2022-2023学年北京市西城区高一上学期数学期末试题（解析版）

2022-2023学年北京市西城区高一上学期数学期末试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，再求并集即可.

【详解】因为，

所以.

故选：A

2．已知命题p：x <1，，则为

A．x ≥1, ＞ B．x <1,

C．x <1,  D．x ≥1,

【答案】C

【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，

可知命题的否定为，故选C．

3．如图，在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量运算得.

【详解】由图知，

故选：B.

4．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值判断AB，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C，由特殊值及对数的意义判断D.

【详解】当时，，故A错误；

当时，，故B错误；

由，因为为增函数，所以，故C正确；

当时，无意义，故不成立，故D错误.

故选：C

5．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式移项通分得到，再转化为二次不等式即可得答案.

【详解】，即，解得：，

不等式的解集为，

故选：C.

6．正方形的边长为1，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.

【详解】在正方形中，如图所示,

，

故选：D.

7．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（    ）

A．20 B． C．40 D．400

【答案】A

【分析】根据均值不等式求解即可.

【详解】因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以当C最小时，s的值为20.

故选：A

8．设，则（    ）

A．8 B．11 C．12 D．18

【答案】D

【分析】计算，，代入计算即可.

【详解】，则，

，

故选：D.

9．己知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断.

【详解】若，则，但此时不存在，使得，

故不存在，使得，故前者无法推出后者，

若存在，使得，则共线且同方向，

此时，故后者可以推出前者，

故“”是“存在,使得的必要不充分条件”，

故选：B.

10．近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：（是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是（参考数据：）（    ）

A． B． C．0.24 D．0.48

【答案】A

【分析】分别代入两点坐标得，，两式相比得结合对数运算得，解出值即可.

【详解】当时，①，

当时，②，

①比②得，

，

故选：A.

二、填空题

11．函数的定义域是_____________．

【答案】

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

所以该函数的定义域为，

故答案为：

12．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是________________．

【答案】60

【分析】首先计算频率为，再乘以总人数即可.

【详解】由频率分布直方图可知每周自习时间不少于20小时的频率为,

故200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为人.

故答案为：60.

13．写出一个同时满足下列两个条件的函数_____________．

①对，有；

②当时，恒成立．

【答案】(答案不唯一)

【分析】由满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.

【详解】解：因为由满足的两个条件可以联想到对数函数，

当时，

对，,满足条件①；

当时，，满足条件②.

故答案为：(答案不唯一)

14．函数的定义域为，且，都有，给出给出下列四个结论：

①或；

②一定不是偶函数；

③若，且在上单调递增，则在上单调递增；

④若有最大值，则一定有最小值．

其中，所有正确结论的序号是______________．

【答案】①③

【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.

【详解】因为，都有，

所以，即或，故①正确；

不妨取，则，即恒成立，所以是偶函数，故②错误；

设，且，则，所以，

即，所以，即在上单调递增，故③正确；

不妨取，则满足，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.

故答案为：①③

三、双空题

15．已知函数，若，则的解集为___________；若，，则a的取值范围为_____________．

【答案】     或；     .

【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得到.

【详解】当时，.

当时，由可得，解得；

当时，由可得，解得.

综上所述，的解集为或.

“若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足.

当时，恒成立，因为当时，单调递增，所以应满足，即；

当时，恒成立，则.

则由“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足可得，.

故答案为：或；.

四、解答题

16．某射手打靶命中9环、10环的概率分别为0.25，0.2．如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响．

(1)求该射手两次共命中20环的概率；

(2)求该射手两次共命中不少于19环的概率．

【答案】(1)0.04

(2)0.14

【分析】（1）根据相互独立事件概率的乘法公式即可求解，

（2）分类讨论，结合独立事件的概率公式即可求解.

【详解】（1）两次共命中20环,意味着两次都是命中10环，根据相互独立事件的概率公式可得概率为：

（2）第一次9环第二次10环的概率为,

第一次10环第二次9环的概率为,

两次都是10环的概率为，

所以两次共命中不少于19环的概率为

17．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明函数在上是减函数；

(3)写出函数在上的单调性（结论不要求证明）．

【答案】(1)为奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)函数在上的单调递减

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；

（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；

（3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.

【详解】（1）解：为奇函数，理由如下：

函数，定义域为，所以，

则，所以为奇函数.

（2）证明：任取，且，则

，

因为，所以

所以，即，

故函数在上是减函数.

（3）解：由（1）知函数为上的奇函数，由（2）知函数在上是单调递减

所以函数在上的单调递减.

18．甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示

(1)计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；

(2)从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；

(3)甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

【答案】(1)4.82

(2)

(3)甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，

乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.

【分析】（1）利用平均数公式计算即可；

（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可

（3）由表中数据分析波动性即可得结论.

【详解】（1）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：

.

（2）列表：

由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，

这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，

故所求概率为：

（3）从表格数据分析可得：

甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，

乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.

19．函数，其中．

(1)若，求的零点；

(2)若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，即可求解零点，

（2）令得，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）当时，，令，则，故，

所以的零点为.

（2）令，则，，故，

由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，

所以的取值范围为

20．某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量p（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为．

(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？

(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

【答案】(1)第10天的销售利润最大,最大值是1250元.

(2),且.

【分析】（1）通过计算得，根据二次函数最值即可得到答案；

（2）计算，根据题意得到不等式， 且对于均成立以及，最后取交集即可.

【详解】（1）设第日的销售利润为，则                                             

.

，

当时，.

所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.

（2）设捐赠之后第日的销售利润为，则

.

依题意，应满足以下条件：

①；

②，即；

③对于均成立，即.

综上，且.

21．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．

性质1：对任意，有；

性质2：对任意，有．

(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；

①；     ②；

(2)若是函数的“区间”，求m的取值范围；

(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．

【答案】(1)①是，②不是；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；

（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；

（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.

【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，

对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，

不是函数的“区间”.

（2）记， ，注意到，

因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.

当时，在上单调递增，且，

所以不包含于，不合题意；

当时，，符合题意；

当时，，所以，不合题意.

综上，.

（3）对于任意区间，记，

依题意，在上单调递减，则.

因为，所以，

即S的长度大于的长度，故不满足性质①.

因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即，

即只需存在使得，或存在使得.

因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" .

记，先证明函数有唯一零点；

因为在上单调递减，所以在上单调递减.

若，则为的唯一零点；

若，则，即，

由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；

若，则，即，

由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；

综上，函数有唯一零点，即，

已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.

【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.