福建省龙岩市一级校2022-2023学年高三上学期期末联考试题+数学+图片版含解析

龙岩市一级校2022-2023学年第一学期期末高三联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．【解析】由图可知，三角形的底边是固定的，则点的运动直接影响着三角形面积的变化。由图可知，三角形的面积大小变化为：小大小大小，再考虑当点落在线段上以及点与点或重合时，都构成不了三角形，所以大小变化为：先正负，（三点共线），再正负，故选择D.

8．【解析】法一：由题意得，第一个参加面试的一定是男生，最后一次参加面试的一定是女生，男女生面试的排序应为“男男***女”或“男女男**女”，所以．

法二：如图：以下5种情况符合题意，所以所求概率为

．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

12．【解析】由（2）知，中的元素满足消去率，所以0. 设，由（1）知，都是中的元素，由集合元素的互异性，必存在整数使得.由于，所以故有。因为是整数，且，所以,即1. 若且，由（1）知，存在整数使得，即.令，又因为则. 由条件（1），不妨令，则有，再令，则有，如此循环，则都是数集的元素，又已知数集只有4个元素，考虑集合元素的互异性，则元素必需满足一定的周期性，且周期为，考虑复数恰满足此性质，故数集，即数集.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．        14．         15．           16．

15．【解析】如图，取的中点为，连接，则，

因为平面平面，平面平面，

平面，，所以平面．

在中，

由余弦定理，

得，所以，

所以为直角三角形．

所以球心在直线上，所以，

解得，所以该球的表面积为．

16．【解析】如图，四边形为平行四边形，

因为，所以．

因为，且，

所以，，

在中，

由余弦定理，

得，所以离心率为．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

解：（1）因为，①

所以当时，， ②

①-②得，...................................................1分

即，

因为，所以， ................................................2分

所以数列从第二项起，是公差为1的等差数列.

由①知，因为，所以，

所以当时，，即. ③............................................4分

又因为也满足③式，所以（）.  ...................................5分

注：没有验证的情况扣1分.

   （2）由（1）得，..................................................6分

，④

， ⑤.......................................................7分

④-⑤得，，.................................................8分

所以，......................................................9分

故. ........................................................10分

18．（12分）

解：（1）△中，由正弦定理，得，

则，，，

故可化为，　................................................2分

整理，得，..................................................4分

又，故，即.　................................................6分

（2）△中，由余弦定理，得，即，（*）

...........................................................7分

又，所以，代入（*），得，

整理，得，　................................................9分

又因为，　..................................................10分

所以，解得或（舍去），　......................................11分

故，故△的面积.　.............................................12分

19．（12分）

解法一：（1）由已知条件可得．........................................1分

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

过点在平面作，则．........................................2分

以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．

由已知可得．

∴．

设平面的法向量为，

则∴

令，得平面的一个法向量为，.................................4分

∴点M到平面的距离．......................................6分

（2）假设在线段上存在点，使得与平面所成角为．

设，则，................................................7分

∴，....................................................8分

又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，

∴，....................................................10分

可得，

∴（舍去）．.............................................11分

综上，在线段上存在点，使与平面所成角为，此时．...............12分

解法二：（1）由已知条件可得，，

∴．....................................................1分

∴又，∴．

∵平面平面，平面平面，

∴平面．

即为三棱锥的高，.........................................2分

又，∴，.................................................3分

又∵点为线段中点，

∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离的，

∴，………………4分

∵,,，∴，................................................5分

设点到平面的距离为，则，即

解得=，∴设点到平面的距离等于. .............................6分

（2）同解法一．

解法三：（1）∵点为线段中点，

∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离的，......................1分

由已知条件可得．.........................................2分

∵平面平面，平面平面，

∴平面．.................................................3分

又∵，∴．................................................4分

∵，ADBC，∴，

又，∴，

∴点到平面的距离等于线段的长．..............................5分

∵，∴点到平面的距离等于...................................6分

（2）同解法一．

20．（12分）

解：（1）记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件，

由题可知，..................................................2分

， ........................................................4分

∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为.

...........................................................6分

（2）设比赛主办方在决赛前两场中共投资（千万元）， 其中，

若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元），

记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，，..........................7分

∴，， ......................................................9分

∴随机变量的分布列为

∴的数学期望，...............................................10分

令，则，....................................................11分

∴当，即时，取得最大值，

∴比赛主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元. ……12分

21．（12分）

解：（1）以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，

建立平面直角坐标系如图，

在线段上取点，使得，

因为，所以

因为在的垂直平分线上，所以，

又因为，所以，

所以，所以

即的轨迹是以为焦点的椭圆，设的方程为

则，得，，

又因为当在直线上时，点不存在，所以的方程为

...........................................................6分

（2）设，则的中点为，.

1°当时，由解得，则的方程为，

此时与恰有一个公共点（如图）；.................................7分

　　　  2°当时，如图，

则的斜率为，

的方程为

因为，

所以的方程可化为，..........................9分

代入得：，

整理得：…（＊）

由得代入“＊”并整理得：

...........................................................11分

此时，与恰有一个公共点.

综上，与恰有一个公共点．......................................12分

22．（12分）

解：（1）若，则， ，................................................1分

在成立，∴在递增，............................................2分

又，，故存在，使得，

且在递减，在递增，故，

又，故在的最大值为．

...........................................................4分

（2）解法一：要证在单调递增，即证在成立，

∵，∴，

记，故只需证明记在成立，......................................5分

①当时，，而，∴成立；........................................6分

②当时，，

在成立，∴在单调递增， ........................................7分

又，，∴必存在，使得，

且时，时，

即在单调递减，在单调递增，....................................9分

∴，此时，即，

∴成立，

∵，而，∴，

∴，∴，即，，................................................11分

∴，即在成立，

综上，在成立，故在成立，

故在单调递增．  ..............................................12分

解法二：要证在单调递增，

即证在成立，

①当时，∵，，

而，∴成立；.................................................6分

②当时，∵，要证，即证，......................................7分

记，则，

由 得：，

∴在递减，在递增，............................................9分

∴时，

，

故时成立，即成立，

综上，在成立，故在单调递增．..................................12分

解法三：要证在单调递增，

即证在成立，

①当时，∵，，

而，∴成立；  … 6分

②当时，∵，要证，即证， ......................................7分

记，则，

由 得：， ∴在递增，在递减，....................................9分

∴时，，  ...................................................10分

故只需证：，即证：，即证：，

即证：，∵，显然成立，

∴时，，即成立，即成立，

综上，在成立，故在单调递增．..................................12分

解法四：先证明成立，再证明，成立．

令，则，且当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，即成立．...............................................6分

令，，则，所以在上单调递增，

所以，即，成立．.............................................8分

所以，......................................................10分

因为，所以，所以在上单调递增．.................................12分