初中数学中考复习 专题8 直角三角形的存在性问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

这是一份初中数学中考复习 专题8 直角三角形的存在性问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究，共16页。试卷主要包含了∴M；等内容，欢迎下载使用。
专题八：直角三角形的存在性问题探究
专题导例
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN可得△FMN，设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒（0≤x≤4）．求x为何值，△FMN为直角三角形。[来源:学科网]




【分析】：（1）定方向：△FMN已知，需要强化为直角三角形。
（2）定分类：∠MNF=90°；∠FMN=90°；∠MFN=90°三种情况。（几何法需要分类情况，代数法可以盲解）

（3）定解法：可以利用“三直角结构”构造相似，用几何法求解。也△FMN三边可以用勾股定理表示，可以用代数法表示；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（4）定结果：x 值汇总。




方法讲解
直角三角形存在性问题分析思路

（1）定方向：（1）构造类：无三角形构造成为直角三角形；（2）强化类：有三角形强化为直角三角形。
（2）定分类：（1）构造类以三个顶点为直角顶点分别构造；（2）强化类三个内角分别为90°分类。

（3）定解法：代数法求解（勾股定理在建立方程时才用）；几何法求解（难在找寻相似三角形）
（4）定结果：将结果汇总。

模型分析
（1）“两线一圆”模型
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为直角三角形.
（1）∠CAB=90°时，过点A作AB的垂线，此直线上所有的点均满足条件；
（2）∠CBA=90°时，过点B作AB的垂线，此直线上所有的点均满足条件；
（3）∠ACB=90°时，以AB为直径作圆，此圆上所有的点均满足条件.

“两线一圆”上所有的点C均满足△ABC为直角三角形，即满足“直角”条件的点C有无数个. 因此，题目会对点C再加上另外一个限定条件——例如还限定点C在坐标轴上或抛物线上，这样，点C的个数就只有几个.
典例剖析
类型一：“两线一圆”类问题
例1：已知点A(2,1),B(6,4)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.
分析：∠BAC=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作直线AE的垂线，垂足为F 由题可得：；∠ABC=90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点A作直线BM的垂线，垂足为N；∠ACB=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q由题可得：，可得：，由题可得：，则。
类型二：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题
例2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

第2题图
【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c的方程组，解方程组可得答案；
（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案．
类型三：构造相似来解决直角三角形存在性问题
例2：如图，直线与抛物线交于点A（0，1），B（4，3）两点。与轴交于点D。
⑴求直线和抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
【分析】：定方向：构造型直角三角形；
定分类：分别以顶点A、顶点B、顶点P构造直角三角形。



定解法：无角相似，几何求解；罗列三边长，代数求解。
专题突破
1.如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．




2.：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.

3.如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

5．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴l与x轴交于点D，P为对称轴l上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为圆心，BP为半径作⊙B，当直线AP与⊙B相切时，求点P坐标；
（3）在（1）中的抛物线上求点M，使得△ACM是以AC为直角边的直角三角形．

7.如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

专题八：直角三角形的存在性问题探究
导例答案：解：


情况一：当∠MNF=90°时；


情况二：当∠FMN=90°时，

无解
情形三：当∠MFN=90°时，


综上所述：x的值为
例1.（1）∠BAC=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作直线AE的垂线，垂足为F；
由题可得：，则，即
解得：，则

（2）∠ABC=90°时，过点B作x轴的垂线，垂足为M，过点A作直线BM的垂线，垂足为N；
由题可得：，则，即，
解得：，则
（3）∠ACB=90°时，过点A作x轴的垂线，垂足为P，过点B作x轴的垂线，垂足为Q
由题可得：，可得：，
设，则，则，解得：，则
综上所述：
例2.（1）由题意得，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n,得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3．∴M(－1，2)；
（2）设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
例3.（1）；
（2）情形一：∠BAP=90°；
易证：△POA∽△AOD；
;

情形二：∠ABP=90°；
易证：△AOD∽△PCB；
;

情形三：∠APB=90°；设P（a,0）
易证：△AOP∽△PCB；
;

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）[来
专题突破
1.（1）∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．
∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，BC＝AB＝5，∴点C的坐标为（5，﹣4）．
将A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（5，﹣4）代入y＝ax2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）∵EF∥OB，AD∥BC，∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，
∴△BOD∽△EFB，∴．
∵S△BOD＝4S△EBF，∴OD＝2BF．
∵AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝2，∴点D的坐标为（2，0），BF＝1．
设直线BD的解析式为y＝kx＋d（k≠0），
将B（0，﹣4），D（2，0）代入y＝kx＋d，得：
，解得：，∴直线BD的解析式为y＝2x﹣4．
当x＝1时，y＝2x﹣4＝﹣2，∴点E的坐标为（1，﹣2）．
（3）∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线．
设点P的坐标为（，m），
∵点B的坐标为（0，﹣4），点D的坐标为（2，0），
∴BP2＝（﹣0）2＋[m﹣（﹣4）]2＝m2＋8m＋，
DP2＝（﹣2）2＋（m﹣0）2＝m2＋，
BD2＝（2﹣0）2＋[0﹣（﹣4）]2＝20．
∵△BPD是以BD为斜边的直角三角形，
∴BP2＋DP2＝BD2，即m2＋8m＋＋m2＋＝20，
整理得：4m2＋16m＋5＝0，解得：， ，
∴抛物线的对称轴上存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形，点P的坐标为（，）或（，）．

2.在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，

①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.

3.（1）∵点A(－6，0)在抛物线y＝－x2＋bx＋8上，
∴0＝－×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b＝－．
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋8，令x＝0，得y＝8，∴C(0，8)；
（2）存在．如图①，连接EG，AG，过点G作GM⊥l，GN⊥x轴，垂足分别为M，N，

图①
∵EC∥x轴，∴EP＝CO＝8．把y＝8代入y＝－x2－x＋8，则8＝－x2－x＋8，解得x＝0(舍去)或x＝－
∴P(－2，0) ．∴AP＝AO－PO＝4．
(ⅰ)如图①，当∠AEG＝90°时，∵∠MEG＋∠AEP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，
∴∠MEG＝∠EAP．又∵∠APE＝∠EMG＝90°，
∴△EMG∽△APE．∴=．设点G(m，－m2－m＋8)(m＞0)，
则GN＝MP＝－m2－m＋8．∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，
MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m．
∴=＝，∴m＝－2(舍去)或m＝．∴G(，)；
(ⅱ)如图②，当∠EAG＝90°时，

图②
∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，
∴∠NAG＝∠AEP．∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE．∴=．
设点G(n，－ n2－n＋8)(n＞4)，∴GN＝n2＋n－8，AN＝AO＋ON＝6＋n．
∴＝．∴n＝－6(舍去)或n＝．∴G(，－) ．
综上，符合条件的G点的坐标为(，)或(，－)．
4.(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a．
∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)．
设直线AC的解析式为y＝px＋q，
把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．
如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y轴于M.

∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小．
∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小．易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.
当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0，3)．
(3)存在，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．
5．(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.
∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，
∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．
把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得
解得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.
如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0) ．则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，
由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.
又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．
②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，
∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.
分三种情况：
(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±．
∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；
(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．
(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，
∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．
综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．
6．解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，
∵直线AP与⊙B相切，
∴AP⊥BP，
∵DP垂直平分AB，即DP是△ABP斜边中线，
∴DP＝AB＝2，
∴P（1，2）或（1，﹣2）
（3）两种情况，设M（m，m2﹣2m﹣3），
如图2，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，作MN⊥x轴于点N，
∴∠MAN+∠CAO＝90°，∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠CAO＝∠AMN，
∵∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴△AOC∽△MNA，
∴＝，即＝，
解得：m1＝﹣1（舍），m2＝，
∴M（，），
如图3，过点C作CM⊥AC交抛物线于点M，作MN⊥y轴于点N，
∴∠ACO+∠OAC＝90°，∠ACO+∠NCM＝90°，
∴∠OAC＝∠NCM，
又∵∠AOC＝∠CNM＝90°，
∴△AOC∽△CNM，
∴＝，即，＝，
解得m1＝0，m2＝，
∴M（，﹣），
综上，在抛物线上存在点M（，）或（，﹣），使得△ACM是以AC为直角边的直角三角形．
7.（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝ ＝10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB ＝ ＝ ＝，∴ ＝，
∴QE＝（10﹣m），∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2＋3m；
②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2＋3m＝﹣（m﹣5）2＋，
∴当m＝5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋8的对称轴为x＝，D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ＝90°时，F1（，8），
当∠FQD＝90°时，则F2（，4），
当∠DFQ＝90°时，设F（，n），
则FD2＋FQ2＝DQ2，即＋（8﹣n）2＋＋（n﹣4）2＝16，解得：n＝6± ，
∴F3（，6＋），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6＋），F4（，6﹣）．