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初中数学中考复习 专题23圆的有关性质（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【原卷版】
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备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题23圆的有关性质（共38题）
一．选择题（共17小题）
1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆心角定理计算即可．
【解析】连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠COE＝×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝×68°＝34°，
故选：C．
2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到∠A的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠BOD的度数，然后根据OB＝OD，即可得到∠OBD的度数．
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°，
∴∠A＝70°，
∵∠BOD＝2∠A＝140°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴∠OBD＝20°，
故选：B．
3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
【解析】如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．
【解析】作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．
5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解析】连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解析】∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故选：A．
7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
【解析】∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
【解析】如图，连接OB，
∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝＝44°．
故选：A．
9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．
【解析】四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解析】连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴AE＝AD＝2，
∵CE是直径，
∴∠EAC＝90°，
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
∴EC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
故选：D．
11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．
【解析】∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．
【解析】∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
14．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
15．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
【解析】方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解析】∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
【解析】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故选：B．
二．填空题（共14小题）
18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 100° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解析】由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故答案为：100°．
19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为 （结果保留π）．
【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．
【解析】∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，
∴+的长度＝×2π×1＝，
故答案为：π．
20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 144° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解析】∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．
【解析】∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 120 度．
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．
【解析】∵∠ADC是所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为 120° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解析】由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解析】如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM＝AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为rcm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
由垂径定理得：AM＝DM＝AD＝6（cm），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
故答案为：7.5．
26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ 70 °．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 30° ．
【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．
【解析】∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解析】连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．
29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解析】如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 2 ．
【分析】连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解．
【解析】连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 33792 千米．
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解析】作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×cosB＝6400×0.88≈5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π•BK
＝2×3×5632
≈33792（千米）．
故答案为：33792．
三．解答题（共7小题）
32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解析】（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠OBD＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解析】（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．
求证：（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE．
【分析】（1）根据等式的性质可得：，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；
（2）根据两角相等可证明两三角形相似．
【解析】证明：（1）∵＝，
∴，
∴AC＝BD；
（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE．
35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
【分析】（1）证明四边形DEGF是平行四边形，可得结论；
（2）当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．证明OJ∥AC，可得结论．
【解析】（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，
∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，
∵D，C，F共线，
∴G，B，E共线，
∴DF∥EG，DF＝GE，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴EF与BC互相平分．
当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，
∴EG＝2GF，
∴∠GEF＝30°，
∴θ＝90°﹣30°＝60°；
（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．
理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．
∵四边形BCFG是菱形，
∴∠G＝∠FCO＝90°，
∵EF与BC互相平分，
∴OC＝OB，
∴CF＝BC，
∴FC＝2OC，
∴tan∠FOC＝tan∠ABC，
∴∠ABC＝∠FOC，
∴OJ∥AB，
∵OC＝OB，
∴CJ＝AJ，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠OJC＝90°，
∴EF垂直平分线段AC．
36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝＝，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝．
37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DAB＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题23圆的有关性质（共38题）
一．选择题（共17小题）
1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆心角定理计算即可．
【解析】连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠COE＝×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝×68°＝34°，
故选：C．
2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到∠A的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠BOD的度数，然后根据OB＝OD，即可得到∠OBD的度数．
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°，
∴∠A＝70°，
∵∠BOD＝2∠A＝140°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°，
∴∠OBD＝20°，
故选：B．
3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
【解析】如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．
【解析】作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，
∴AB＝8，
∴AD＝BD＝4，
∴CD＝2，
∴OC＝＝＝，
故选：D．
5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解析】连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解析】∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故选：A．
7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
【解析】∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
【解析】如图，连接OB，
∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝＝44°．
故选：A．
9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．
【解析】四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解析】连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴AE＝AD＝2，
∵CE是直径，
∴∠EAC＝90°，
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
∴EC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
故选：D．
11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．
【解析】∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．
【解析】∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
14．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．
【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
15．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
【解析】方法一：连接OD，如图所示，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠OAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝110°，
故选：C．
16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：＝，最后由圆周角定理可得结论．
【解析】∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故选：C．
17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
【解析】∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cos∠OCE＝．
故选：B．
二．填空题（共14小题）
18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 100° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解析】由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故答案为：100°．
19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为 （结果保留π）．
【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．
【解析】∵∠BAE＝65°，
∴∠BOE＝130°，
∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，
∴+的长度＝×2π×1＝，
故答案为：π．
20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 144° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解析】∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．
【解析】∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 120 度．
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．
【解析】∵∠ADC是所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为 120° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
【解析】由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解析】如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM＝AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为rcm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
由垂径定理得：AM＝DM＝AD＝6（cm），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
故答案为：7.5．
26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ 70 °．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 30° ．
【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．
【解析】∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解析】连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．
29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解析】如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 2 ．
【分析】连接OA，OC，由圆内接四边形可求得∠ABC的度数，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，即可证得△OAC为等边三角形，进而可求解．
【解析】连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 33792 千米．
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解析】作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×cosB＝6400×0.88≈5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π•BK
＝2×3×5632
≈33792（千米）．
故答案为：33792．
三．解答题（共7小题）
32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解析】（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠OBD＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解析】（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．
求证：（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE．
【分析】（1）根据等式的性质可得：，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；
（2）根据两角相等可证明两三角形相似．
【解析】证明：（1）∵＝，
∴，
∴AC＝BD；
（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE．
35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
【分析】（1）证明四边形DEGF是平行四边形，可得结论；
（2）当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．证明OJ∥AC，可得结论．
【解析】（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，
∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，
∵D，C，F共线，
∴G，B，E共线，
∴DF∥EG，DF＝GE，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴EF与BC互相平分．
当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，
∴EG＝2GF，
∴∠GEF＝30°，
∴θ＝90°﹣30°＝60°；
（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．
理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．
∵四边形BCFG是菱形，
∴∠G＝∠FCO＝90°，
∵EF与BC互相平分，
∴OC＝OB，
∴CF＝BC，
∴FC＝2OC，
∴tan∠FOC＝tan∠ABC，
∴∠ABC＝∠FOC，
∴OJ∥AB，
∵OC＝OB，
∴CJ＝AJ，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠OJC＝90°，
∴EF垂直平分线段AC．
36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝＝，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝．
37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DAB＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．
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