2）解：直三棱柱的体积为，

如图，在五边形中，连接，

因为，且，AE⊥AB，

所以四边形为矩形，则，

所以在中，边上的高为，

所以五边形的面积为，

直五棱柱的体积为，

所以多面体的体积为.

18．已知函数

(1)求的最小正周期和单调增区间；

(2)当时，，求.

【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）先化简，再由周期公式可得周期，由可解得递增区间；

（2）由可得，进而得，则，即可求解

【详解】（1）因为

，

所以的最小正周期为，

由，

得；

所以单调递增区间为.

（2）因为，

所以，即，

又，则，

又，则，

那么，

从而

.

19．在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：

(1)求角的大小；

(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正余弦定理，结合不同的选择，进行边角转化，即可求得结果；

（2）根据余弦定理求得，结合三角形面积公式，即可求得结果.

【详解】（1）选①，因为，

所以，得，

即，

由正弦定理得：，

因为，所以()，所以．

选②，因为，所以，()

得，

即，

，

所以()，所以．

选③，因为，所以，

，

，

，，

，即，

因为，所以，所以．

（2）在△中，由余弦定理，则，那么；

由角平分线定理,则,

那么.

20．已知向量，，，，.若与垂直.

(1)求的值及与之间的夹角；

(2)设，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由与垂直，可得，即可求出的值；设与之间的夹角为，先求出的坐标，再代入，即可得出答案；

（2）将坐标代入，可表示出，再代入化简结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】（1）由化简得：，

因为，，所以，，

则，则

因为，解得，

因为，则；

设与之间的夹角为则，

因为，故.

（2）由得：，即，

，.

则，所以.

21．如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.

(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；

(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式即可得解；

（2）设A到EF的距离为，根据可求得，从而可得EF的最小值即为面积的最小值，设，，分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式结合三角恒等变换求得面积的最小值，从而可得出答案.

【详解】（1）解：在中，，

由正弦定理，得，所以，

在中，，

由正弦定理，得，所以，

所以；

（2）解：设A到EF的距离为，

由，得，

所以EF的最小值即为面积的最小值，

设，，

在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

，

当且仅当时，取“”，

当面积最小时，由，得，

所以线段的最小值为.

22．在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.

(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；

（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.

【详解】（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，

,

.

（2）设，则，

，

由，得：.

∴，因为，，

所以，，

令，则

当且仅当时取到等号，所以的最大值是

又，在上单调递减，

所以

.

故的最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数与的对应关系，求函数的最值，属综合困难题.