初中数学中考复习 专题25一次函数（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题25一次函数（1）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期，全国通用）（解析版），共177页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题25一次函数（1）（全国一年）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
2．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限 D．当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】
A.图象经过点，正确；
B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误；
D.当时，y＞4，故错误；
故选D．
【点睛】
此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
3．（2020·四川内江?中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】
∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.

【点睛】
此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
4．（2020·四川内江?中考真题）将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
【详解】
解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．
5．（2020·湖南邵阳?中考真题）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解．
【详解】
解：把点代入得
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致．
故选：D
【点睛】
本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
6．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】

分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．
【详解】

解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；

当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；

当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；

综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故选：D．
【点睛】

本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．
7．（2020·湖北咸宁?中考真题）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.
【详解】
解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合；
D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点睛】
本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
8．（2020·山东潍坊?中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】
解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
9．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】
设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】
解：设水面高度为 注水时间为分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2020·湖南湘西?中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大
D．当或时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式和，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案．
【详解】
解：根据正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，即可设，，
将分别代入，求得，，
即正比例函数，反比例函数，故A错误；
另一个交点与关于原点对称，即，故B错误；
正比例函数随x的增大而减小，而反比例函数在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误；
根据图像性质，当或时，反比例函数均在正比例函数的下方，故D正确．
故选D．
【点睛】
本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．
11．（2020·山东青岛?中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】
由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点睛】
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
12．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】
解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
13．（2020·湖南湘潭?中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】
解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
14．（2020·湖南怀化?中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】

观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】

解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】

本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
15．（2020·安徽中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】
∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
16．（2020·江苏连云港?中考真题）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了； ②快车速度比慢车速度多；
③图中； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】
当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．


二、填空题
17．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）如图，已知直线，直线和点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出P1,P5,P9…的坐标，发现规律即可求解．
【详解】
∵，在直线上
∴（1,1）；
∵过点作x轴的平行线交直线b于点，在直线上
∴（-2,1）
同理求出P3（-2，-2），P4（4，-2），P5（4，4），P6（-8，4），P7（-8，-8），P8（16，-8），P9（16，16）…
可得P4n+1(22n, 22n )(n≥1，n为整数)
令4n+1=2021
解得n=505
∴P2021(, )
∴的横坐标为．
【点睛】
此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质，找到坐标规律进行求解．
18．（2020·江苏常州?中考真题）若一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是__________．
【答案】k＞0
【解析】
【分析】
直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大
∴k＞0．
故答案为k＞0．
【点睛】
本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时，一次函数的函数值随着自变量x的增大而增大．
19．（2020·辽宁抚顺?中考真题）若一次函数的图象经过点，则_________．
【答案】8
【解析】
【分析】
将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值．
【详解】
解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中，
即：，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可．
20．（2020·四川内江?中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）

【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】
解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；

对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，

联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得(舍)，故③正确；
对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．

故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
21．（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是______________

【答案】
【解析】
【分析】
如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．
【详解】
如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，），
∴OB=1,OD=,
∴∠DBO=30º
由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º
∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，
∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n
∴A1C=AB=×1，
A1纵坐标为×1=；
A2C1=A1B1=，
A2的纵坐标为×1+===；
A3C2=A2B2=,
A3的纵坐标为×1++===；
…
由此规律可得：AnCn-1=,
An的纵坐标为=，
∴A2020=，
故答案为：

【点睛】
本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．
22．（2020·上海中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．

【答案】350．
【解析】
【分析】
当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
【详解】
解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
，
解得：，
∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，
1800﹣1450=350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
23．（2020·上海中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】
根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
24．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】
解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【点睛】
本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
25．（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】
先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.
【详解】
∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
设矩形沿x轴向右平移后得到矩形， 交AB于点G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，
∴五边形的面积为,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距离=，
故答案为：2.

【点睛】

此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
26．（2020·天津中考真题）将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．
【详解】
解：∵直线的平移规律是“上加下减”，
∴将直线向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键．
27．（2020·江苏南京?中考真题）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；
【详解】
∵一次函数的解析式为，
∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，
∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
28．（2020·山东临沂?中考真题）点和点在直线上，则m与n的大小关系是_________．
【答案】m＜n
【解析】
【分析】
先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】
解：∵直线中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
29．（2020·安徽中考真题）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解的坐标及建立方程求解即可．
【详解】
解： 矩形，在上，

把代入：


把代入：



由题意得：
解得：（舍去）

故答案为：
【点睛】
本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．
30．（2020·四川成都?中考真题）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．
【详解】
解：因为一次函数的值随值的增大而增大，
所以2m-1＞0．
解得.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降.
31．（2020·黑龙江绥化?中考真题）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是________．


【答案】65
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
【详解】
解：观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.
故答案是：65.
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并且得到关键的信息．
32．（2020·江苏苏州?中考真题）若一次函数的图像与轴交于点，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把点（m，0）代入y=3x-6即可求得m的值．
【详解】
解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0），
∴3m-6=0，
解得m=2.
故答案为:2．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
33．（2020·四川达州?中考真题）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】
解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，

故答案为：；；
【点睛】
本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
34．（2020·重庆中考真题）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】

先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．
【详解】

设乙货车的行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为

乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．
35．（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．

【答案】2
【解析】
【分析】
如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【详解】
解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC=CB，AM=OM，
∴MC=OB=1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），
∴OD=4，OE=3，
∴，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴，
∴，
∴，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，
故答案为2．
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题
36．（2020·湖南娄底?中考真题）如图，抛物线经过点、、．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）据题意可设抛物线的解析式为，将点代入解出a，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，可将分别代入和得，，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；
（3）由题意可得，根据，，可求出，连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，可得，根据，可得与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴对称，从而可求出点D的坐标．
【详解】
解：（1）据题意可设抛物线的解析式为，
将点代入，可得
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线AC的解析式为：，
将、代入得，
解得，
∴直线的解析式：，
当时，点在直线上方，
过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q，

将分别代入和得，，
∴


∵，
∴当且仅当时，取得最大值，
此时最大，
∴；
（3）由、、得，
∵，，
∴，
连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H，

则，
，
∵，
∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
又∵，
∴点D的坐标为（-2，3）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助线，灵活运用知识点是解题关键．
37．（2020·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．


（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）令



，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：

解得：
直线的函数表达式为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．

，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去）
当时，．
点的坐标为
②当时，得．
解得：，（舍去）
当时，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或

（3）解：直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．
过点作直线，垂足为．则，
，
．

即
．
又，，

．

连接，点的坐标为，点的坐标为，
轴
．
，．
．
．
点的坐标为．
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，
则，
，．
．
即
．
又，，

．．
由①可知，．．
．
．

点的坐标为
点的坐标为或．

【点睛】
本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
38．（2020·陕西中考真题）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

【答案】（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【解析】
【分析】
（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【详解】
解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），
则：20＝15k，
解得k＝，
∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），
则：，
解得，
∴y＝，
∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，
33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
39．（2020·江苏盐城?中考真题）若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．

（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）上；（2）；（3）
【解析】
【分析】
(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；
(2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是，此时，由此算出C点坐标，进而求解；
(3)过B点作BH⊥x轴，由得到，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．
【详解】
解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
(2)①若，
则与重合，直线与二次函数图像交于点
∵直线与该函数的图像交于点（异于点）
∴不合符题意，舍去；
②若，则在轴下方，
∵点在轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若
则

设直线
将代入：
，解得
直线．
故答案为：．
(3)过点作轴，垂足为，

，，
又，
，
又，
，
即点纵坐标为，
又(2)中直线l经过B点，
将代入中，得，
，
将三点坐标代入中，得
，
解得，
抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．
40．（2020·湖北省直辖县级单位?中考真题）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：

（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；
（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t为何值时，两人相距360米．
【答案】（1）120，5，；（2），见解析；（3）当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【解析】
【分析】
（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当0≤t＜15时，②当15≤t＜20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：=60（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：=120（米/分钟）；
妈妈回家用的时间为：=15（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，
∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），
即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，
∴M点的横坐标为：15+5=20（分钟），
此时纵坐标为：20×60=1200（米），
∴点M的坐标为；
故答案为：120，5，；
（2）①当0≤t＜15时y2=120t，
②当15≤t＜20时y2=1800，
③当20≤t≤35时，设此段函数解析式为y2=kx+b，
将（20，1800），（35，0），代入得，
解得，
∴此段的解析式为y2=-120x+4200，
综上：；
其函数图象如图，
；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键．
41．（2020·江苏徐州?中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：

解得：
直线为
把代入得：

把代入：
，

（2）设 轴，
则 由＜＜，



即当时，

【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
42．（2020·江苏常州?中考真题）如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．

（1）填空：________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标；
（3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长．
【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（，）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.
【详解】
解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；
（2）由（1）可得抛物线解析式为：，
当x=0时，y=3，
∴A的坐标为（0，3），
当y=3时得，
解得x1=0，x2=4，
∴点B的坐标为（4，3），
∵，
∴顶点D的坐标为（2，-1），
设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G，

∴tan∠ACH= tan∠OAC=，
根据勾股定理可得BC=，CD=，BD=，
∴BD=，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=，
∴∠ACH=∠CBM，
∵∠HCB=∠BCM=45°，
∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB，
即∠ACB=∠CMD，
Q在CD上方时：若，则Q与M点重合，
∵中，令y=0，解得：x=1或3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
即此时P的坐标为（3，0）；
Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N，
可得：AB=4，BC=，AC=，设CN=x，则BN=-x，
在△ABC中，，
即，解得：x=，
∴cos∠ACN==，
设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得：
，解得：，
∴直线BD的表达式为y=2m-5，
令y=0，则x=，即点M（，0），
设点Q坐标为（a，2a-5），
则QK=5-2a，CM=，QM=，
∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD，
∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM=,
∴cos∠CQD=cos∠ACB=,
∴QL=，QM=，CL=，
在△CQM中，，
即，解得：KQ=，
∴CK=,
∴Q（，），
设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，
，解得：，
则CQ表达式为：，联立：
，解得，
即点P坐标为（，），
综上：点P的坐标为（3，0）或（，）；

（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，
∴R（3，1），设C′（p，q），
由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，
直线BD表达式为：y=2x-5，
直线BC的表达式为：y=x-1，
令-3x+3=2x-5，解得：x=，则y=，
∴点N′（，），
∵点C和C′关于直线BD对称，
∴CR=C′R=BD=，CN′=C′N′=，
则有，，
即，
①-②得：③，代入①，
解得：或0（舍），代入③中，得：，
解得：，即点C′（，），
∵N′（，），
求得直线C′N′的表达式为：，
∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，
∴点F（7，0），
又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，
可得∠BCF=45°=∠BCG，
∴∠FCG=90°，
∴CG=CF=6,
∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），
∴AG的长为.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结合思想解答.
43．（2020·江苏常州?中考真题）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．
【答案】（1）①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；（2）直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+
【解析】
【分析】
（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
【详解】
解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，

∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在Rt△EOF中，∵tan∠FEO===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在Rt△HOF中，∵sin∠HFO=，
∴HO= sin∠HFO·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），

设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，

②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=x+b2中，

④-⑤得：-n=+，⑥
联立方程③与方程⑥，得：

解得：，
∴点A的坐标为（，）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，
∴NB·NA=，
即2·NA=，
解得：NA=，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，
即(m+1)2+n2=10，
把代入，解得k=-3或k=；
当k=-3时，m=2，n=1，
∴点A的坐标为（2，1），
把点A（2，1）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=-3x+7；
当k=时，m=-2，n=3，
∴点A的坐标为（-2，3），
把点A（-2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=x+．
∴直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+．
【点睛】
本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．
44．（2020·江苏常州?中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．

（1）求a的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【解析】
【分析】
（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．
故△ACD的面积为．
【点睛】
（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
45．（2020·甘肃天水?中考真题）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【解析】
【分析】
（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；
（3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．
【详解】
（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．
依题意得，解得，
经检验是原方程的解且符合题意
当时，．
答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，
依题意得
解得，
∵为整数∴．
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品总获利元，
则．
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键．
46．（2020·辽宁抚顺?中考真题）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得：
，
解得，
∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）；
（2）根据题意，得：
，
，
，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，随的增大而增大，
∵，且为整数，
∴当时，有最大值，
即，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元．
【点睛】
本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
47．（2020·广东中考真题）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元
【解析】
【分析】
（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可；
（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
【详解】
解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米
由题意得
解得，
∴，经检验为分式方程的解
∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米
（2）设建类摊位个，则类个，费用为
∵
∴

，
∵110>0，
∴z随着a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当时z有最大值，此时
∴建造90个摊位的最大费用为10520元
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．
48．（2020·广东中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．

（1）求，的值；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）； （2） （3），，，
【解析】
【分析】
（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；
（2）根据二次函数是，，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∴将A，B代入得，
解得，
∴，；
（2）∵二次函数是，，，
∴的横坐标为，
代入抛物线解析式得


∴，
设得解析式为：
将B，D代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，
解得n=，
tan∠PQB=tan∠ADB即，
解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，
解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即=，
解得x=1-，
此时Q的坐标为（1-，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，
解得n=，
tan∠PQM=tan∠DAE即，
解得x=-1，
此时Q的坐标为（-1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，
解得n=-2，
tan∠PQM=tan∠DAE即，
解得x=5-，
Q的坐标为（5-，0）；
综上：Q的坐标可能为，，，．
【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．
49．（2020·湖北随州?中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元/只）
2
3
4
5
6
销量（只）
70
75
80
85
90


物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】（1），且x为整数，，且x为整数；（2），第5天时利润最大；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，

；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点睛】
此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
50．（2020·湖北宜昌?中考真题）已知函数均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
【答案】（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，

，
，

，


设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即

；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点




二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且

，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线


，
直线
点
，
位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线


，
直线
点
，
位置三：如图

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线


，
直线
点
，

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】
本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
51．（2020·黑龙江齐齐哈尔?中考真题）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）甲车改变速度前的速度是　 　km/h，乙车行驶　 　h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　 　km；出发　 　h时，甲、乙两车第一次相距40km．
【答案】（1）100km/h，10h；（2）y＝80x+100（）；（3）100km；2h
【解析】
【分析】
（1）结合图象，根据“速度＝路程÷时间”即可得出甲车改变速度前的速度；根据“时间＝路程÷速度”即可得出乙车行驶的时间；
（2）根据题意求出甲车到达绥芬河的时间，再根据待定系数法解答即可；
（3）根据甲车到达绥芬河的时间即可求出甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程；根据“路程差＝速度差×时间”列式计算即可得出甲、乙两车第一次相距40km行驶的时间．
【详解】
解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），
故答案为：100；10；
（2）∵乙车速度为80km/h，
∴甲车到达绥芬河的时间为：，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将（5，500）和（，800）代入得：，
解得，
∴y＝80x+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．
故答案为：100；2．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键．
52．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．
【解析】
【分析】

（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．
【详解】

（1）针对于直线y=﹣x+5，
令x=0，y=5，
∴B(0，5)，
令y=0，则﹣x+5=0，
∴x=10，
∴A(10，0)，
∴AB==5；
（2）设点C(m，﹣m+5)．
∵B(0，5)，
∴BC==|m|．
∵BC=，
∴|m|=，
∴m=±2．
∵点C在线段AB上，
∴m=2，
∴C(2，4)，
将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得，
∴，
∴抛物线y=﹣x2+x；
（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，
∴b=﹣10a，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，
将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜，
∴﹣＜a＜0．
【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．
53．（2020·江苏淮安?中考真题）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【答案】（1）80；（2）；（3）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
【详解】
解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为，
则：，解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为：（小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
54．（2020·湖北荆门?中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；
（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．
【详解】
（1）在中，
令，则，解得，
∴．
令，则，∴．
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作轴于E，则．
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则点D的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
而，
∴，
∵，，由二次函数的性质可知：
当时，的最大值为．
，
∴．

（3）设平移后抛物线的解析式，

联立，
∴，
整理，得：，
设，则是方程的两根，
∴．
而A为的中点，∴，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
55．（2020·湖北荆门?中考真题）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
（销售额=销售量×销售价格）
【答案】（1）；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【解析】
【分析】
（1）分为和，用待定系数法确定解析式即可；
（2）分别计算出和时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可．
【详解】
（1）当时，设，由图象得：
解得：
∴
当时，设，由图象得：
解得：
∴
综上，．
（2）设当月该农产品的销售额为w元，则．
当时，

∵，由二次函数的性质可知：
∴当时，
当时，

∵，由二次函数的性质可知：
当时，
∵
∴当时，w取得最大值，该最大值为500．
答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元．
【点睛】
本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键．
56．（2020·湖北孝感?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．

【答案】（1）（2，-4） （2） （3）（0,4）
【解析】
【分析】
（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．
（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
【详解】
解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．
点D的坐标为；
(2)如图所示：
根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．
故
(3)如图所示：
过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),
故点F的坐标为(0,4)．

【点睛】
（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
57．（2020·湖北孝感?中考真题）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知乙产品的售价比甲产品的售价多5元，丙产品的售价是甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买农产品最少要花费多少元？
【答案】（1）甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；（2）按此方案购买农产品最少要花费300元．
【解析】
【分析】
（1）设甲产品的售价为元，先表示出乙产品的售价和丙产品的售价，再根据“用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍”建立方程，然后求解即可得；
（2）设的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有，先求出乙种农产品的数量和甲种农产品的数量，再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出m的取值范围，然后根据（1）的结论得出所需费用关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质即可得．
【详解】
（1）设甲产品的售价为元，则乙产品的售价为元，丙产品的售价为元
由题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，也符合题意
则，
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；
（2）设的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有，则乙种农产品有，甲种农产品有
由题意得：
解得
设按此销售方案购买农产品所需费用元
则
∵在范围内，随的增大而增大
∴当时，取得最小值，最小值为（元）
答：按此方案购买农产品最少要花费300元．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，依据题意，正确列出方程和函数的解析式是解题关键．
58．（2020·河北中考真题）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．

－1
0

－2
1


（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】
（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；

（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．
59．（2020·河北中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP；
（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；
（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．
【详解】
（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，

S上=S△APQ，
S下=S四边形BPQC，
∵，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
当=时，，
∴，
AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，
∴，
解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，
P到AC的距离：d=PQ·sinC，
由（2）可知sinC=，
∴d=PQ，
∵AP=x+2，
∴，
∴PQ=，
∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，
BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，
d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2 移动的速度==，
①从Q平移到K，耗时：=1秒，
②P在BC上时，K与Q重合时
CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，
∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
设BP=y，CP=8-y，
，即，
整理得y2-8y=，
（y-4）2=，
解得y1=，y2=，
÷=10秒，
÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．
60．（2020·湖北咸宁?中考真题）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；（2）；（3），需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【解析】
【分析】
（1）设每盒水银体温计的价格是x元，根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可；
（2）先用m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数；
（3）分当m≤4时，当m＞4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有900名学生求出口罩的盒数m，从而得到体温计的盒数以及总费用.
【详解】
解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，
根据题意可得：，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，
50+150=200元，
∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；
（2）∵购买口罩m盒，
∴共有口罩100m个，
∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，
∴需要发放支水银体温计，
∴需要购买盒水银体温计；
（3）由题意可得：
令200m+5m×50=1800，
解得：m=4，
若未超过1800元，即当m≤4时，
则w=200m+5m×50=450m，
若超过1800元，即当m＞4时，
w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360，
∴w关于m的函数关系式为，
若该校九年级有900名学生，即=900，
解得：m=18，
则=6840，
答：需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系.
61．（2020·湖北咸宁?中考真题）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】
解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】
此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
62．（2020·湖北武汉?中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求，的值；
（2）当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
（3）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，直接写出，两城总运费的和的最小值（用含有的式子表示）．
【答案】（1），；（2）A城生产20件，B城生产80件；（3）当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y也为0，再利用待定系数法即可求出a、b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式，从而可得出，两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，先列出从A城运往D地的产品数量、从B城运往C地的产品数量、从B城运往D地的产品数量，再求出n的取值范围，然后根据题干运费信息列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即时，
则，解得
故，；
（2）由（1）得：
设，两城生产这批产品的总成本的和为
则
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元
此时
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件
由题意得：，解得

整理得：
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当时，在内，随的增大而减小
则时，取得最小值，最小值为
②当时，在内，随的增大而增大
则时，取得最小值，最小值为
答：当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的实际应用等知识点，较难的是题（3），正确设立未知数，建立函数关系式是解题关键．
63．（2020·湖北武汉?中考真题）将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线，的解析式；
（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，
抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．
（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，

∵是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点A的坐标为（x，x2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，
∴x-2= x2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A的坐标为（5，3）；
同理，当点B、点A在x轴的下方时，
x-2= -(x2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点的坐标为（4，-2），
综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，
∴，
∴x2-kx-6=0，
设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，
∴xE+xF=k，
∴中点M的横坐标xM==，
中点M的纵坐标yM=kx=，
∴点M的坐标为（，）；
同理可得：点N的坐标为（，），
设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），
将M（，）、N（，）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为y= ·x+2（），
不论k取何值时（），当x=0时，y=2，
∴直线经过定点（0，2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
64．（2020·福建中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】
解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
65．（2020·江苏扬州?中考真题）如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”

（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】

（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】

解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x的增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】

本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
66．（2020·山东潍坊?中考真题）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）
【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
【解析】
【分析】
（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．
【详解】
（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
67．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）
【解析】
【分析】

（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．
【详解】

解：（1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；

（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；

平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,

∴的取值范围为：．
【点睛】

本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
68．（2020·北京中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

0

1

2

3


0



1




综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．

（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】

（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】

解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
69．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】

（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式；
（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围．
【详解】

（1）∵一次函数由平移得到，
∴，
将点（1，2）代入可得，
∴一次函数的解析式为；
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：

临界值为当时，两条直线都过点（1，2），
∴当时，都大于，
又∵，
∴可取值2，即，
∴的取值范围为．
【点睛】

本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．
70．（2020·湖北鄂州?中考真题）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）．
【解析】
【分析】
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；
（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【详解】
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，
解得：，
即y与x的函数关系式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，
解得：，

∵，
∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，
可得：，解得：m≥3，
∵
∴
故m的取值范围为：．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．
71．（2020·山东青岛?中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
72．（2020·天津中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开宿舍的时间/
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/
0.2

0.7



（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为_______．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为_______．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）0.5，0.7，1；（Ⅱ）①0.3；②0.06；③0.1；④6或62；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据函数图象分析计算即可；
（Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍；
（Ⅲ）分段根据函数图象，结合“路程=速度时间”写出函数解析式.
【详解】
解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为0.22=0.1，
0.15=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，
（Ⅱ）①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3；
故答案为：0.3；
②（1-0.7）（28-23）=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1（68-58）=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为，
则此时的时间为0.60.1=6min.
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4 0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
（Ⅲ）当时，；
当时，
当时，设，将（23，0.7）（28，1）代入解析式
，解得
∴．
【点睛】
本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
73．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，A种，B种书包各有几个？
【答案】（1）A，B两种书包每个进价各是70元和90元；（2）共有3种方案，详见解析；（3）赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【解析】
【分析】
（1）设A种书包每个进价是x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设购进A种书包m个，根据题意得出不等式70m+90（2m+5）≤5450，求出m，再结合A种书包不少于18个，得出m的取值范围，从而可得方案；
（3）根据获利最大得到购进A种书包20个，则B种书包45个，设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，根据获利1370元得到方程，再求出符合题意的整数解即可.
【详解】
解：（1）设A种书包每个进价是x元，则B种书包每个进价是x+20元，
由题意可得：，
解得：x=70，
经检验：x=70是原方程的解，
70+20=90元，
∴A，B两种书包每个进价各是70元和90元；
（2）设购进A种书包m个，则B种书包2m+5个，m≥18，
根据题意得：70m+90（2m+5）≤5450，
解得：m≤20，
则18≤m≤20，
∴共有3种方案：
购进A种书包18个，则B种书包41个；
购进A种书包19个，则B种书包43个；
购进A种书包20个，则B种书包45个；
（3）设获利W元，
则W=（90-70）m+（130-90）（2m+5）=100m+200，
∵100＞0，
∴W随m的增大而增大，
则当m=20时，W最大，
则购进A种书包20个，则B种书包45个，
设赠送的书包中，A种书包s个，样品中有t个A种书包，
则B种书包5-s个，样品中有4-t个B种书包，
则此时W=（20-s-t）×（90-70）+t（90×0.5-70）+（45-5+s-4+t）×（130-90）+（4-t）（130×0.5-90）-70s-（5-s）×90=1370，
整理得：2s+t=4，即，
根据题意可得两种书包都需要有样品，则t≠0且t≠4，
∴t=2，s=1，
∴赠送的书包中，A种书包有1个，B种书包有3个，
样品中A种书包有2个，B种书包有2个.
【点睛】
本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系.
74．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：

（1）求点A，B的坐标；
（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【解析】
【分析】
（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【详解】
解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵，
∴B（0，）；
（2）∵，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，
∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：，
解得：，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.

【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
75．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：

（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【解析】
【分析】
（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【详解】
解：（1）由题意可得：
F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，
M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，
∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，
则360÷90=4，
∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，
，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，
600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，
解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，
∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，
15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，
15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，
（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，
（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
76．（2020·湖北襄阳?中考真题）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【答案】（1）；（2）甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；（3）千克．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式．
（2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量．
（3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值．
【详解】
（1）当时，设y=kx，
将（50，1500）代入得1500=50k，
解得k=30，
所以；
当时，设y=k1x+b，
将（50，1500）、（70，1980）分别代入得
，
解得：，
所以；
综上；
（2）甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克
①40≤x≤50
w=30x+（100－x）×25
=5x+2500
∵k＞0
∴当x=40时，w有最小值为2700；
②50＜x≤60，
w=24x+300+（100－x）×25，
=﹣x+2800，
∵k＜0，
∴当x=60时w有最小值为2740，
∵2700＜2740，
∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；
（3）由题可设甲为 ，乙为；
当0≤≤50时，即0≤a≤125
则甲的进货价为30元/千克，
×（40－30）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥ ＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去，
当＞50时，即a＞125，
则甲的进货价为24元/千克，
×（40－24）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥＞125 ，
∴a的最小值为
答：a的最小值为，利润不低于1650元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题．
77．（2020·湖北襄阳?中考真题）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．

（1）_________，_________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【解析】
【分析】

（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；
（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【详解】

解：（1）把x=1,y=4代入得，
4=，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得
解得
∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1 （3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，

∴OM=a，PM=,
∴S△POM=
【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
78．（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．

操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．

【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【解析】
【分析】
（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
【详解】
解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：

（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
【点睛】
本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．
79．（2020·河南中考真题）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．

【答案】（1）k1=15，b=30；k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）打折前的每次健身费用为25元，k2=20；
（3）方案一所需费用更少，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
【详解】
解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键．
80．（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．

（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,

所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；

（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．

【点睛】
本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
81．（2020·湖南岳阳?中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．

【答案】（1）；（2）b的值为1或9．
【解析】
【分析】
（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【详解】
（1）由题意，将点代入一次函数得：

将点代入得：，解得
则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立
整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式
解得
则b的值为1或9．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
82．（2020·湖南怀化?中考真题）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【解析】
【分析】
(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】
（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得： ，
解得，
∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值=，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】
此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
83．（2020·山东菏泽?中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】

（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】

（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
84．（2020·湖南株洲?中考真题）如图所示，的顶点A在反比例函数的图像上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且．


（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若为等腰直角三角形，，其面积小于3．
①求证：；
②把称为，两点间的“ZJ距离”，记为，求的值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②8．
【解析】
【分析】

（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；
（2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由AAS即可证明；
②由“ZJ距离”的定义可知为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故，即只需求出B点坐标即可，设点，由可得，进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【详解】

解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC=5，
∴,即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE=1，
∴，
∴．
（2）①在为等腰直角三角形中，，，
∴，
又∵BF⊥y轴，
∴，
∴
在和中
，
∴，
②解：设点坐标为，
∵
∴，，
∴，
设直线AB解析式为：，将AB两点代入得：
则．
解得，．
当时，，，，符合；
∴




，
当时，，，，不符，舍去；
综上所述：．
【点睛】

此题属于代几综合题，涉及的知识有：反比例函数、一次函数的性质及求法、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形性质等，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．
85．（2020·四川泸州?中考真题）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【答案】（1）甲购买了20件，乙购买了10件；（2）购买甲奖品8件，乙奖品22件，总花费最少
【解析】
【分析】
（1）设甲购买了x件乙购买了y件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程组，然后解方程组计算即可；
（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（30-a）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，然后列不等式后确定x的范围即可得到该校的购买方案．
【详解】
解：（1）设甲购买了x件，乙购买了y件，
，
解得，
答：甲购买了20件，乙购买了10件；
（2）设购买甲奖品为a件．则乙奖品为（30-a）件，根据题意可得：
30-a≤3a，
解得a≥，
又∵甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元，
总花费=30a+20（30-a）=10a+600，总花费随a的增大而增大
∴当a=8时，总花费最少，
答：购买甲奖品8件，乙奖品22件，总费用最少.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是找出等量关系.
86．（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A，与轴的负半轴交于点B， ，过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为，过点C作轴，垂足为．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点N在线段上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作轴，垂足为D，交OC于点E，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作轴的平行线交BQ于点G，连接PF交轴于点H，连接EH，若，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出A，B的坐标即可求出直线AB的解析式；
（2）求出N（3,9），以及ON的解析式为y=3x，设P（a，3a），表达出PE及OD即可解答；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，先证明四边形OSRA为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，设FR=m，根据，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到，从而得到DH=，根据∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT，列出关于a的方程即可求出a的值，从而得到点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵CM⊥y轴，OM=9，
∴当y=9时，，解得：x=12，
∴C（12,9），
∵CA⊥x轴，则A（12,0），
∴OB=OA=12，则B（0，-12），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴；
（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，
∴四边形MOAC为矩形，
∴MC=OA=12，
∵NC=OM，
∴NC=9，则MN=MC-NC=3，
∴N（3,9）
设直线ON的解析式为，
将N（3，9）代入得：，解得：，
∴y=3x，
设P（a，3a）
∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，
∴，，
∴PE=，OD=a，
∴；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，
∵GF∥x轴，
∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，
则四边形OSRA为矩形，
∴OS=AR，SR=OA=12，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，
∴∠FAR=∠AFR，
∴FR=AR=OS，
∵QF⊥OF，
∴∠OFQ=90°，
∴∠OFS+∠QFR=90°，
∵∠SOF+∠OFS=90°，
∴∠SOF=∠QFR，
∴△OFS≌△FQR，
∴SF=QR，
∵∠SFB=∠AFR=45°，
∴∠SBF=∠SFB，
∴BS=SF=QR，
∵∠SGB=∠RGQ，
∴△BSG≌△QRG，
∴SG=RG=6，
设FR=m，则AR=m，
∴QR=SF=12-m，
∴AF=，
∵，
∴GQ=，
∵QG2=GR2+QR2，即，解得：m=4，
∴FS=8，AR=4，
∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，
∴四边形OSFT为矩形，
∴OT=FS=8，
∵∠DHE=∠DPH，
∴tan∠DHE=tan∠DPH，
∴，
由（2）可知，DE=，PD=3a，
∴，解得：DH=，
∴tan∠PHD=，
∵∠PHD=∠FHT，
∴tan∠FHT=，
∴HT=2，
∵OT=OD+DH+HT，
∴，
∴a=，
∴

【点睛】
本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．
87．（2020·山东聊城?中考真题）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．
【解析】
【分析】
（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多10棵”列方程即可求解；
（2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解．
【详解】
解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，
根据题意，得，
解之，得．
经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．
（2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则
．
∵是的一次函数，，随着的增大而减小，，
∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，．
答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．
88．（2020·安徽中考真题）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】
【分析】
（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】
（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
89．（2020·四川成都?中考真题）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：

（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴与的函数关系式为．
（2）设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得

=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
=，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
90．（2020·四川南充?中考真题）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）

【答案】（1）；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【解析】
【分析】

（1）由图像可知，当，函数为常数函数z=16；当，函数为一次函数，设函数解析式为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式；
（2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当，，可知x=12时有最大利润；当，，当时有最大利润．
【详解】

解：（1）由图可知，当时，
当时，是关于的一次函数，设
则，得，即
∴关于的函数解析式为
（2）设第个生产周期工厂创造的利润为万元
①时，
当时，（万元）
②时，

当时，（万元）
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【点睛】

（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点；
（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．
91．（2020·江苏苏州?中考真题）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润（元）与销售量之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：

日期
销售记录
6月1日
库存，成本价8元/，售价10元/（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/．
6月12日
补充进货，成本价8.5元/．
6月30日
水果全部售完，一共获利1200元．


（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点坐标为，根据题意列出方程计算即可求得，再利用待定系数法即可求得线段所在直线对应的函数表达式．销售量
【详解】
解：（1）（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点坐标为．
根据题意，得，
解这个方程，得．
∴点坐标为．
设线段所在直线的函数表达式为，
∵两点的坐标分别为，，
∴
解这个方程组，得．
∴线段所在直线的函数表达式为．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际运用，熟练掌握利润= （售价-成本价）×销售量以及待定系数法求一次函数表达式是解决本题的关键．
92．（2020·四川达州?中考真题）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅

160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）a=260；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【解析】
【分析】
（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；
（2）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，
解得：a=260，
经检验：a=260是所列方程的解，
∴a=260；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．
∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．
93．（2020·重庆中考真题）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…

…




－3
0
3




…

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；( )
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；( )
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

【答案】（1），；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【解析】
【分析】

（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可；
（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求解即可．
【详解】

解：（1）当x=-3时，，
当x=3时，，
函数图象如下：

（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：× ，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；
故答案为：√ ，
③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3），
时，
得，，，
故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【点睛】

本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
94．（2020·四川自贡?中考真题）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；
⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】（1）；（2）当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的关于的函数解析式；
（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．
【详解】
解：（1）由题意可得，
，
当时，，
当时，，
由上可得，；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；
当购买商品原价超过100元时，
若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若，即，此时甲乙商场购物花费一样；
若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
95．（2020·江苏无锡?中考真题）有一块矩形地块，米，米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米、60 元/米、40元/米，设三种花卉的种植总成本为元．


（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，求三种花卉的最低种植总成本．
【答案】（1）当时，；（2）；（3）当时，最小为21600．
【解析】
【分析】
（1）根据，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：；
（3），，则，即可求解．
【详解】
解：（1）当时，，，
故
；
（2），，参考（1），由题意得：；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
96．（2020·山东德州?中考真题）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
【答案】（1）超市B型画笔单价为5元；（2），其中x是正整数；（3）小刚能购买65支B型画笔．
【解析】
【分析】
（1）设超市B型画笔单价a元，根据“花100元买了相同支数的B型画笔”，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时， 当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；
（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．
【详解】
解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，
由题意列方程得，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以其中x是正整数
（3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
答：小刚能购买65支B型画笔．
【点睛】
本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式，是解题的关键．
97．（2020·四川遂宁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．

（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）y＝，y＝3x﹣3；（2）
【解析】
【分析】
（1）作DM⊥y轴于M，通过证得（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【详解】
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在和中
，
∴（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y＝，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解
得或，
经检验：两组解都符合题意，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE＝＝，DB＝＝，
∴CN＝BD＝，
∴
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
98．（2020·四川攀枝花?中考真题）如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为．

（1）求、的值；
（2）求直线与函数图像的交点坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）3，；（2）（2，）；（3）0＜x＜
【解析】
【分析】
（1）根据点C′在反比例函数图像上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；
（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果.
【详解】
解：（1）∵C′的坐标为(1，3)，
代入中，
得：m=1×3=3，
∵C和C′关于直线y=x对称，
∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，
∴点P（3，2），
将点P代入，
∴解得：k=；
∴k和m的值分别为：3，；
（2）联立：，得：，
解得：，（舍），
∴直线与函数图像的交点坐标为（2，）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，），
由图像可知：当0＜x＜时，反比例函数图像在一次函数图像上面，
∴不等式的解集为：0＜x＜.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，图像法解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想，结合图像解决问题.
99．（2020·山东枣庄?中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为． （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．
【解析】
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；
（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．
【详解】
解：（1）将，代入，得，解之，得．
所以，抛物线的表达式为．
（2）由，得．
将点、代入，得，解之，得．
所以，直线BC的表达式为：．
由，得，．
∴
∵，∴．
∴．
∴．
．
∵
∴当时，PN有最大值，最大值为．
（3）存在，理由如下：由点，，知．

①当时，过Q作轴于点E，易得，
由，得，（舍）
此时，点；
②当时，则．
在中，由勾股定理，得．
解之，得或（舍）
此时，点；
③当时，
由，得（舍）．
综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．
【点睛】
本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
100．（2020·四川乐山?中考真题）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿 车
4


（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
【解析】
【分析】
（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．
（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．
【详解】
解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
【点睛】
本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．