初中数学中考复习 专题58解直角三角形及其应用（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题58解直角三角形及其应用（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
专题57解直角三角形及其应用（1）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·湖南长沙?中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】
解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
2．（2020·四川宜宾?中考真题）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】

先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到AC⊥BC，得到cosB=,代入即可求出AB，故可求出的周长．
【详解】

∵，，
∴BC=
∵AB是的直径，
∴AC⊥BC，
∴cosB=
即
解得AB=
∴的周长为
故选A．
【点睛】

此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用．
3．（2020·广东广州?中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】
解：∵中，， ，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】
本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
4．（2020·吉林长春?中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】
由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
5．（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
6．（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）

A．或 B．
C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．
【详解】
解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，

则，OA=，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF=，
C′F=，
∴C′（），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′，
综上，点C的对应点的坐标为或，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论．
7．（2020·广东深圳?中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
【答案】B
【解析】
【分析】

在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】

解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：B．
【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
8．（2020·湖北荆州?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标．
【详解】
解：如图，过A点作轴于D点，

的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（2020·山东威海?中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】

根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】

解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，

由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，
∴tanα的值为，
故选：A．
【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2020·重庆中考真题）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可．
【详解】
解：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．
在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4
∴DF=2.4x米，
∴DE= 米
∴=75，
∴x=30米，
∴DF=2.4x=72米，
∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，
在Rt△AEG中，
米
∴米．

故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形．
11．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）

A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
12．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（ ）

A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
【详解】
解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH=BC=AD= ，
∵∠MBH=∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4．
∴的内切圆半径是4．
故选：A．

【点睛】
本题考查了线段垂直平分线定理，等边三角形的判定，等边三角形内切圆半径的求法，解直角三角形，解题关键在于理解题意，运用正确的方法求三角形内切圆半径．
13．（2020·辽宁大连?中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．
【详解】
解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
14．（2020·西藏中考真题）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到＝，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形的面积，得出OD＝OA＝2，AD＝OA＝2是解题关键．
15．（2020·重庆中考真题）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）

A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
【详解】
解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，

∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，

∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.


二、解答题
16．（2020·江苏扬州?中考真题）如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．

（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
17．（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号

【答案】CD的高度是米．
【解析】
【分析】
作于点F，设米，在直角中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角中表示出CE的长，然后根据即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】
如图，作于点F，设米，
在中，，
则，
在直角中，米，
在直角中，，则米，
，即，
解得：，
则米，
答：CD的高度是米．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度是解题的关键.
18．（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
求证：DC为的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．

【答案】证明见解析；．
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得：，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：，可得结论；
先根据三角函数计算，，证明∽，得，设，，利用勾股定理列方程可得x的值，证明∽，列比例式可得CF的长．
【详解】
（1）如图，连接OC，

为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
为的切线；
中，，，
，，
，，
∽，
，
设，，
中，，
，
舍或，
，，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，
，，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
19．（2020·辽宁大连?中考真题）四边形内接于是的直径，．

（1）如图1，求证；
（2）过点D作的切线，交延长线于点P（如图2）．，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接证明结合从而可得结论；
（2）由为的直径，得 利用锐角三角函数求解，连接 交于，证明四边形为矩形，从而可得答案．
【详解】
证明：（1）如图，连接





（2）如图，连接 交于，
为的直径，




为的切线，





四边形为矩形，


【点睛】
本题考查了圆的基本性质，考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2020·辽宁朝阳?中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）

【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】
法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】
方法1：
解：作于D．依题意得，

，，
，
．
在中，，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，，
，
（或者由勾股定理得）
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：
解：于点D，
依题意得：，，．
，
，
在中，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
第一组用时：；第二组用时：
，
第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
21．（2020·辽宁铁岭?中考真题）在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接．


（1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明详见解析；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DO＝EO，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，从而得出DOEO，问题得解；
（2）方法1:延长EB交AD于F，先证明 ,然后证明,最后证 问题得以证明；方法2:延长EO到M，使得OM＝OE，先证是等腰三角形，然后证OAMOBE，再证MADDCE,最后证明MDE为等腰三角形问题得解．
（3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可证OD⊥OE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD．
【详解】
（1）
理由：，
与是直角三角形，
是AB的中点，
，
，
，
，
， ，
，
在中， ，
，

故，OD＝OE．
（2）成立．
证法一：延长交于点，连接

和是等腰三角形，


∴四边形是矩形



是的中点









∵在中，是中点
，则



．
证法二：延长到点，使得，连接

是的中点




和是等腰三角形，

















．
（3）如下图，当BC在AC左侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它的延长线交于H，连接DE，

∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴,
∴，
∴在中，,,
∴,
在中,,
由（2）中的证法2可证得OD⊥OE，OD=OE，
∴为等腰直角三角形，
∴在中，；
如下图，当BC在AC右侧时，∠ACB=60°，
过E作EH⊥DC，与它交于H，连接DE，

∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形，
∴,
∴，
∴在中，,,
∴,
在中,,
∴．
综上所述或．
【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了图形的旋转变换，直角三角形的性质，三角形全等判定与与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，三角函数等知识，属于中考压轴题．
22．（2020·辽宁铁岭?中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】
解：（1）垂直于桥面

在中，

（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．


（2）在中，



（米）
答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
23．（2020·江苏泰州?中考真题）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）

【答案】两次观测期间龙舟前进了18米．
【解析】
【分析】
设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】
解：设BA与CD的延长线交于点O，

根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
24．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．

（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见详解；（2）的半径为．
【解析】
【分析】
（1）由AB为直径，则∠ADB=90°，由等边对等角，三角形的外角性质，得到，然后得到，即可得到结论成立；
（2）由，DF=2，则求出BD=6，然后利用勾股定理，求出AB的长度，即可得到半径．
【详解】
解：（1）∵为直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵BE平分∠CBD，
∴，
∴，
∴，
∴∠ABC=90°，
∴BC是的切线；
（2）∵，
∴，
∵∠BDF=90°，
∴，
∴，
∴BD=6，
设，则AD=，
在Rt△ABD中，由勾股定理得
，
解得：，
∴，
∴的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角，三角形的外角性质，以及等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．
25．（2020·辽宁丹东?中考真题）如图，小岛和都在码头的正北方向上，它们之间距离为，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头的正西方向处时，测得，渔船速度为，经过，渔船行驶到了处，测得，求渔船在处时距离码头有多远？（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）

【答案】14.2 km.
【解析】
【分析】
根据题意，可求出km,km，则可得km,在中利用三角函数可得，所以km,然后在中，根据三角函数列出关于的方程，解方程即可得出答案.
【详解】
解：依题可得，km,
设km，则km,
在中，
，
，
，
，
km,
km,
在中，
，
，

解得：
即渔船在处时距离码头约14.2km.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题目所给的已知条件，先找出要用到的直角三角形，然后再逐一去分析，需要设未知数的一般求谁设谁，或者选择计算量较小的线段设为未知数，注意题目要求的精确度.
26．（2020·内蒙古呼伦贝尔?中考真题）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为．某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从两地处测得点的方位角如图所示，．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．

【答案】会受到影响，理由见解析
【解析】
【分析】
首先过C作CD⊥AB与D，由题意得AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，继而可得CD·tanα + CD·tanβ = AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
【详解】
解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=α，∠BCD=β，
∴tan∠ACD=tanα=，tan∠BCD=tanβ=，
∴AD = CD·tanα，BD = CD·tanβ，
由AD+ BD= AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，
则＞30，
∴高速公路会受到地震影响．

【点睛】
此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
27．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为__________米（结果保留根号）．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
【详解】
解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中，米，
在Rt△ADB中，米，
∴米．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题关键．
28．（2020·内蒙古赤峰?中考真题）如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）抛物线解析式为，（2）点Q（2，-1），（3）存在，满足条件的点M有8个，M（，）
【解析】
【分析】
（1）求出点C坐标，将A、B、C坐标代入抛物线，即可求解．
（2）设出直线BC平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，Δ等于零，求出Q坐标即可．
（3）利用△OBC∽△EMN，得到两种情况∠MEN=∠OCB，∠MEN=∠OBC；利用，，得到M的横坐标的方程，解方程即可．
【详解】
（1）由题意知：直线经过B，C两点
∴将x=0代入直线，解得y=2
∴C（0，2）
由题意知：A(1 ，0) ，B(4，0)，C（0，2）代入抛物线，
可得
解得 ， ，
∴抛物线解析式为．
（2）由题意知：设直线BC平移后的函数为
∵直线BC平移后与抛物线有唯一公共点Q，
∴
化简得

即
∴直线BC平移后的函数为
令
解得，
∴点Q（2，-1）．

（3）如图所示，过点M作MP⊥EN，设M点坐标为（m，n）．
由题意知：△OBC∽△EMN
分两种情况讨论：
第一种，∠MEN=∠OCB
在Rt△OBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点

第二种，∠MEN=∠OBC
在△RtOBC中，
∵OC=2，OB=4
∴
∴
又∵点Q（2，-1），QE⊥AB
∴点E（2，0）
∴
代入抛物线可得
化简
如图所示，有4个交点

综上所述，有8个交点．
由上述可知M只要满足下列任意一个函数即可；


∴令（m>4），
解得，（舍）．
∴M（，）．

【点睛】
本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键．
29．（2020·江苏镇江?中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．
【解析】
【分析】
延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】
解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，
∴tan30°＝，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵ MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
30．（2020·云南中考真题）如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到∠OCD=90°，即可求解；
（2）连接BC，在Rt△ADC中，利用cos∠1=∠CAB=，求出AC=5，再根据在Rt△ABC中，cos∠CAB=，即可求出AB的长．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠4=90°
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
又AO=OC，
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴∠4+∠3=90°
即∠OCD=90°
故OC⊥CD，OC是半径
∴是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵AC平分∠DAB，∠1=∠2
在Rt△ADC中，cos∠1=∠CAB=
又AD=4
∴AC=5
在Rt△ABC中，cos∠CAB=
∴AB=．

【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义．
31．（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．

【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD=，则AC=，
∴BD=AB-AD=，
∵∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴，
解得，
经检验，是原方程的根，
∴AC==()=(-)km．
答：船C离观测站A的距离为(-)km．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
32．（2020·辽宁沈阳?中考真题）在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．
（1）如图，当时，
①求证：；
②求的度数：
（2）如图2，当时，请直接写出和的数量关系为__________；
（3）当时，若时，请直接写出点到的距离为__________．


【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）①通过证明即可得证；②根据得到，故即可求解；
（2）通过证明，对应线段成比例可得；
（3）分两种情形，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】
解：（1）①证明：∵，，，
∴与都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
故答案为：；
（3）过点作于，过点作交的延长线于．
如图中，当是钝角三角形时，

在中，，，，
，，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，

如图中，当是锐角三角形时，同法可得，，，

综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
33．（2020·四川凉山?中考真题）如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c


（1）求证：
（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值
【答案】(1)详见解析;(2)AB=,.
【解析】
【分析】

(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.
(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出.
【详解】

(1)


如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得,,根据三角函数可得,则.
同理可得,.
∴.
(2)根据(1)的结论可得,
,,.将值代入得:
,解得,即AB=.



过点B作BD⊥AC,由题意可得,,
∴AD=AB·sin=, AD=BC·sin=.
∴AC=AD+CD=.
∴即,得.
【点睛】

本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.
34．（2020·四川凉山?中考真题）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．

（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若，，求半圆的直径．
【答案】（1）见详解；（2）12
【解析】
【分析】
（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=，
在Rt△AOE中，根据sin∠BAC=，sin∠BAC=，可得AO==×=6，即可求出直径．
【详解】
（1）连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AH，
∵DH⊥AH，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，

∴OE=DH=，
在Rt△AOE中，
∵sin∠BAC=，sin∠BAC=，
∴AO==×=6，
∴AB=2OA=12，
∴半圆的直径长为12．
【点睛】
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点是解题关键．
35．（2020·云南昆明?中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）满足条件的PA的值为或或8或10．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是矩形，先证明四边形AEFD是平行四边形，根据∠A＝90°，即可得到结果；
（2）连接PM．BM，证明EF∥AD，推出BO＝OP，根据翻折可得到结果；
（3）分类讨论：当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F；当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F；当DA＝DM时，此时点P与D重合，AP＝8；当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F；
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
（2）证明：如图2中，连接PM．BM．

∵四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，
∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP．
（3）解：如图3﹣1中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝，
∴HM＝HF＝FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴，
∴，
∴AP＝．
如图3﹣2中，当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F．

∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝，
∵tan∠ABF＝，
∴，
∴AP＝，
如图3﹣3中，当DA＝DM时，此时点P与D重合，AP＝8．

如图3﹣4中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得，
∴，
∴AP＝10，
综上所述，满足条件的PA的值为或或8或10．
【点睛】
本题主要考查了利用矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理的性质进行求解，准确分析题意是解题的关键．
36．（2020·四川眉山?中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．

【答案】小山的高度为米
【解析】
【分析】
设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】
解：设为米，则米，∵ ∴，而米，
在中，，
则米，米，
在中，，
解得．
答：小山的高度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
37．（2020·江苏南通?中考真题）（了解概念）
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

（理解运用）
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
（拓展提升）
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．
【答案】（1）；（2）四边形ABCD是对余四边形，证明见解析；（3）u＝（0＜t＜4）．
【解析】
【分析】
（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值．
（2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．
【详解】
解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．

∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴sin∠CAD＝．
（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．

理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．
（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴
∴u＝，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝，
∴u＝＝（0＜t＜4），
即u＝（0＜t＜4）．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
38．（2020·江苏南通?中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；
③在射线OB上截取BC＝OA；
④连接AC．
若AC＝3，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为．
【解析】
【分析】
（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【详解】
（1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，

由作法得OA＝OB＝AB＝BC，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．
即⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
39．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）

【答案】没有危险，理由见解析
【解析】
【分析】
作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．
【详解】
解：没有触礁的危险；
理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，
由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12，
在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×＝6，
∵AN＝6≈10.38＞10，
∴没有危险．

【点睛】
考查直角三角形的边角关系及其应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
40．（2020·辽宁营口?中考真题）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）证明：过O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA＝，
∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，
∴OB＝＝＝．
【点睛】
本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键．
41．（2020·山东烟台?中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；
（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．
（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）

0.1

78.7

0.2

84.3

1.7

5.7

3.5

11.3


【答案】（1）176，164；（2）157.4°
【解析】
【分析】
（1）根据样本平均数即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
【详解】
解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，
故答案为：176，164；
（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，
∴tan∠FAC＝＝＝5，
∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，
答：两臂杆的夹角为157.4°．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
42．（2020·吉林长春?中考真题）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．

（1）当点与点重合时，求的值．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．
（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）或；（4）或.
【解析】
【分析】
（1）由题意直接根据AB=4，构建方程进行分析求解即可；
（2）由题意分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出CE即可；
（3）根据题意求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围；
（4）根据题意分两种情形：如图7，当点P在线段AB上，QM∥AB时以及如图8，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）当点与点重合时，．解得．
（2）在中，，，所以，，．
如图3，当点在上时，在中，．
所以．
如图4，当点在上时，在中，，．
所以．
（3）先考虑临界值等腰直角三角形，那么．
如图5，当点在上时，在中，．
而，
由，得．解得．
如图6，当点在上时，在中，．
而，
由，得，解得．
再数形结合写结论．
当为锐角三角形时，，或．

（4）的值为或．
如图7，当点在上时，延长交于点．
作于，作于．
由，是的中点，可知是的中点．
在中，，所以．
在中，．
由，解得．
如图8，当点在上时，作于．
由，是的中点，可知．
在中，，所以．
在中，．
由，得，解得．

【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.
43．（2020·贵州毕节?中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．
【答案】（1），（4，）；（2）在，理由见解析；（3）22．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法将B、C两点坐标直接代入解析式即可求出a、b，用配方法将解析式变形为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，继而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO= ，从而∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线；
（3）由平移规律可知，AF//OB，根据 直线OB解析式求出直线AF解析式，进而求出直线AF与抛物线交点，得F坐标，即可四边形的面积等于四边形AODF面积即可解．
【详解】
解：把点，点代入抛物线解析式得：
，解得，
即抛物线解析式为：，
∴，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：，（4，）；
（2）∵与y轴交于A点，
∴A点坐标为(0，4)，
又∵B点坐标为(8，4)，故AB⊥y轴，
∵AM⊥OB，
∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，
∴∠MAO=∠B，
∵OA=4，AB=8，
∴tan∠MAO= tan∠B=，
将沿轴翻折，点的对应点为点．
∴tan∠MAO= tan∠NAO =，
又∵ OC=2，tan∠CAO，
∴∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线，
故N点直线AC上；
（3）∵B点坐标为(8，4)，
∴直线OB解析式为，
平移规律可知，AF//OB，又因为点A坐标为，
∴直线AF解析式为，
联立解析式得方程组： ，解得，，
故F点坐标为：，
由平移性质可知四边形AODF是平行四边形，≌．
∴四边形的面积=平行四边形AODF面积，
∵平行四边形AODF面积=，
∴四边形的面积为22．
【点睛】
本题是函数与几何综合题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数、一次函数的应用、解直角三角形、平移、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会构建直角三角形求点坐标，学会构建一次函数，利用方程组求两函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．
44．（2020·湖南郴州?中考真题）如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．

（1）如图，在旋转过程中，
①判断与是否全等，并说明理由；
②当时，与交于点，求的长．
（2）如图，延长交直线于点．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①全等，证明见解析；②；（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理（SAS）即可证明；②过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM的长，进而得出，再由求出结果；
（2）①根据全等三角形性质可得，再在和中由三角形内角和定理得出，从而证明结论；②根据∠APC=90°得出PC最大值是∠GAD最大时，即GD⊥AG时，进而可知CEF三点共线，F与P重合，求出此时CE长，继而可得CP最大值．
【详解】
解：（1）①全等，理由如下：
在等腰直角三角形中，AD=CD，，
在正方形中，GD=ED，，
又∵，，
∴
在和中，
，
∴（SAS）；
②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，

∵点是的中点，
∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，
由①得，
∴，
又∵，
∴，
∵AM⊥GD，
∴，
又∵ ，
∴四边形GMNF是矩形，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴
∴，
∴．
（2）①由①得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：；
②∵，
∴，
∴当最大时，PC最大，
∵∠DAC=45°，是定值，
∴最大时，最大，PC最大，
∵AD=4，GD=2，
∴当GD⊥AG，最大，如解图3，

此时，
又∵，，
∴F点与P点重合，
∴CEFP四点共线，
∴CP=CE+EF=AG+EF=，
∴线段得最大值为：．
【点睛】
本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键．
45．（2020·广东深圳?中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【解析】
【分析】

（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0