2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 04 三角函数图象与性质

三角函数图象与性质

在三角函数图象与性质中，对整个图象的性质影响是最大的！毕竟，可以改变函数的单调区间，极值个数，零点个数等，而只能管到图象左右平移，没有那么多丰富的变式. 因此，对的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷11题，三卷12题等，所以，对的取值范围的系统研究有助于学生进一步突破三角压轴！

一．知求

知求的问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.

1.已知单调性求.

例1. 已知，函数在上单调递减，求的取值范围.

分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）是最大减区间的子区间.

解析：，由于，故欲使得在区间

递减，只需使得在递减，

即可解得.

2.已知最值求.

例2．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

3.已知对称轴求.

例3. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.

变式：图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.

4.已知零点求.

例4．已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是(     )

A． B．       C． D．

【答案】D

5.求综合问题

例5．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增       ④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【答案】D

解析：当时，，∵在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；

极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若在单调递增，则 ，即 ，∵，故③正确．故选D

二．与皆不知.

例6.（2022武汉二调）已知函数，且在内恰有2个极值点，且，求的取值集合_____________.

解析：依题，欲使得在内恰有2个极值点，则需满足：

，故.

例7．已知函数在区间上单调，且，，则的最大值为

A．7 B．9 C．11 D．13

解析：由题意，函数在区间上单调，则，解得，所，即，又由，则，即，解得.

当时，此时，则，又由，即，解得，即，此时函数在区间上不单调，不满足题意.

当时，此时，则，又由，即，解得，即，此时函数在区间上是单调函数，满足题意，所以的最大值为，故选B.

练习题

1．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

2．若函数在上的值域为，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

3．已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

4．设函数在上单调递减，则下述三个结论：

①在上的最大值为，最小值为；

②在上有且仅有4个零点；

③关于轴对称；

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

5．函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

6．已知函数，，且在区间上的最大值为.若对任意的，都有成立，则实数的最大值是（       ）

A． B． C． D．

解析：，所以周期，因为，且在区间上的最大值为，所以是函数图象的一条对称轴，且，即有，. 而，∴，解得.

故. 因为任意的，都有成立，

所以在上，. 令，若，即，则，成立；若，即，此时，所以，而，∴，即，解得. 即.

故满足题意的实数的范围为，即实数的最大值是.