初中数学中考复习 专题08 二元一次方程组（原卷版）

专题08 二元一次方程组

知识点1：二元一次方程组的基本概念

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。

2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

知识点2：二元一次方程组的解法

5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

知识点3：二元一次方程组的应用

二元一次方程组解决实际应用题的基本步骤：

1.审题，搞清已知量和待求量，应用题类型规律分析数量关系；

2.考虑如何根据等量关系设元（未知数），列出方程组；

3.解方程组，得到答案；

4.检查和反思解题过程，检验答案是否符合题意。

重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题. 难点:二元一次方程组解决实际问题 

一、二元一次方程组的常见解法

二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．

1.代入法： 即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．

2.整体代入法：当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．

3.加减消元法： 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．

4.整体运用加减法：即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．

二、列二元一次方程组应用题类型及其依据

类型1.行程问题

1.相遇问题：快行距+慢行距=原距，S1+S2=S

2.追及问题：快行距—慢行距=原距，S1-S2=S

3.航行问题：

（1）顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

（2）逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度

（3）顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水流（风）速度

（4）顺水（风）速度+逆水（风）速度=2倍船速度

（5）顺水的路程=逆水路程

特别重要：行程问题三个量的关系

设路程为s、速度为v、时间为t，则s=vt, v=s/t, t=s/v。

类型2.工程问题

工程问题涉及的三个量是工作总量A、工作时间t和工作效率W。三个量关系为：

工作总量=工作时间×工作效率。A=Wt,W=A/t,t=A/W

特别重要：当工作总量未给出具体数量时，常设工作总量为1.

类型3.商品销售利润问题

1.打x折后价格=打折前价格×x/10

2.利润=售价-进价

3.利润率=（售价-进价）/进价×100％。

类型4.银行储蓄问题

1.免税利息=本金×利率×时间

2.税后利息=本金×利率×时间-本金×利率×时间×税率

类型5.增长率问题

1.原量×（1+增长率）=增长后的量

2.原量×（1+减少率）=减少后的量

类型6.和差倍分问题

1.较大量=较小量+多余量

2.总量=倍数×倍量

类型7.数字问题

1.首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关问题的概念、特征及其表示方法。

2.一个三位数，百位数是a，十位数是b, 个位数是c,则这个三位数可以表示为：

100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.

类型8.浓度问题

浓度问题涉及的三个量是溶液、浓度和溶质。三个量关系为：

溶液×浓度=溶质。

类型9.年龄问题

人与人的岁数是同时增长的。

类型10.几何问题

掌握几何图形（体）的性质、周长、面积（体积）等计算公式。

类型11.盈亏问题

从盈亏两个角度把握事物的总量。

类型12.产品配套问题

加工总量成正比。

【例题1】（2020•天津）方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【例题2】（2020•绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是　　（写出一个即可）．

【例题3】（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

 《二元一次方程组》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）

A．①×2﹣②    B．②×（﹣3）﹣①  C．①×（﹣2）+②    D．①﹣②×3

2．（2020•绥化）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆．根据题意，得（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2020•齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

4．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

5．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

7．（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）

A．12种 B．15种 C．16种 D．14种

8．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）

A．120km B．140km C．160km D．180km

二、填空题（每空3分，共30分）

9．（2020•天水）已知a+2b，3a+4b，则a+b的值为　　．

10．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为　   　．

11．（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为　    　．

12．（2020•南充）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔　  　支．

13．（2020•南京）已知x、y满足方程组，则x+y的值为　  　．

14．（2020•北京）方程组的解为　    　．

15．（2020•泰安）方程组的解是　  　．

16．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　　．

17．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　　尺．

18．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　　次．

三、解答题（9个小题，共66分）

19．（6分）（2020•台州）解方程组：

20．（6分）（2020•连云港）解方程组

21．（6分）（2020•乐山）解二元一次方程组：

22．（6分）（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．

（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；

（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．

23．（9分）（2020•扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　　，x+y＝　　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　　．

24．（8分）（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？

25．（8分）（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%．求a的值．

26.（8分）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

27.（9分）在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？