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初中数学中考复习 专题27 规律探究问题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题27 规律探究问题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版），共61页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题27 规律探究问题
一、单选题(共0分)
1．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】
解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
2．（2022·新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【解析】
【分析】
观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】
观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．
3．（2020·重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．
4．（2020·山东聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．
…
A．150 B．200 C．355 D．505
【答案】C
【解析】
【分析】
由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．
【详解】
解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）
当n=50时，原式=7×50+5=355（块）
故选：C
【点睛】
考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
5．（2020·湖南）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【答案】D
【解析】
【分析】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
6．（2022·湖北鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
7．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【解析】
【分析】
第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】
解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
8．（2021·江苏镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【解析】
【分析】
把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】
解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
9．（2021·湖北十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
10．（2021·山东济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
11．（2022·河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】
解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．（2021·贵州安顺）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【解析】
【分析】
因为题中已知，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．
【详解】
解：∵直线，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，
∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，
第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点．
二、填空题(共0分)
13．（2022·青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
【答案】
【解析】
【分析】
第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】
解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
14．（2021·西藏）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察一列数可得 ， ， ， ，，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．
【详解】
解：观察一列数可知：，，，，，…，
按此规律排列下去，
这列数中的第n个数是：，
故答案为：．
【点睛】
此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可．
15．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
【答案】744
【解析】
【分析】
由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】
由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
【点睛】
本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．
16．（2021·湖北恩施）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；
图形
…
五边形数
1
5
12
22
35
51
…
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；1 第一行
5 12 第二行
22 35 51 第三行
… … … … …
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为__________．
【答案】1335
【解析】
【分析】
分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律．
【详解】
解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有个点，化简得，即第n个图形的五边形数为．
分析排成数表，结合图形可知：
第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；
第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；
第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；
第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；
…
∴第n行从左至右第1个数，是第 个图形的五边形数．
∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数．
第30个图形的五边形数为：．
故答案为：1335．
【点睛】
本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律．
17．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【解析】
【分析】
根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】
是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】
本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
18．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】
解：∵；∴，
∵，
∵，
∴a4=，
∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
19．（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】
第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
20．（2021·甘肃武威）一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】
解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∴第n个式子是：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．
21．（2021·江苏扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【答案】1275
【解析】
【分析】
首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】
解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，
故答案为：1275．
【点睛】
此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
22．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
【答案】49
【解析】
【分析】
根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规律即可得答案．
【详解】
解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
23．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】
根据图形，规律如下表：
三角形3
正方形4
五边形5
六边形6
M边形m
1
1
1
1
1
1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1
1+2
3
1+2+3
1+2+31+2
1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2
1+2+3
4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3
1+2+3+4
n
由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
24．（2021·贵州铜仁）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得出规律：第一项：，第二项：，第三项：…即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可知：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
…
则第项是；
故答案为：．
【点睛】
此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．
25．（2022·江苏宿迁）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．
【详解】
解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
26．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【解析】
【分析】
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
27．（2021·贵州黔西）如图，在中，，，，作正方形，使顶点，分别在，上，边在上；类似地，在△中，作正方形；在△中，作正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】
法一：过作，通过做辅助线并结合等腰直角三角形的性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
【详解】
解：法1：过作，交于点，交于点，如图所示：
，
，
为斜边为1的等腰直角三角形，
，
又△为等腰直角三角形，
，
，
第1个正方形的边长，
同理第2个正方形的边长，
则第个正方形的边长；
法2：由题意得：，
，，
，
同理可得：，
依此类推．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形与正方形的性质，能够准确利用相关性质找到正方形边长的比值规律是解决本题的关键．
28．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】
∵
当时，
当时，
故，
∴为30°的直角三角形
∴
∵
∴为30°的直角三角形
∴
∴为30°的直角三角形
∵轴
∴
∴
为30°的直角三角形
同理：
…
故：
故答案为：
【点睛】
本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度
29．（2021·山东潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
【答案】2022
【解析】
【分析】
终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】
解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】
本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
30．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】
解：∵点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=，
根据题意，OA2=1+=，
∴，，
同理，，，
，
……
由此规律，可得：，，
∴即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
31．（2021·辽宁朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
∵DC1•AC＝AB•BC，
∴DC1＝＝＝，
同理，DC2＝DC1＝（）2，
DC3＝（）3，
……，
DCn＝（）n，
∵＝tan∠ACD＝＝2，
∴CC1＝DC1＝，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴A1D＝AC1＝2DC1＝，
∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，
同理，A1M2＝×DC2，
A2M3＝×DC3，
……，
An﹣1Mn＝×DCn，
∵四边形AA1DC1是矩形，
∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，
同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1，
∴DC2＝＝＝，
在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，
同理，O2C3＝DC3，
O3C4＝DC4，
……，
OnCn＋1＝DCn＋1，
∴
＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2
＝（﹣）
＝
＝，
同理，
＝×＝，
S3＝＝×＝，
……，
Sn＝＝×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．
32．（2020·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
【答案】（-21011，-21011）
【解析】
【分析】
首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】
解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，
∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4
∴B2（0，4），
同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）
故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】
此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
33．（2020·黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】22020
【解析】
【分析】
根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
34．（2020·湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
【答案】（0，-22019）
【解析】
【分析】
根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】
解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【点睛】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
35．（2020·江苏泰州）以水平数轴的原点为圆心过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．
【详解】
解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，、的坐标分别表示为、，根据点的特征，所以点的坐标表示为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．
36．（2022·江苏盐城）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，
，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果．
【详解】
解：直线与轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点的坐标为，点的横坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
【点睛】
本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．
37．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【详解】
解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
38．（2021·广西梧州）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝___．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出S1，S2，S3，然后找出规律，即可求出S2021的值．
【详解】
解：根据题意，
∵A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），
∴，
，
，
……
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到．
39．（2021·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
【答案】（，0）.
【解析】
【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.
【详解】
解：如图，过点N作NM⊥x轴于M
将代入直线解析式中得
∴，45°
∵90°
∴
∵
∴
∴的坐标为（2，0）
同理可以求出的坐标为（4，0）
同理可以求出的坐标为（8，0）
同理可以求出的坐标为（，0）
∴的坐标为（，0）
故答案为：（，0）.
【点睛】
本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.
40．（2020·辽宁锦州）如图，过直线上的点作，交x轴于点，过点作轴．交直线l于点；过点作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；……按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为______．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意由，直线l关系式y=x，可以得出A2的坐标，可判断出∠OA2B1=30°，∠A2OB1=60°，根据题意可得出∠A1B1O=30°，可求出OA1的值，在Rt△OA2B1中，可以求出OA2的长；再在Rt△OA2B2中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出OB2的值，同理可求出OA3,OB3……，然后再找规律，得出OAn的值，用OAn－OAn-1，从而求得点AnAn-1的值．
【详解】
解：∵OB1=1，根据题意，结合y=x，得出A2（1,）
∴在Rt△A2OB1中，根据勾股定理得OA2=2
∴∠OA2B1=30°，∠A2OB1=60°
∵A1B1⊥OA1
∴∠A1B1O=30°，
又OB1=1
∴OA1=
由OA2=2，得OB2=4，
∴OA3=8，OB3=16，
按照此规律即可求出OAn= ，OAn－1=
∴AnAn－1=－= =
【点睛】
本题考查一次函数图象上线段长度特征，勾股定理，含30°角的直角三角形的特性，在找规律时，不断求出OA1,OA2,...OAn的长度即可找出规律，求出答案．
41．（2020·黑龙江鹤岗）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段的长度，表示出B1和B2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解
【详解】
解：∵的解析式为，
∴M（-1，0），A（0，1），
即AO=MO=1，∠AMO=45°，
由题意得：MO=OC=CO1=1，
O1A1=MO1=3，
∵四边形是正方形，
∴O1C1=C1O2=MO1=3，
∴OC1=2×3-1=5，B1C1=O1C1=3，B1（5，3），
∴A2O2=3C1O2=9，B2C2=9，OO2=OC2-MO=9-1=8，
综上，MCn=2×3n，OCn=2×3n-1，BnCn=AnOn=3n，
当n=2020时，OC2020=2×32020-1，B2020C2020 =32020，
点B，
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
42．（2020·贵州黔东南）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】
此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
43．（2020·山东滨州）观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】
解：由分析得，
故答案为：
【点睛】
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
44．（2022·湖南）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【解析】
【分析】
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】
解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
45．（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】
本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
46．（2020·湖南张家界）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】
由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
【点睛】
本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
47．（2020·四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】
解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】
本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
48．（2021·湖南常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【答案】2n2+2n
【解析】
【分析】
本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
49．（2020·四川）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
50．（2020·云南昆明）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【详解】
解：观察下列一组数：
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣
＝，
﹣＝﹣，
…，
它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
51．（2020·广西）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】
∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】
此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
52．（2020·青海）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【详解】
（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
53．（2020·湖北孝感）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设三个数为n，-3n，9n，据题意列式即可求解．
【详解】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n
由题意：，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
【点睛】
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．
54．（2020·湖北咸宁）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【解析】
【分析】
根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】
解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
55．（2020·山东泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【解析】
【分析】
根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】
由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．
故答案为20110．
【点睛】
本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
56．（2020·贵州铜仁）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
【答案】．
【解析】
【分析】
由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m代入即可求解．
【详解】
∵220=m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
=220(1+2+22+…+219+220)
=220(1+221﹣2)
=m(2m﹣1)．
故答案为：m(2m﹣1)．
【点睛】
本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题(共0分)
57．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块
【解析】
【分析】
（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】
解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；
故答案为：；
（3）令 则
当时，
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
需要正方形地砖1008块．
【点睛】
本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．
58．（2021·山东青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295
【解析】
【分析】
问题探究：
根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；
问题解决：
（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数；
（2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可；
（3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；
拓展延伸：
分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案.
【详解】
解：问题探究：
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
3
，，
3
3个3
问题解决：
（1）最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以最长边长为6的三角形有：个，
故答案为：
（2）由（1）得：
最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以当为奇数时，整数边三角形个数为；
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为6的三角形有：个，
所以当为偶数时，整数边三角形个数为.
（3）当最长边长时，为偶数，
可得此时的三角形个数为：
故答案为：
拓展延伸：
当9是底边的棱长时，
最长边长为9的三角形个数有：个，
而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以这样的直三棱柱共有：个，
当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，
底边三角形共有：个，
所以这样的直三棱柱共有：个，
综上，满足条件的直三棱柱共有个.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键.
59．（2020·贵州黔南）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【解析】
【分析】
（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，
∴，
当时，．
故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
专题27 规律探究问题
一、单选题(共0分)
1．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】
解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
2．（2022·新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【解析】
【分析】
观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】
观察数字的变化可知：
第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；
第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；
…
所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，
所以第10行第5个数是： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．
3．（2020·重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．
4．（2020·山东聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．
…
A．150 B．200 C．355 D．505
【答案】C
【解析】
【分析】
由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．
【详解】
解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）
当n=50时，原式=7×50+5=355（块）
故选：C
【点睛】
考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
5．（2020·湖南）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【答案】D
【解析】
【分析】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
6．（2022·湖北鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
7．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【解析】
【分析】
第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】
解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
8．（2021·江苏镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【解析】
【分析】
把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】
解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
9．（2021·湖北十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
10．（2021·山东济宁）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【点睛】
本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．
11．（2022·河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】
解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．（2021·贵州安顺）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【解析】
【分析】
因为题中已知，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．
【详解】
解：∵直线，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，
∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，
第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点．
二、填空题(共0分)
13．（2022·青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.
【答案】
【解析】
【分析】
第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】
解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
14．（2021·西藏）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察一列数可得 ， ， ， ，，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．
【详解】
解：观察一列数可知：，，，，，…，
按此规律排列下去，
这列数中的第n个数是：，
故答案为：．
【点睛】
此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可．
15．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 _____．
【答案】744
【解析】
【分析】
由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】
由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，
故答案为：744．
【点睛】
本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．
16．（2021·湖北恩施）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；
图形
…
五边形数
1
5
12
22
35
51
…
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；1 第一行
5 12 第二行
22 35 51 第三行
… … … … …
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为__________．
【答案】1335
【解析】
【分析】
分析表格中的图形和五边形数之间的规律，再找到排成数表中五边形数和行数之间的规律．
【详解】
解：由图形规律可知，第n个图形是一个由n个点为边长的等边三角形和一个长为n个点，宽为（n-1）个点的矩形组成，则第n个图形一共有个点，化简得，即第n个图形的五边形数为．
分析排成数表，结合图形可知：
第一行从左至右第1个数，是第1个图形的五边形数；
第二行从左至右第1个数，是第2个图形的五边形数；
第三行从左至右第1个数，是第4个图形的五边形数；
第四行从左至右第1个数，是第7个图形的五边形数；
…
∴第n行从左至右第1个数，是第 个图形的五边形数．
∴第八行从左至右第2个数，是第30个图形的五边形数．
第30个图形的五边形数为：．
故答案为：1335．
【点睛】
本题是找规律题，解此题的关键是分析表格中的图形个数与五边形数，排成数表中的五边形数和行数，得出规律．
17．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【解析】
【分析】
根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】
是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】
本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
18．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】
解：∵；∴，
∵，
∵，
∴a4=，
∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
19．（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】
第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
20．（2021·甘肃武威）一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】
解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∴第n个式子是：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．
21．（2021·江苏扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．
【答案】1275
【解析】
【分析】
首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】
解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，
故答案为：1275．
【点睛】
此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
22．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．
【答案】49
【解析】
【分析】
根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规律即可得答案．
【详解】
解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
23．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．
【答案】45
【解析】
【分析】
根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】
根据图形，规律如下表：
三角形3
正方形4
五边形5
六边形6
M边形m
1
1
1
1
1
1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1
1+2
3
1+2+3
1+2+31+2
1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2
1+2+3
4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3
1+2+3+4
n
由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
24．（2021·贵州铜仁）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得出规律：第一项：，第二项：，第三项：…即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可知：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
…
则第项是；
故答案为：．
【点睛】
此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．
25．（2022·江苏宿迁）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．
【详解】
解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为：
第2个指数为：
第3个指数为：
指数为
所以第20个单项式是：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
26．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
【答案】127
【解析】
【分析】
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
27．（2021·贵州黔西）如图，在中，，，，作正方形，使顶点，分别在，上，边在上；类似地，在△中，作正方形；在△中，作正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】
法一：过作，通过做辅助线并结合等腰直角三角形的性质找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
法二：直接利用等腰直角三角形的性质，找到第二个正方形边长与第一个正方形边长的比值为，依次类推可得第n个正方形的边长．
【详解】
解：法1：过作，交于点，交于点，如图所示：
，
，
为斜边为1的等腰直角三角形，
，
又△为等腰直角三角形，
，
，
第1个正方形的边长，
同理第2个正方形的边长，
则第个正方形的边长；
法2：由题意得：，
，，
，
同理可得：，
依此类推．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形与正方形的性质，能够准确利用相关性质找到正方形边长的比值规律是解决本题的关键．
28．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】
∵
当时，
当时，
故，
∴为30°的直角三角形
∴
∵
∴为30°的直角三角形
∴
∴为30°的直角三角形
∵轴
∴
∴
为30°的直角三角形
同理：
…
故：
故答案为：
【点睛】
本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度
29．（2021·山东潍坊）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
【答案】2022
【解析】
【分析】
终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】
解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】
本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
30．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】
解：∵点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=，
根据题意，OA2=1+=，
∴，，
同理，，，
，
……
由此规律，可得：，，
∴即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
31．（2021·辽宁朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
∵DC1•AC＝AB•BC，
∴DC1＝＝＝，
同理，DC2＝DC1＝（）2，
DC3＝（）3，
……，
DCn＝（）n，
∵＝tan∠ACD＝＝2，
∴CC1＝DC1＝，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴A1D＝AC1＝2DC1＝，
∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，
同理，A1M2＝×DC2，
A2M3＝×DC3，
……，
An﹣1Mn＝×DCn，
∵四边形AA1DC1是矩形，
∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，
同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1，
∴DC2＝＝＝，
在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，
同理，O2C3＝DC3，
O3C4＝DC4，
……，
OnCn＋1＝DCn＋1，
∴
＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2
＝（﹣）
＝
＝，
同理，
＝×＝，
S3＝＝×＝，
……，
Sn＝＝×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．
32．（2020·四川广安）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
【答案】（-21011，-21011）
【解析】
【分析】
首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】
解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，
∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4
∴B2（0，4），
同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）
故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】
此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
33．（2020·黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】22020
【解析】
【分析】
根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
34．（2020·湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
【答案】（0，-22019）
【解析】
【分析】
根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】
解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【点睛】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
35．（2020·江苏泰州）以水平数轴的原点为圆心过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．
【详解】
解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，、的坐标分别表示为、，根据点的特征，所以点的坐标表示为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．
36．（2022·江苏盐城）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先由直线与轴的夹角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，
，，，…，得出点的横坐标为1，得到当时，，点的坐标为，，点的横坐标，当时，，得出点的坐标为，以此类推，最后得出结果．
【详解】
解：直线与轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点的坐标为，点的横坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
【点睛】
本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据之间的规律．
37．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【详解】
解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
38．（2021·广西梧州）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝___．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出S1，S2，S3，然后找出规律，即可求出S2021的值．
【详解】
解：根据题意，
∵A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），
∴，
，
，
……
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到．
39．（2021·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．
【答案】（，0）.
【解析】
【分析】
根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.
【详解】
解：如图，过点N作NM⊥x轴于M
将代入直线解析式中得
∴，45°
∵90°
∴
∵
∴
∴的坐标为（2，0）
同理可以求出的坐标为（4，0）
同理可以求出的坐标为（8，0）
同理可以求出的坐标为（，0）
∴的坐标为（，0）
故答案为：（，0）.
【点睛】
本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.
40．（2020·辽宁锦州）如图，过直线上的点作，交x轴于点，过点作轴．交直线l于点；过点作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；……按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为______．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意由，直线l关系式y=x，可以得出A2的坐标，可判断出∠OA2B1=30°，∠A2OB1=60°，根据题意可得出∠A1B1O=30°，可求出OA1的值，在Rt△OA2B1中，可以求出OA2的长；再在Rt△OA2B2中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出OB2的值，同理可求出OA3,OB3……，然后再找规律，得出OAn的值，用OAn－OAn-1，从而求得点AnAn-1的值．
【详解】
解：∵OB1=1，根据题意，结合y=x，得出A2（1,）
∴在Rt△A2OB1中，根据勾股定理得OA2=2
∴∠OA2B1=30°，∠A2OB1=60°
∵A1B1⊥OA1
∴∠A1B1O=30°，
又OB1=1
∴OA1=
由OA2=2，得OB2=4，
∴OA3=8，OB3=16，
按照此规律即可求出OAn= ，OAn－1=
∴AnAn－1=－= =
【点睛】
本题考查一次函数图象上线段长度特征，勾股定理，含30°角的直角三角形的特性，在找规律时，不断求出OA1,OA2,...OAn的长度即可找出规律，求出答案．
41．（2020·黑龙江鹤岗）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段的长度，表示出B1和B2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解
【详解】
解：∵的解析式为，
∴M（-1，0），A（0，1），
即AO=MO=1，∠AMO=45°，
由题意得：MO=OC=CO1=1，
O1A1=MO1=3，
∵四边形是正方形，
∴O1C1=C1O2=MO1=3，
∴OC1=2×3-1=5，B1C1=O1C1=3，B1（5，3），
∴A2O2=3C1O2=9，B2C2=9，OO2=OC2-MO=9-1=8，
综上，MCn=2×3n，OCn=2×3n-1，BnCn=AnOn=3n，
当n=2020时，OC2020=2×32020-1，B2020C2020 =32020，
点B，
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
42．（2020·贵州黔东南）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】
此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
43．（2020·山东滨州）观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】
解：由分析得，
故答案为：
【点睛】
本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
44．（2022·湖南）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【解析】
【分析】
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】
解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
45．（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】
本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
46．（2020·湖南张家界）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【详解】
由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故．
故答案：．
【点睛】
本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．
47．（2020·四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】
解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】
本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
48．（2021·湖南常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【答案】2n2+2n
【解析】
【分析】
本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
49．（2020·四川）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
50．（2020·云南昆明）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【详解】
解：观察下列一组数：
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣
＝，
﹣＝﹣，
…，
它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
51．（2020·广西）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】
∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】
此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
52．（2020·青海）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【详解】
（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
53．（2020·湖北孝感）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设三个数为n，-3n，9n，据题意列式即可求解．
【详解】
题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是，可设第一个数是n，则三个数为n，-3 n，9n
由题意：，
解得：n=-81，
故答案为：-81．
【点睛】
此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．
54．（2020·湖北咸宁）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【解析】
【分析】
根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】
解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
55．（2020·山东泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【解析】
【分析】
根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】
由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．
故答案为20110．
【点睛】
本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
56．（2020·贵州铜仁）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
【答案】．
【解析】
【分析】
由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m代入即可求解．
【详解】
∵220=m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
=220(1+2+22+…+219+220)
=220(1+221﹣2)
=m(2m﹣1)．
故答案为：m(2m﹣1)．
【点睛】
本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题(共0分)
57．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块
【解析】
【分析】
（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】
解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；
故答案为：；
（3）令 则
当时，
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
需要正方形地砖1008块．
【点睛】
本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．
58．（2021·山东青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295
【解析】
【分析】
问题探究：
根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；
问题解决：
（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数；
（2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可；
（3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；
拓展延伸：
分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案.
【详解】
解：问题探究：
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
3
，，
3
3个3
问题解决：
（1）最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以最长边长为6的三角形有：个，
故答案为：
（2）由（1）得：
最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以当为奇数时，整数边三角形个数为；
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为6的三角形有：个，
所以当为偶数时，整数边三角形个数为.
（3）当最长边长时，为偶数，
可得此时的三角形个数为：
故答案为：
拓展延伸：
当9是底边的棱长时，
最长边长为9的三角形个数有：个，
而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以这样的直三棱柱共有：个，
当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，
底边三角形共有：个，
所以这样的直三棱柱共有：个，
综上，满足条件的直三棱柱共有个.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键.
59．（2020·贵州黔南）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【解析】
【分析】
（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，
∴，
当时，．
故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
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