初中数学中考复习 专题10：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之中位线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

这是一份初中数学中考复习 专题10：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之中位线-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题10：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之中位线  一、单选题1．如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（        ）A．16 B．12 C．8 D．62．平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是（   ）A． B． C． D．  二、填空题3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____．4．梯形ABCD中，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是______________．5．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________．6．如图，将绕点按顺时针方向旋转90°到的位置，已知斜边, , 设的中点是,连接，则_____．7．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_______．8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____． 三、解答题9．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：．  10．如图所示，中，，于，为的中点，求证：.  11．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．  12．如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：．
参考答案1．D【解析】【分析】构造辅助线，求得，的长，利用三角形中位线定理证得,求得，从而求得阴影部分的面积．【详解】设菱形ABCD的对角线相交于G，∵AB=4，∠A=60°，∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C =60°，∴为边长为4的等边三角形，∴∠DCG=∠BCG=30，，∴，，，∴，，∵E、F 为边 BC、CD 的中点，∴EF∥BD，EF=BD=2，∴,∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，三角形中位的性质，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点．2．D【解析】【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．【点评】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3．13【解析】【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．【详解】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线∴∵∴∵∴∵∴在中，由勾股定理得故答案为：13．【点评】本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键．4．【解析】【分析】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为△AKC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【详解】连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，
又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，
∴EG+GF=(AD+BC)，
∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，
∴EG+GF=3，FE=，
∴△EFG的周长是3+=．
故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，作出常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．5．135°【解析】【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．【详解】解：连接BD，∵E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝2，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，∴∠ADB＝∠AFE＝45°，又∵BC＝5，CD＝3，∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．6．【解析】【分析】作MH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质可得HM的大小，又因为B′H=3，HM=4；计算可得AH的值，根据勾股定理可得AM的大小．【详解】作MH⊥AC于H，因为M为A′B′的中点，故HM=A′C，又因为A′C=AC==8，则HM=A′C=×8=4，B′H=3，又因为AB′=8-6=2，所以AH=3+2=5，AM=cm．故答案为：．【点评】根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答．7．4【解析】【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=AD=BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【详解】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=EF=FC=x，∴在Rt△BFP中，，即：，解得：，∴BC=2=4，故答案为：4．【点评】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．8．【解析】【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，当H、P、N'、Q四点共线时，MN+NP＝PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，则MN'＝QN'，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴PH＝，∵M点是BC的中点，∴BM＝MC＝CQ＝，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ＝ 的值最小，∴PQ的最小值为，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，故答案为．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定BM+MN取最小值时P与N的位置．9．证明见解析【解析】【分析】连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，根据三角形中位线定理即可得到PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，进而得出∠AHF=∠BGF．【详解】解：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，∵E、F分别是DC、AB边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，又∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∴∠AHF=∠BGF．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．10．见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，∴EF‖BC，BC=2EF，∴∠FEA=∠B=2∠A，在直角三角形ACD中，F是斜边BC的中点，∴DF=CF=AF，∴∠FDA=∠A，即有2∠FDA=∠FEA，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE，∴∠DFE=∠FDA，∴DE=EF，∴BC=2DE．【点评】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.11．（1）①详见解析；②；（2）BM= AF；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论．【详解】（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF==；（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．∵∠A=90°，∴FG=AF，∴2BM=AF，∴BM=AF．（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．∵Q为AP的中点，∴BQ=PR．∵CP=2，CR==，∴PR≥CR-CP=，∴BQ的最小值为．【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形中位线定理．作出恰当的辅助线是解答本题的关键．12．见解析【解析】【分析】连接、，交于点，根据三角形的中位线定理知，在菱形中，，易知，解直角三角形OBC知BO=BC∙sin60°=,从而得证．【详解】证明：如图，连接、，交于点，、分别是、的中点，，在菱形中，，，，，，．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质及解直角三角形，熟练掌握有一个角为60°的特殊菱形的性质是解题的关键．