微专题：两条直线的平行垂直 学案-2023届高考数学一轮《考点•题型 •技巧》精讲与精练

这是一份微专题：两条直线的平行垂直 学案-2023届高考数学一轮《考点•题型 •技巧》精讲与精练，共27页。

微专题：两条直线的平行与垂直
【考点梳理】
1. 两条直线的位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2.
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2.
2. 两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则
(1)l1∥l2⇔
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.


【题型归纳】
题型一： 由斜率判断两直线平行
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（       ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
2．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（       ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合
3．已知直线，，则的位置关系是（       ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．重合

题型二： 已知直线平行求参数
4．若直线与直线平行，则（       ）
A．或0 B． C．1或0 D．1
5．是直线和平行的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（       ）
A． B．9 C． D．3

题型三： 由斜率判断两直线垂直
7．设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（       ）
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
8．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（       ）
A．10 B．13 C．16 D．20
9．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为(       )
A．1 B．3 C．4 D．2

题型四： 已知直线垂直求参数
10．已知直线和直线互相垂直，则实数a的值为（       ）
A．0 B． C．0或 D．0或2
11．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为                                          （       ）
A． B．6 C． D．8

题型五： 直线平行、垂直在平面几何中的应用
13．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（       ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
14．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点､，，则的欧拉线方程为（       ）
A． B．
C． D．



【双基达标】

16．“”是“直线与直线平行”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．下列说法中正确的是
A．若直线与的斜率相等，则
B．若直线与互相平行，则它们的斜率相等
C．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交
D．若直线与的斜率都不存在，则
18．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．9
19．如果直线与直线垂直，那么的值为（       ）
A． B． C． D．2
20．已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
21．下列直线中，与直线平行的是（       ）
A． B．
C． D．
22．已知，则直线与直线平行的充要条件是（       ）
A． B． C． D．或
23．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（       ）
A． B．
C． D．
24．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（       ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
25．已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
26．已知直线l1：3mx+（m+2）y+3＝0，l2：（m﹣2）x+（m+2）y+2＝0，且l1∥l2，则m的值为（　　）
A．﹣1 B． C．或﹣2 D．﹣1或﹣2
27．已知直线与直线垂直，则实数的值是
A．0 B． C．0或 D．或
28．已知直线：与：平行，则实数的值是（       ）
A． B． C． D．
29．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（       ）
A． B． C． D．
30．若直线,互相平行,则实数的值为（       ）
A． B．6 C． D．


【高分突破】

一、单选题
31．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
32．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
33．“”是“直线与直线平行”的（       ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
34．已知直线和互相平行，则实数m的值为（       ）
A． B．2 C． D．2或4
35．下列说法中正确的有（       ）
（1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；
（2）若，则
（3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
（4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．下列直线中与直线垂直的是（     ）
A． B． C． D．
37．若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（     ）
A． B． C．2 D．
38．若两直线与平行，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．0
39．已知直线l1∶xsina+y=0与直线l2∶3x+y+c=0，则下列结论中正确的是（　　）
A．直线l1与直线l2可能重合
B．直线l1与直线l2可能垂直
C．直线l1与直线l2可能平行
D．存在直线l1外一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合
40．对于直线，下列说法不正确的是　　
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
二、多选题
41．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（       ）
A． B． C． D．
42．若，，,，下面结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
43．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（       ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
44．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（       ）
A．l的倾斜角等于
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
三、填空题
45．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
46．已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为_______；
47．已知直线，直线，若，则实数的值为______．
48．直线与直线垂直，则为___________.
49．已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
50．若直线与互相垂直，则实数的值为________．
四、解答题
51．已知直线，求满足下列条件的a的取值范围．
（1）与相交；
（2）；
（3）与重合．
52．已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为、、，求该平行四边形的第四个顶点坐标．
53．已知两直线，
（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.
54．已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．
55．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】
充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解.
【详解】
由点，，可求得直线的斜率，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
则有，则直线与直线平行或重合.
故选： D.
3．C
【解析】
由斜率相等截距不等判断即可.
【详解】
由知，这两条直线的斜率相等截距不等，即平行
故选：C
4．D
【解析】
【分析】
分和两种情况求解
【详解】
当时，两直线分别为，，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当时，因为直线与直线平行，
所以，解得，
综上，，
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出参数，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
解：因为直线和平行，
所以，解得或，
当时，两直线分别为，两直线平行，
当时，两直线分别为，两直线平行，
所以或，
所以是直线和平行的充分不必要条件.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.
【详解】
的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
根据两直线的位置关系直接判断两直线的位置关系即可.
【详解】
由题可知：直线与的斜率分别为，
又在中，所以，所以两条直线垂直，
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
9．C
【解析】
【分析】
由题意可得，且两直线始终垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【详解】
由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，∴．
故 (当且仅当时取“”)．
故选：C．
10．D
【解析】
【分析】
直接由直线垂直的公式求解即可.
【详解】
由题意得，，解得或2.
故选：D.
11．A
【解析】
【分析】
根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，
由两直线垂直得，，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为，

故选：C
13．B
【解析】
【分析】
结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.
【详解】
，，则，
所以,与不平行，

因此
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
14．D
【解析】
【分析】
设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项.
【详解】
解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故选：D.
15．C
【解析】
【分析】
根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可.
【详解】
因为的顶点､，
所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即，
因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，
所以的欧拉线方程为.
故选：C.
16．A
【解析】
【分析】
求出当两直线平行时实数的值，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】
若直线与直线平行，则，解得或，
因为Ü，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
17．C
【解析】
根据两直线平行的等价条件即可判断.
【详解】
对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D，若直线与的斜率都不存在，则或与重合.
故选:C
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.
18．C
【解析】
【分析】
由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】
本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．A
【解析】
【分析】
根据两条直线垂直列方程，化简求得的值.
【详解】
由于直线与直线垂直，
所以.
故选：A
20．B
【解析】
【分析】
根据两直线垂直,得到关于的等式,再利用基本不等式即可求出的最大值.
【详解】
因为直线与直线互相垂直,
所以,即,
因为,
所以,即,
故选:B.
【点睛】
本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大.
21．B
【解析】
【分析】
根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线重合，不符合题意；
对于B中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意；
对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；
对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意；
22．C
【解析】
【分析】
利用直线平行的判定可得求参数a，注意验证是否存在重合情况.
【详解】
由题设，，解得或，
当a＝0时， ，两条直线重合，
当时，，故．
故选：C.
23．C
【解析】
【分析】
分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.
【详解】
由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
24．C
【解析】
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题．
25．B
【解析】
【分析】
由直线与直线垂直的性质得，再上，，能求出的取值范围.
【详解】
解：∵直线：，：互相垂直，
∴，∴，
∵，，∴.
∴的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
本题考查两直线垂直的条件的应用，属于中档题.
26．A
【解析】
【分析】
利用直线与直线平行的性质直接求解．
【详解】
根据两直线平行的公式可得，故
解得
故选：A．
27．C
【解析】
【分析】
由一般式方程可知直线垂直时，从而构造方程求得结果.
【详解】
由直线垂直可得：，解得：或
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据直线垂直的位置关系求解参数值的问题，属于基础题.
28．A
【解析】
【分析】
根据直线平行可直接构造方程求得结果.
【详解】
，，解得：.
故选：.
【点睛】
本题考查根据两直线平行求解参数值的问题，解题关键是明确若直线与直线平行，则且.
29．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
30．B
【解析】
根据两直线平行系数之间的关系和不等关系列出方程和不等式,解这个方程和不等式即可.
【详解】
因为直线，互相平行,
所以且,解得且,所以.
故选：B
【点睛】
本题考查了已知两直线位置关系求参数问题,考查了数学运算能力.
31．B
【解析】
【分析】
由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出的最大值．
【详解】
解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.
32．D
【解析】
【分析】
根据可得、的关系式，再由基本不等式即可求解.
【详解】
因为，所以，所以，，
所以
，
当且仅当即，时取等号，的最小值为，
故选：D
33．A
【解析】
【分析】
根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件.
【详解】
“直线与直线平行”
因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线，直线平行，故充要条件成立．
故选：A．
34．A
【解析】
根据两条直线平行的性质即可求出实数m的取值.
【详解】
因为直线和互相平行，
所以，
解得或，
当时，与重合，不符合题意，
故，
故选：A
35．A
【解析】
【分析】
根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可．
【详解】
①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以错误．
②若，则两直线的斜率相等或都不存在，所以错误．
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确．
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以错误．
故选：A
36．B
【解析】
【分析】
根据两条直线斜率存在时它们的乘积等于-1逐一判断可得答案.
【详解】
在直线斜率都存在的情况下，若两直线垂直则斜率乘积为-1，
直线的斜率为，
选项A：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误；
选项B：直线的斜率为5，因为，所以与直线垂直，正确；
选项C：直线的斜率为，因为，所以与直线不垂直，错误；
选项D：直线的斜率为，显然不与直线垂直，错误，
故选：B.
37．B
【解析】
【分析】
求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值.
【详解】
由题意得，与共线，所以，
解得．经检验知，符合题意，
故选:B．
【点睛】
本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.
38．A
【解析】
【分析】
根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.
【详解】
由题意知：，整理得，
∴，
故选：A
39．B
【解析】
【分析】
由直线位置关系的平行、重合、垂直的条件可得答案.
【详解】
直线l1∶xsina+y=0的斜率为，与直线l2∶3x+y+c=0斜率为，
若直线l1与直线l2重合，则，且，由于，故A错误；
若，则，直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；
若直线l1与直线l2平行，则，由于，故C错误；
由AC知，直线l1与直线l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直线l1不可能绕P旋转后与直线l2重合，故D错误.
故选：B.
40．C
【解析】
直线，化为：，根据直线斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误．
【详解】
直线，化为：，
可得斜率，倾斜角为轴上的截距为，
因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，C错；
直线一定不经过第三象限，B对；
直线的倾斜角的大小不变，A对；
当取不同数值时，可得到一组平行直线，D对；
故选：．
41．BCD
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
解：设第四个顶点为．
对于A选项，当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；
对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；
故选：BCD．
42．ABCD
【解析】
分别计算,,,的斜率，根据斜率的关系判断A，B，D是否正确；然后利用两点间的距离公式计算和，判断D是否正确.
【详解】
因为，,且不在直线上，
所以，故A正确；
又因为，所以,所以，故B正确；
∵，，
∴，故C正确；
又，，
∴，∴，故D正确．
故选：ABCD.
43．AC
【解析】
【分析】
由两直线平行有，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值.
【详解】
若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a= -2或a =1.
当时，，，符合题设；
当时，，，符合题设；
故选：AC.
44．CD
【解析】
【分析】
由已知得直线l的斜率，可判断A选项；得直线l的方程为，令可判断B选项；求得直线的斜率为可判断C选项；求得原点到直线l的距离可判断D选项．
【详解】
由已知得直线l的斜率，设其倾斜角为，则，所以，故A选项错误；
直线l的方程为，即，所以它在x轴上的截距等于，故B选项错误；
直线的斜率为，所以两直线垂直，故C选项正确；
原点到直线l的距离，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，D选项正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查直线的斜率、倾斜角、在x轴上的截距，以及两直线垂直的条件，属于基础题.
45．
【解析】
【分析】
由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
解：因为直线与直线平行，直线的斜率为，
所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
所以，即直线的倾斜角为，
故答案为：.
46．0或1
【解析】
【分析】
根据直线的斜率存在和不存在分类讨论．
【详解】
当时，直线方程为，直线方程为，两直线平行，
当时，，，由得，此时直线方程为，即，直线方程为，即，两直线平行．
故答案为：0或1．
【点睛】
本题考查由两直线平行求参数值，解题时根据直线斜率存在和不存在分类讨论．由斜率相等求出参数时还需检验两直线是否重合．
47．或
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的充要条件求解即可.
【详解】
因为，
所以，解得或，
故答案为：或
48．或
【解析】
【分析】
根据两直线垂直的性质得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为直线与直线垂直，
所以，解得或
故答案为：或
49．直角
【解析】
【分析】
根据直线斜率关系即得.
【详解】
如图，猜想是直角三角形，

由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
50．
【解析】
【分析】
由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
两直线与互相垂直.
所以，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.
51．（1）且；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据直线相交即可求解.
（2）根据直线相交且即可求解.
（3）由两直线重合且即可求解.
【详解】
（1）因为与相交，所以，所以且．
故当且时，与相交．
（2）因为，
所以
解得．
故当时，．
（3）因为与重合，
所以解得．
故当时，与重合．
【点睛】
本题考查了由两直线的位置关系，求参数值，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
52．或或
【解析】
【分析】
根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可；也可以使用平行直线斜率相等或相等向量的方法解决该问题。
【详解】
设三点坐标为、、， ，
当是平行四边形时，有，
当是平行四边形时，有，
当是平行四边形时，有，
该平行四边形的第四个顶点的坐标是或或．
53．（1），；（2）.
【解析】
（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；
（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.
【详解】
（1）联立直线方程解得，交点坐标，
当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，
当直线不过原点时，设其方程为，过得，
所以直线方程
综上：满足题意的直线方程为，
（2）直线与，不能构成三角形
当与平行时：
当与平行时：
当三条直线交于一点，即过点，则
综上所述实数的值为
【点睛】
此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.
54．m的值为，，2或3
【解析】
【分析】
根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
【详解】
①若为直角，则，所以，即，解得；
②若为直角，则，所以，即，
解得；
③若为直角，则，所以，即，
解得．
综上，m的值为，，2或3．
55．.
【解析】
【分析】
由四边形为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】
设，因为四边形为平行四边形，可得，
所以，可得，解得，
所以顶点的坐标为.
故答案为：.