2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 27.椭圆第三定义与点差法

椭圆的第三定义

1.基础知识：

如图，椭圆上任意一点与过原点为中心的弦的两端点、连线、与坐标轴不平行，则直线、的斜率之积为定值．

证明 设，，则．所以 ①   

    ②

由①－②得，所以，所以为定值．

这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.

2.典例：(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．

求的方程，并说明是什么曲线；

过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．

证明：是直角三角形；

求面积的最大值．

【详解】

（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；

（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为

直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解

所以有，代入直线方程中，得

，所以点的坐标为，

直线的斜率为; ,

因为所以，因此是直角三角形；

（ii）由（i）可知：，

的坐标为，

，

,

,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.