初中数学中考复习 专题23 平行四边形（解析版）

专题23  平行四边形问题

1.平行四边形定义

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。

2.平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等；

（2）平行四边形的对角相等；

（3）平行四边形的对角线互相平分。

3.平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah

【例题1】（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．

【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，

∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴∠E＝70°．

【对点练习】（2019•山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

【答案】A

【解析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD

∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵OM＝AC，

∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形．

【例题2】（2020•凉山州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于　16　．

【答案】16．

【解析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，

∵OE∥AB，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AB＝2OE，AD＝2AE，

∵△AOE的周长等于5，

∴OA+AE+OE＝5，

∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，

∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，

∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；

【对点练习】（2019•湖北武汉）如图所示，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　   　．

【答案】21°．

【解析】设∠ADE＝x，

∵AE＝EF，∠ADF＝90°，

∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，

∵AE＝EF＝CD，

∴DE＝CD，

∴∠DCE＝∠DEC＝2x，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCA＝x，

∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，

∴2x＝63°﹣x，

解得：x＝21°，

即∠ADE＝21°。

【例题3】（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若OE，求EF的长；

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【答案】见解析。

【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长；

（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．

【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AO＝CO，

∴∠FCO＝∠EAO，

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，

∴EF＝2OE＝3；

（2）四边形AECF是菱形，

理由：∵△AOE≌△COF，

∴AE＝CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

【对点练习】(湖南省永州市)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

 (1)求证：BE=CD．

 (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】见解析。

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB．又AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE． ∴∠BAE=∠AEB． ∴BE=AB．又AB=CD，∴BE=CD．

（2）∵BE=AB，BF⊥AE，∴AF=EF，∵AD∥BE，∴∠D=∠DCE，∠DAF=∠FEC，

 ∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴S平行四边形ABCD=S△ABE．∵BE=AB，∠BEA=60°，

∴△ABE为等边三角形．

∴S△ABE=AE·BF=×4×4sin60°=×4×4×=．

∴S平行四边形ABCD=．

一、选择题

1．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC 

C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD

【答案】C

【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．

【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；

∵AB＝DC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；

∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.

2．（2020•临沂）如图所示，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（　　）

A．S1+S2       B．S1+S2 

C．S1+S2      D．S1+S2的大小与P点位置有关

【答案】C

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．

【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∴S＝BC•EF，，，

∵EF＝PE+PF，AD＝BC，

∴S1+S2

3．（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2

【答案】D

【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．

【解析】∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，

∴Rt△BCF中，EFBC＝4，

∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，

∴F是AG的中点，

∴EF是梯形ABCG的中位线，

∴CG＝2EF﹣AB＝3，

又∵CD＝AB＝5，

∴DG＝5﹣3＝2

4.（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF

【答案】B．

【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择．

∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DEAC．

A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．

C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．

二、填空题

5．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是　   　．

【答案】26°．

【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，

∵AD＝AE＝BE，

∴BC＝AE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，

∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，

∴∠ACB＝2∠CAB，

∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，

∴∠BAC＝26°

6．（2020•天津）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　    　．

【答案】．

【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，

∵AD＝3，AB＝CF＝2，

∴CD＝2，BC＝3，

∴BF＝BC+CF＝5，

∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，

∴BF＝BE＝5，DG＝EG，

延长CG交BE于点H，

∵DC∥AB，

∴∠CDG＝∠HEG，

在△DCG和△EHG中，

，

∴△DCG≌△EHG（ASA），

∴DC＝EH，CG＝HG，

∵CD＝2，BE＝5，

∴HE＝2，BH＝3，

∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，

∴△CBH是等边三角形，

∴CH＝BC＝3，

∴CGCH

7．（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是      　．

【答案】9．

【解析】∵E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，

∴DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，

∴OE= CD，

∵△BCD 的周长为 18，

∴BD+DC+B=18，

∴△DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9

8.（ 2019河南省）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.

【答案】110°

【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，

∴∠BAE=∠1=20°

∵BE⊥AB

∴∠ABE=90°

∵∠2是△ABE的外角

∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案为110°.

 9.(2019浙江金华)如图,已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是      .

【答案】80°

【解析】延长DE交AB于F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定∠AED的度数．

延长DE交AB于F，因为AB∥CD，BC∥DE，所以四边形BCDF为平行四边形，因为∠C＝120°，所以∠BFD＝120°，所以∠AFD＝60°，又∠A＝20°，所以∠AED＝60°+20°＝80°，故答案为80° .

三、解答题

10．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．

【答案】见解析。

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；

（2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．

【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵O是AC的中点，

∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，

∴AO：AC＝1：2，

∵∠EAO＝∠DAC，

∴△AEO∽△ADC，

∵△AOE的面积为2，

∴△ADC的面积为8，

∴平行四边形ABCD的面积为16．

11．（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

【答案】见解析。

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；

（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥EF，

∵DE＝BF，

∴OE＝OF，

又∵OA＝OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

12．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．

（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；

（2）求证：AE＝CF．

【答案】见解析。

【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．

（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．

【解答】（1）解：∵AE⊥BD，

∴∠AEO＝90°，

∵∠AOE＝50°，

∴∠EAO＝40°，

∵CA平分∠DAE，

∴∠DAC＝∠EAO＝40°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∠ACB＝∠DAC＝40°，

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE＝CF．

13．（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BEBC，FDAD，连接BF，DE．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

【答案】见解析。

【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BEBC，FDAD，

∴BE＝DF，

∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

14．（2020•淮安）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．

（1）求证：△AOF≌△COE；

（2）连接AE、CF，则四边形AECF　　（填“是”或“不是”）平行四边形．

【答案】见解析。

【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；

（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA）

（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：

由（1）得：△AOF≌△COE，

∴FO＝EO，

又∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形；

故答案为：是．

15.（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．

求证：AD＝BE．

【答案】见解析。

【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．

【解答】证明：∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠C．

∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD＝BE．