初中数学中考复习 专题28二次函数（2）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题28二次函数（2）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版），共216页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题28二次函数（2）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________



一、填空题
1．（2020·辽宁朝阳?中考真题）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
【答案】且
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
【详解】
解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
2．（2020·山东烟台?中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是_____．

【答案】②③④
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，
∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；
故答案为②③④．
【点评】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．
3．（2020·黑龙江大庆?中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】

由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】

解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
4．（2020·山东淄博?中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【答案】210
【解析】
【分析】
【详解】
根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0

由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
5．（2020·四川雅安?中考真题）从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【详解】
解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．
6．（2020·吉林长春?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2020·山东威海?中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．

……




……

……




……



【答案】
【解析】
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：

解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
8．（2020·湖北荆州?中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
【详解】
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】
此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
9．（2020·宁夏中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【详解】
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
10．（2020·广东广州?中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
【答案】10.0； ．
【解析】
【分析】
（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
【详解】
解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
11．（2020·内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
【详解】
∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点睛】
本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
12．（2020·黑龙江穆棱?朝鲜族学校中考真题）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_____．
【答案】(2，－5)
【解析】
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．
【详解】
抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），
∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），
故答案为：(2，－5) ．
【点睛】
此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
13．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．
【答案】70
【解析】
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
【详解】
解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
14．（2020·四川内江?中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）

【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】
解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；

对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，

联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得(舍)，故③正确；
对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．

故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
15．（2020·上海中考真题）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____．
【答案】y=x2+3．
【解析】
【分析】
直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【详解】
抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．
故答案为：y=x2+3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．（2020·江苏淮安?中考真题）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
【答案】(-1,4)
【解析】
【分析】
把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
【详解】
解：∵=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
17．（2020·湖北荆门?中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．

【答案】①④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】
解：① 开口向下， a0， abc4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
18．（2020·湖北咸宁?中考真题）如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上）

【答案】①②③
【解析】
【分析】
证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断②；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④.
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，故①正确；
在BA上截取BM=BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，BA=BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵BA-BM=BC-BE，
∴AM=CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°=∠AME，
∵∠BAE=∠FEC，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，故②正确；
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，
∴，故③正确；
设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，
S△AME=•x•（2-x）=，
当x=1时，S△AME有最大值，
而△AME≌△ECF，
∴S△AME=S△CEF，
∴S△CEF有最大值，所以④错误；
综上：正确结论的序号是：①②③.
故答案为：①②③.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.
19．（2020·湖北武汉?中考真题）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】
①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与时的函数值相等，即为

当时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当时，
则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或
对应的的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
20．（2020·山东青岛?中考真题）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
【详解】
解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆4），
解得，（舍）．
∴M（，）．

【点睛】
本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键．
53．（2020·江苏镇江?中考真题）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【答案】（1）N(4，﹣4)，＝；（2）不变，理由见解析；（3）y＝﹣x2+x+．
【解析】
【分析】
（1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则，，求出AC＝，BC＝，即可求解；
（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝，BC＝，即可求解；
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F(﹣，﹣)，即可求解．
【详解】
解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，
∵ME∥FN∥x轴，

∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，
∴，，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D(1，5)，N(4，﹣4)，
则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，
∴，解得：AC＝，BC＝，
∴＝；
（2）不变，理由：
∵y＝ax2﹣2ax+c过点M(﹣1，1)，则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)，
∴点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，
∴ME＝2，DE＝﹣4a，
由（1）的结论得：AC＝，BC＝，
∴＝；
（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F(﹣，﹣)，
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得：
﹣a＝a(﹣+2)(﹣﹣2)+1，
解得：a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的综合运用等知识．综合性强．
54．（2020·山东滨州?中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【解析】
【分析】
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】
解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得

即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
55．（2020·山东滨州?中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），
【解析】
【分析】
（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．
（2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】
解:设抛物线的函数解析式为
由题意,抛物线的顶点为

又抛物线与轴交于点


抛物线的函数解析式为
（2）证明：∵P（m，n），
∴，
∴P（m，），
∴，
∵F（2，1），
∴，
∵，，
∴d2=PF2，
∴PF=d．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．

∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF=QH，
∴DQ+DF=DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．
56．（2020·内蒙古鄂尔多斯?中考真题）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）(﹣，)，(﹣，﹣)
【解析】
【分析】
（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，

∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，

∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣）
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出tan∠ECA=tan∠PAB=是本题的关键．
57．（2020·内蒙古鄂尔多斯?中考真题）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400

已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）10%；（2）y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
【详解】
解：（1）设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
58．（2020·云南中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1，-2）（3）P（5,12）
【解析】
【分析】

（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交点，即可求解；
（3）过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，得到△DEH∽△PEG，根据题意可得，可设P（m, ）,E（m,m-3）表示出PE,DE，故可求出m的值，故可求解．
【详解】

（1）把，代入
得
解得
∴
（2）∵=
∴对称轴为x=1
∵A，
∴A点关于x=1对称的点B为（3,0）
如图，连接BC，
设直线BC解析式为y=px+q
把B（3,0）,C（0，-3）代入得
解得
∴直线BC解析式为y=x-3
当x=1时，y=-2
∴直线BC交对称轴x=1与F（1，-2）
∵C=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,
故此时的周长最小，F（1，-2）；
（3）存在点使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍，
设P（m, ）,
∴E（m,m-3）
如图，过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，
∴DH∥PG
∴△DEH∽△PEG
∴
∵PE=-（m-3）=，DE=m-3
∴
解得m1=5，m2=3
m=3时，分母为0不符合题意，故舍去
∴P（5,12）．

【点睛】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及相似三角形的判定与性质．
59．（2020·四川绵阳?中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，
∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，
∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，

则P'（n，﹣n+1），
∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，
∴x＝0或x＝，
∴C（，﹣），
设Q（，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m+＝﹣+4，
解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，
∴R（），
∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，
解得m＝﹣10，
∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
60．（2020·江苏宿迁?中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：

，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
61．（2020·江苏宿迁?中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．
(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)
【解析】
【分析】
(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；
(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；
(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案．
【详解】
(1)将A(2，0)，B(6，0)代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
∵，
∴E(4，)；
(2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD，

设D(4，m)，
当时，，
∴C(0，3)，
∵=，由勾股定理可得：
=，
解得m=3±，
∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；
(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，

设P(，)，则Q(，)，
设直线CQ的解析式为，则，
解得，
于是直线CQ的解析式为：，
当时，，
∴M(，)，ME==，
∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，
∴，
解得或，
当时，P(10，8)，
当时，P(，24)．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(，24)．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
62．（2020·辽宁沈阳?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过点和点，

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，线段绕原点逆时针旋转30°得到线段．过点作射线，点是射线上一点(不与点重合)，点关于轴的对称点为点，连接

①请直接写出的形状为__________．
②设的面积为的面积为是，当时，求点的坐标；
（3）如图，在（2）的结论下，过点作，交的延长线于点，线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段，过点作轴，交射线于点，的角平分线和的角平分线相交于点，当时，请直接写出点的坐标为__________．

【答案】（1）；（2）①等边三角形；②；（3）（6，）
【解析】
【分析】
（1）根据题意代入点B、C坐标，利用待定系数法解析式可解；
（2）①过点D作DH⊥OB于点H ，利用解直角三角形知识，求出，得到，由对称性问题可解；
②在①基础上，分别求出S1、S2面积，求出MN则问题可解；
（3）由旋转的性质可知BE=BF，然后根据（2）中的结论可得点E和点F到x轴距离相等，又由于FK ∥x轴，所以点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离，从而确定E、K重合，可得为等边三角形，从而根据题目条件可求点G坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点B（6，0），C（0，-3）
∴
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）①等边三角形
如图

过点D作DH⊥OB于点H，



在中，

在中，
∴
由轴对称可知，，
∴为等边三角形
故答案为：等边三角形；
②由①，得

设
在中，








（3）由题意如图，

在（2）的结论下可知△BMN为等边三角形，M（3，）
∵，交的延长线于点，
∴∠MBE=30°，ER=
∵线段绕点逆时针旋转，旋转角为得到线段
∴点F到x轴的距离= ER=
∵FK ∥x轴，
∴点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离= ER=
又∵点K、E均在射线BE上
∴K、E两点重合
∴
∴为等边三角形
∴，∠OBG=90°
∵
∴点G坐标为（6，）
故答案为：（6，）
【点睛】
本题考查二次函数的综合、待定系数法、旋转的性质、轴对称及等边三角形的性质等知识，综合性较强，利用数形结合思想解题是关键，属于中考压轴题．
63．（2020·四川凉山?中考真题）如图，二次函数的图象过、、三点

（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【解析】
【分析】

（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】

（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．

【点睛】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
64．（2020·云南昆明?中考真题）如图，两条抛物线，相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线的最高点．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交于点D，当线段CD取最大值时，求．

【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求出点A的坐标，再根据“点A为抛物线的最高点”可求出b的值，然后将点A代入可求出c的值，从而可得抛物线的解析式，最后设点B的坐标为，代入可得一个关于m、n的方程组，求解即可得；
（2）设点C的坐标为，从而可得点D的坐标和a的取值范围，再利用二次函数的性质求出CD的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】
（1）对于抛物线
当时，，解得或
点A在x轴的负半轴上，
∴点
∵点是抛物线的最高点
∴抛物线的对称轴为，即
解得
把代入得：
解得
则抛物线的解析式为
设点B的坐标为
则，解得或
∵
∴
答：抛物线的解析式为，点B的坐标为；
（2）设点C的坐标为，则点D的坐标为
由题意得：

整理得：
由二次函数的性质可知，当时，CD随a的增大而增大；当时，CD随a的增大而减小
则当时，CD取得最大值，最大值为5
，轴
边CD上的高为
则．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的几何应用等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的性质求出CD的最大值是解题关键．
65．（2020·四川眉山?中考真题）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，先求出直线的解析式，再用m表示，得出，配方即可得出结论
（3）先根据抛物线的解析式得出顶点M的坐标, 设点坐标为，得出，从而确定NG的长，再根据得到关于n的方程，解方程即可
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得，

抛物线的解析式为
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，交于点，

点，，

直线的解析式为：，

点为，
．
，
当时，最大，此时点坐标为．
（3）存在点满足要求．
，

顶点为，
直线的表达式为：．设直线与轴交于点，则点为，
，．
设满足要求的点坐标为，则．
过点作于点，则，

，，而，

，
整理得，
解得．
存在点满足要求，点坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强．
66．（2020·江苏南通?中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x；（2）y1＞y2；（3）0＜n＜．
【解析】
【分析】

（1）由题意可得0=4a+2b+c①，②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【详解】

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣x2+x，
∴﹣＜0，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．
【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
67．（2020·辽宁营口?中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①存在，点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M（﹣，﹣）
【解析】
【分析】
（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【详解】
解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，

∵∠P′AB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PBC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则
BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，
联立③④并解得：，
故点M（﹣，﹣）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．
68．（2020·辽宁营口?中考真题）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元
【解析】
【分析】
（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：y＝80+20×，
∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
69．（2020·山东烟台?中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或
【解析】
【分析】
（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．
【详解】
解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则或，即＝2或，即＝2或，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
70．（2020·黑龙江大庆?中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）所以：当时， 的最大面积；（3）．
【解析】
【分析】
（1）把和点代入：，从而可得答案；
（2）过作轴于 过作轴于，则 利用的面积与的面积之比为1：7，求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设过作轴于，交于 建立的面积与的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；
（3）记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有 结合已知条件可得答案．
【详解】
解：（1）把和点代入：，

解得：
所以：抛物线的解析式为：，
（2）,
令 则
解得：

过作轴于 过作轴于，则


的面积与的面积之比为1：7，








设的解析式为：

解得：
为：

解得：

过作轴于，交于
设
则


当最大，则的面积最大，
所以：当时，
所以的最大面积＝


（3）
令
记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，

令 则
解得：


抛物线的顶点为
当时，

当时，的取值范围是，



【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．
71．（2020·山东淄博?中考真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）（1+，4）或（1﹣，4）或（1+，﹣4）或（1﹣，﹣4）；（3）P（1，120﹣168）
【解析】
【分析】
【详解】
解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；
（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
联立④③并解得，或
故点R的坐标为（1+，4）或（1﹣，4）或（1+，﹣4）或（1﹣，﹣4）；
（3）作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，
则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），
则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH，
∴×4×3＝×5×m+×4×m+×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120﹣168）．
72．（2020·甘肃金昌?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
73．（2020·四川雅安?中考真题）已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．

【答案】（1），A（-3，0）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.
【解析】
【分析】

（1）根据点C坐标求出c，再利用两根之积求出点A的横坐标，再利用待定系数法求解；
（2）根据题意得出当点到直线的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；
（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.
【详解】

解：（1）∵二次函数图像与轴的交点为B（1，0），与轴交于点，
∴将C代入，得：c=-3，则，
∴方程对应的两根之积为-3，
又B（1，0），
可得A（-3，0），将A，B两点代入二次函数，得：
，
解得：，
∴二次函数表达式为：；
（2）当点到直线的距离取得最大值时，
∵A（-3，0），，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立：，得：，
令△=，解得：m=，
则解方程：，得x=，
∴点D的坐标为（，）；
（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；


当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（，0），对角线MN的中点也为（，0），
∵M坐标为（-1，t），
可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，-5），

综上：以为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，-5）.
【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.
74．（2020·四川雅安?中考真题）如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）请直接写出为何值时，的面积最大．

【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【解析】
【分析】
（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出结论.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=∠DCG=45°，
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=8，
∴S△ECF=CE•FG=×2×8=8；
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=10-x，
∴S△ECF=×CE×FG=×x•（10-x）=，
当x=5时，S△ECF最大=，
∴当EC=5时，的面积最大.
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
75．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在．N的坐标为（，）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为，进而D（，）．求得CD的解析式为，进而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为，设E（x，），表示出SBECD的面积，进而利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）存在．先求出抛物线的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（，m），N（xn，yn），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．
【详解】
（1），当x=0时，y=2，
当y=0时，，解得：x=，
所以B（，0），C（0，2），
将A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为：．
将A（，0）代入得：，
解得：m=-，
所以AD的解析式为，
联立 ，
解得：，，
∵A（，0），
∴D（，）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得：，
解得：k=，
所以CD的解析式为：，
当y=0时，即，
解得：x=，
则CD与x轴的交点为（，0）．
所以S△BCD==，
设E（x，），
则SBECD=
=，
当x=时，四边形BECD面积最大，其最大值为，此时E（，）．
（3）存在．N的坐标为（，），或（，），或（，）．
过程如下：，
所以抛物线的顶点是（，），
将抛物线向左平移个单位，
则平移后抛物线解析式为．
设M（，m），N（xn，yn），
①当AM为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图
对角线交点坐标为（0，），M坐标为（，）

②当AE为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，），如图

对角线交点坐标为（，），M坐标为（，0）
③当AN为对角线时，则，
解得：xn=，代入解析式得yn=．
所以N（，）．如图

对角线交点坐标为（，），M坐标为（，-8）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．
76．（2020·吉林长春?中考真题）在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．

（1）求点的坐标．
（2）当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．
（3）当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求的值．
（4）设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与不重合），过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．
【答案】（1）；（2），当时，随的增大而增大；（3）或；（4）或
【解析】
【分析】
（1）由题意可知当x=0时，代入，进行求解即可得出结果；
（2）根据题意先求出函数的表达式，进而得出抛物线的开口向上，对称轴为x=-1，则当x＞-1时，y随x的增大而增大；
（3）由题意分，那么对称轴在轴右侧以及，那么对称轴在轴左侧两种情况，依次建立含a的方程分别进行求解即可；
（4）根据题意分当点在边上时以及当点在边上时两种情况，进而求得PP′并利用，建立含a的方程分别进行求解即可.
【详解】
解：（1）当时，，所以．
（2）将点代入，得，解得．
所以
如图1所示，抛物线的开口向上，对称轴为．
因此当时，随的增大而增大．
（3）抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是．
已知最低点到直线的距离为2，所以．解得．
如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点．
所以．整理，得．
解得（如图3），或（舍去正值）．


（4），或．
抛物线的对称轴为，
，所以．
①如图4，当点在边上时，．
因为，所以点在对称轴的左侧．所以．
由，得．解得．
②如图5，当点在边上时，．
解方程，得．所以．
由，得．
解得，或（舍去）．

【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
77．（2020·山东威海?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点

【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x−1；（3）−3≤m≤3且m≠1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，求得m＝1或−3，结合（1）根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝x2−2mx＋m2＋2m−1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，整理得，m2−4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2−2x＋2＝（x−1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2−6x＋m2＋14＝（x−3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2−2mx＋m2＋2m−1＝（x−m）2＋2m−1，
∴顶点A的坐标为（m，2m−1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x−1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x−1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2−2mx＋m2＋2m−1，得m2＋2m−1＝2，
解得m＝1或−3，
所以当m＝1或−3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝−3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），

当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是−3≤m≤3且m≠1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
78．（2020·广西中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接.设点的纵坐标为，的面积为．

（1）当时，请直接写出点的坐标；
（2）关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；

（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）； （3）存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据A点坐标求出直线AB的解析式，然后和直线进行联立即可求出B点的坐标；
（2）将，代入，可求出b的值，由题可知，当时，达到最大值，通过求出s，然后由即可求出a的值；
（3）若为的直角顶点，则，可求出AC的长度，从而得到结果；若为的直角顶点，过作垂线交于，，则，在中，由勾股定理可求出t，从而得到结果．
【详解】
（1）当时，，
∵直线，，
∴可设直线AB的解析式为，
将代入，
得，
∴直线AB的解析式为，
联立得，
∴ ；
依题有，当时，
故
得
当时，达到最大值，
则
代入得，
解得
若为的直角顶点，则

此时的方程为，
令得
，
此时
若为的直角顶点，过作垂线交于

则
在中，由勾股定理得
即

解得：或
此时或；
或
当为的直角顶点，此种情况不存在，当在上方时为锐角，
当在下方时，为钝角，故不存在．
【点睛】
本题考查了函数和几何综合问题，题目较难，明确题意，注意分类讨论的思想是解题的关键．
79．（2020·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．

（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
∴,
∵于点，
∴,
∵是直线上的一点，其纵坐标为，
∴，
若点与点重合，则
，
解得；
（3）由（2）可得，，
当矩形是正方形时，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，
解得，故m的值为；
（4）①如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点睛】
本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
80．（2020·山东东营?中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，当时，有最大值且最大值为，此时点的坐标为．
【解析】
【分析】
（1）直接将代入求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再结合已知即可确定A、B的坐标；
（2）作轴，交于点，由平行线等分线段定理可得；再根据题意求出D点坐标和CD的长，可得；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设，则，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入，根据二次函数的性质即可说明
【详解】
解：把代入，即，解得
∴抛物线的解析式为
令
可得:
∴；
存在，
如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点



直线与轴交于点
∴，


设所在直线的解析式为，
将代入上述解析式得：
解得:
的解析式为
设
则，其中.



∴抛物线开口方向朝下
∴当时，有最大值，最大值为.
将t=2代入=-2+3+2=3
∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．
81．（2020·湖南益阳?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点为一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，点在运动过程中始终满足（提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为、，则）
（1）判断点在运动过程中是否经过点C（0，5）
（2）设动点的坐标为，求关于的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出 函数的图象：

...





...

...





...


（3）点关于轴的对称点为，点在直线的下方时，求线段长度的取值范围

【答案】（1）点在运动过程中经过点C（0，5）；（2）y与x的函数表达式为，表格和图象见解析；（3）1﹤PF﹤
【解析】
【分析】
（1）若点P经过点C，则有PH=5，利用公式求得PF，即可判断；
（2）由PH=PF得，化简可得到关于的函数表达式，分别将表中x值代入表达式，求出对应的y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可．
（3）由题意，求线段长度的取值范围即是求线段PH长度的取值范围，先求出直线的函数表达式，代入P的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段PH（即就是PF）长度的取值范围．
【详解】
（1）若点P经过点C，则PH=5，
∵,
∴PF=PH，
故点P经过点C；
（2）由PH=PF得，
化简得：，
故y与x的函数表达式为；
分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5，
填写表格为：

...





...

...
5
2
1
2
5
...

函数图象如下：
；
（2）设直线的函数表达式为y=kx+b，
将点F（4，2）、点（0，﹣5）代入，得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
将代入得：
，即，
解得：
分别代入中，得:
,
当x=4时，y=1，
∵点在直线的下方，且﹥1，
∴结合图象知，1﹤y﹤,
即1﹤PH﹤,
又PF=PH，
∴1﹤PF﹤,
【点睛】
本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
82．（2020·海南中考真题）抛物线经过点和点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是该抛物线上的动点，且位于轴的左侧．
①如图1，过点作轴于点，作轴于点，当时，求的长；

②如图2， 该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①2或；②存在；或
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）①设则，排除当点在轴上，然后分两种情况求解：如图1，当点在第三象限时；如图2，当点在第二象限时；
②存在，过点作于点，交直线于点，由可得．过点作轴于点，由，求出MH、MA的值，然后分点P在第三象限和点P在第二象限求解即可．
【详解】
解:（1）∵抛物线经过点，
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为；
①设则．
因为点是抛物线上的动点且位于轴左侧，
当点在轴上时，点与重合，不合题意，故舍去，
因此分为以下两种情况讨论:．
如图1，当点在第三象限时，点坐标为，

则，即，
解得(舍去)，
；
如图2，当点在第二象限时，点坐标为，

则，即，
解得(舍去) ，
，
综上所述，的长为或；
存在点，使得，理由如下:
当时，，
，
，
在中， ．
过点作于点，交直线于点，
则，
又，
∴，
．
过点作轴于点，则，
，
，
，
，
即，
，
如图3，当点在第三象限时，点的坐标为，

由和得，
直线的解析式为．
于是有，
即，
解得(舍去)，
点的坐标为；
如图4，当点在第二象限时，点的坐标为，

由和得，
直线的解析式为，
于是有，
即，
解得(舍去)，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题．
83．（2020·湖南永州?中考真题）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．



（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①4；②点，或点，
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴
，
解得：
∴抛物线的解析式为


（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：


综上：点，或点，．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．
84．（2020·湖南永州?中考真题）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．
（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．
（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
【答案】（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为．
【解析】
【分析】
（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；
（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；
（3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．
【详解】
解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；
（2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F，
∴
∵两张纸条等宽，
∴．
在和中，
∴，
∵两张纸条都是矩形，，
∴ ．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；

（3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示，
∴，
∴．最大值为．

Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为，上底为，
∴，当时，s取最大值．

Ⅲ、当时，重叠部分为五边形，
．
此时．

Ⅳ、当时，重叠部分为菱形，
∴．

∴
∴s的最大值为．
【点睛】
本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
85．（2020·湖北荆州?中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，，以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C，连接AB，BC，过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D，且顶点为E，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的一动点，以E，D，P为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在点Q，使得，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）抛物线的解析式为，存在，Q点的横坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）证得OE是△ABC的中位线，求得点E的坐标，分别求得AB、AC、BC的长，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，从而证明结论；
（2）求得BC=OD=OA=，利用平行四边形的判定定理可证得四边形OBCD是平行四边形；
（3）证明Rt△ODNRt△OEM，求得点D的坐标，利用待定系数法可求得此抛物线的解析式；分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得PE的长，再根据三角形的面积公式即可求得Q点的横坐标．
【详解】
（1）如图1，

设AB与y轴交于点M，则AM=2，OM=1，AB=5，
则OA=OC，
∵OE∥BC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=，BC=2EO，
∴点E的坐标为(，)，ME=，OM=1，
∴OE=，
∴BC=2OE=，
∵，
是直角三角形，
即，
所以BC是半圆的O的切线；
（2）四边形OBCD是平行四边形，
由图知： BC=OD=OA=，
∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）①由（2）知：OD=OA=，
E为AB的中点，过点D作轴，则DN//ME，

∴Rt△ODNRt△OEM，
∴，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为(，)，
∵抛物线经过点D(，)，且顶点为E(，)，
∴设此抛物线的解析式为，
则
∴，
∴此抛物线的解析式为，
即，
如图，设抛物线对称轴交AC于F，

由（1）知：∠AOE=∠ACB=90，∠AEF=90，
∴∠OEF+∠AEO=90，∠A+∠AEO=90，
∴∠OEF=∠A，
∵以E，D，P为顶点的三角形与相似，
∴分△PED△OAB和△DEP△OAB两种情况讨论，
当△PED△OAB时，ED=OE+OD=
，即，
∴，
∵，
设点Q到PE的距离为h，
∴，即，
∴，
∴点Q的横坐标为或；
当△DEP△OAB时，ED=OE+OD=
，即，
∴，
∵，
设点Q到PE的距离为，
∴，即，
∴，
∴点Q的横坐标为或；
∴符合条件的Q点的横坐标为或或或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
86．（2020·宁夏中考真题）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点P、M，与交于点Q，其中，设三角板移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形ABC求得，设，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【详解】
（1）解：因为中∴
∵ ∴
∴为等边三角形
过点M作，垂足为点N．

在中，
∴
根据题意可知
∴

∴
∴
而
∴
（2）由（1）知

∴


所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
87．（2020·贵州毕节?中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，与轴交于点，且经过点，连接，，作于点，将沿轴翻折，点的对应点为点．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中沿着平移后，得到．若边在线段上，点在抛物线上，连接，求四边形的面积．
【答案】（1），（4，）；（2）在，理由见解析；（3）22．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法将B、C两点坐标直接代入解析式即可求出a、b，用配方法将解析式变形为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，继而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO= ，从而∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线；
（3）由平移规律可知，AF//OB，根据 直线OB解析式求出直线AF解析式，进而求出直线AF与抛物线交点，得F坐标，即可四边形的面积等于四边形AODF面积即可解．
【详解】
解：把点，点代入抛物线解析式得：
，解得，
即抛物线解析式为：，
∴，
∴顶点坐标为（4，）
故答案为：，（4，）；
（2）∵与y轴交于A点，
∴A点坐标为(0，4)，
又∵B点坐标为(8，4)，故AB⊥y轴，
∵AM⊥OB，
∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，
∴∠MAO=∠B，
∵OA=4，AB=8，
∴tan∠MAO= tan∠B=，
将沿轴翻折，点的对应点为点．
∴tan∠MAO= tan∠NAO =，
又∵ OC=2，tan∠CAO，
∴∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线，
故N点直线AC上；
（3）∵B点坐标为(8，4)，
∴直线OB解析式为，
平移规律可知，AF//OB，又因为点A坐标为，
∴直线AF解析式为，
联立解析式得方程组： ，解得，，
故F点坐标为：，
由平移性质可知四边形AODF是平行四边形，≌．
∴四边形的面积=平行四边形AODF面积，
∵平行四边形AODF面积=，
∴四边形的面积为22．
【点睛】
本题是函数与几何综合题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数、一次函数的应用、解直角三角形、平移、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会构建直角三角形求点坐标，学会构建一次函数，利用方程组求两函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．
88．（2020·内蒙古呼和浩特?中考真题）已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【解析】
【分析】
（1）将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明即可；
（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800，解出t值即可；
（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·，再求出y的最大值以及此时t值即可.
【详解】
解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y=，当t=1时，y=180，
∵当，随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+的值随t的增大而减小，
∴y=随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，
∴他的结论正确；
（2）由题意可得：×2=1800，
整理得：，
解得：t=或-5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，
则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷=24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y=，
当t=时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】
本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
89．（2020·广西玉林?中考真题）已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；
（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；
（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=-02-2×0+3=3，
∴C的坐标为（0，3），
综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；
（2）设B（t，0），
由题意得y2由y1平移所得，
∴a=-1，
∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，
∴D（，），
∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，
∴△BDB是等腰直角三角形，
∴yD=|BB|，
∴=（t-1），
解得t=3，
∴B（3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B左边，
当BQ为边时，则CP∥BQ，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
将yP=3，代入y1得，
解得x1=0，x2=-2，
∴此时P的坐标为（-2，3）；
当BQ为对角线时，则BC∥QP，
∵yC-yB=3，
∴yQ-yP=3，
∵Q在x轴上，
∴yP=-3，
将yP=-3代入y1得，
解得x1=-1+，x2=-1-，
将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，
解得x1=0，x2=4，
∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），
综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
90．（2020·湖南郴州?中考真题）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．
（1）求抛物线和直线的表达式；
（2）点是抛物线上的一个动点，
①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)
【解析】
【分析】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；
（2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，利用二次函数的性质即可求解；
②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
令，则，
∴点C的坐标为(0，3)，
把B(3，0)，C(0，3)代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）①∵PA交直线BC于点，
∴设点D的坐标为(，)，
设直线PA的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线PA的表达式为，
∴，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为，点P的横坐标为，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：

∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，
∴

，
∵，
∴当时，分子取得最大值，即有最大值，最大值为；
②存在，理由如下：
作于G，如图，

∵的对称轴为：，
∴OE=1，
∵B(3，0)，C(0，3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点的坐标为(2，)，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当时，，
∴点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，2)；
当EF为对角线时，如图，

∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥轴，
同理求得：点P的坐标为(2，)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，)；
综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．
91．（2020·广东广州?中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3)
【解析】
【分析】

(1)根据等弧对等角的性质证明即可；
(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；
(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
【详解】

(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．

(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．

【点睛】

本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．
92．（2020·广东广州?中考真题）平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．
（1）用含的式子表示；
（2）求点的坐标；
（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜＜
【解析】
【分析】
（1）把代入：，即可得到答案；
（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；
（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）把代入：，


（2）
抛物线为：
抛物线的对称轴为：
顶点不在第一象限，
顶点在第四象限，
如图，设＜ 记对称轴与的交点为，
则

，






当＞同理可得：
综上：或
（3）

当，设为：

解得：
为

消去得：
由根与系数的关系得：
解得：

当时，
当时，
当时，，
当时，有＜＜
当，
同理可得为：

同理消去得：

解得：

此时，顶点在第一象限，舍去，
综上：当时，有＜＜
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
93．（2020·广东深圳?中考真题）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．
【解析】
【分析】

（1）运用待定系数法解答即可；
（2）分0