2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 20.体积计算的五种方法

体积计算的五种方法

方法1.公式法

例1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（       ）

A． B． C． D．

例2．（2020全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

解析：（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.

方法2.等积转化

1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2.尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

转化的目的是为了找到易于计算的：“好底”与“好高”.

例3．如图，在棱长为2的正方体中，E是侧面内的一个动点，则三棱锥的体积为_________.

例4.如图所示，在正方体中，为中点. 若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.

三、多面体割，补法求体积

1.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥，从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”

2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；

（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；

（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；

（4）将台体补成锥体等等。

例5．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

解析：设，因为平面，，则，

，连接交于点，连接，易得，

又平面，平面，则，又，平面，则平面，

又，过作于，易得四边形为矩形，则，

则，，

，则，，，

则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.

例6．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

（1）证明：平面；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

解析：（2）分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．

因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积

．

，

四、两部分体积比例法（转移法）

把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积，利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化.

例7.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ，且底面.

（1）证明： 平面；

（2）若为的中点，求三棱锥的体积.

解析：（1）证明：∵，∴，∵，∴.

又∵底面，∴.∵，∴平面.

（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

而.

所以三棱锥的体积.

例8．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

解析：（2）连结EO.由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在中，.又AB=BD，所以

，故∠DOB=90°.由题设知为直角三角形，所以.又是正三角形，且AB=BD，所以.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.

五．坐标方法

例9．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即． 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．