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初中数学中考复习 课时20 二次函数的应用课件PPT
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这是一份初中数学中考复习 课时20 二次函数的应用课件PPT，共40页。
考点一 抛物线型问题【主干必备】
【微点警示】 解决抛物线问题应注意两点:(1)点的坐标与线段长度的转化.(2)自变量取值范围的确定.
【核心突破】【例1】(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方
向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.世纪金榜导学号(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=- ,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- (x-3)2+5(0
(3)当x=0时,y=- (x-3)2+5= .设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- x2+bx+ ,∵该函数图象过点(16,0),∴0=- ×162+16b+ ,解得:b=3,
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- x2+3x+ = ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米.
【明·技法】抛物线型问题解题步骤1.建立平面直角坐标系:如果题目没有给出平面直角坐标系,则根据题意,建立恰当的坐标系,建系的原则一般是把顶点作为坐标原点.2.设函数解析式:根据所建立的坐标系,设出解析式.
3.求解析式:依据实际问题中的线段的长,确定某些关键点的坐标,代入函数解析式,求出待定系数,确定函数解析式.4.解决实际问题:把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标),求其纵坐标(或横坐标),再转化为线段的长,解决实际问题.
【题组过关】1.(2018·绵阳中考)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2 m,水面宽度增加 m.
2.(2018·滨州中考)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:世纪金榜导学号
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?略
考点二 最值问题【主干必备】
【微点警示】 探究实际问题中的最值时,切记二次函数图象顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内,若在,就取此时的函数值为最值,否则要按对称轴的一侧的增减性确定其最值.
【核心突破】【例2】某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售量为y个.
(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数关系式.(2)设商户每周获得的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5 200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?
【自主解答】(1)y=160+ ×20,即y=10x+160.(2)w=(30-x)(10x+160)=-10(x-7)2+5 290.∵x为偶数,∴当x=6或8时,w取最大值5 280.当x=6时,销售单价为80-6=74(元);
当x=8时,销售单价为80-8=72(元).∴当销售单价定为74元或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5 280元.
(3)∵w=-10(x-7)2+5 290,∴当w=5 200元时,-10(x-7)2+5 290=5 200.解得x1=10,x2=4.∵销售量y=10x+160随x的增大而增大,∴当x=4时,进货成本最小.
当x=4时,销售量y=10x+160=200,此时进货成本为200×50=10 000(元).答:他至少要准备10 000元进货成本.
【题组过关】1.(2018·沈阳中考)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=________m时,矩形ABCD的面积最大.世纪金榜导学号
2.(2018·江西中考)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.世纪金榜导学号
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.略
考点三 二次函数的综合应用【主干必备】
【核心突破】【例3】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).(1)求抛物线的解析式.(2)①如图,若D是抛物线的顶点,经过点C,D两点的直线与x轴交于点E,若点F是抛物线上一点,以A,C,E,F为顶点的四
边形是平行四边形时,求点F的坐标; ②Q是直线AF上方的抛物线上一动点,求△AFQ的最大面积和此时Q点的坐标;
③点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点G,使以A,F,G,H四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点G(H)坐标;若不存在,请说明理由.【自主解答】略
【明·技法】1.因动点产生的三角形问题(1)坐标优先,不知道的坐标以线段表示,最后再求坐标.(2)找到相似三角形中不变的角.(3)求坐标的两种方法:一是用相似(利用成比例线段),二是用函数.
2.因动点产生的平行四边形问题(1)观察已知根据几个点求平行四边形.(2)若已知三个点,则以对角线来判断要求的点.(3)若已知两个点,其余两点都是动点,则考虑两点的连线是平行四边形的对角线或是平行四边形的边来分类讨论.
3.因动点产生的面积问题(1)观察图形是否有一边与坐标轴平行或重合于一个三角形.(2)割补四边形或多边形.
【题组过关】 (2018·白银中考)如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴交于点A,B(3,0),点P是直线BC上方抛物线上一动点.世纪金榜导学号
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式.(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C,若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
【解析】(1)∵y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),B(3,0),∴ 解得: ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)如图1,∵四边形POP′C为菱形,
∴PO=PC,∴点P在CO的垂直平分线上.而CO的中点坐标是 ,所以点P的纵坐标是 .当y= 时, =-x2+2x+3,解得:x=1± ,∵点P在直线BC上方,
考点一 抛物线型问题【主干必备】
【微点警示】 解决抛物线问题应注意两点:(1)点的坐标与线段长度的转化.(2)自变量取值范围的确定.
【核心突破】【例1】(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方
向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.世纪金榜导学号(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=- ,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- (x-3)2+5(0
(3)当x=0时,y=- (x-3)2+5= .设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- x2+bx+ ,∵该函数图象过点(16,0),∴0=- ×162+16b+ ,解得:b=3,
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=- x2+3x+ = ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米.
【明·技法】抛物线型问题解题步骤1.建立平面直角坐标系:如果题目没有给出平面直角坐标系,则根据题意,建立恰当的坐标系,建系的原则一般是把顶点作为坐标原点.2.设函数解析式:根据所建立的坐标系,设出解析式.
3.求解析式:依据实际问题中的线段的长,确定某些关键点的坐标,代入函数解析式,求出待定系数,确定函数解析式.4.解决实际问题:把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标),求其纵坐标(或横坐标),再转化为线段的长,解决实际问题.
【题组过关】1.(2018·绵阳中考)如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降2 m,水面宽度增加 m.
2.(2018·滨州中考)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x,请根据要求解答下列问题:世纪金榜导学号
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是多少?(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?略
考点二 最值问题【主干必备】
【微点警示】 探究实际问题中的最值时,切记二次函数图象顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内,若在,就取此时的函数值为最值,否则要按对称轴的一侧的增减性确定其最值.
【核心突破】【例2】某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售量为y个.
(1)直接写出销售量y(个)与降价x(元)之间的函数关系式.(2)设商户每周获得的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5 200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?
【自主解答】(1)y=160+ ×20,即y=10x+160.(2)w=(30-x)(10x+160)=-10(x-7)2+5 290.∵x为偶数,∴当x=6或8时,w取最大值5 280.当x=6时,销售单价为80-6=74(元);
当x=8时,销售单价为80-8=72(元).∴当销售单价定为74元或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5 280元.
(3)∵w=-10(x-7)2+5 290,∴当w=5 200元时,-10(x-7)2+5 290=5 200.解得x1=10,x2=4.∵销售量y=10x+160随x的增大而增大,∴当x=4时,进货成本最小.
当x=4时,销售量y=10x+160=200,此时进货成本为200×50=10 000(元).答:他至少要准备10 000元进货成本.
【题组过关】1.(2018·沈阳中考)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=________m时,矩形ABCD的面积最大.世纪金榜导学号
2.(2018·江西中考)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.世纪金榜导学号
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.略
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边形是平行四边形时,求点F的坐标; ②Q是直线AF上方的抛物线上一动点,求△AFQ的最大面积和此时Q点的坐标;
③点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点G,使以A,F,G,H四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点G(H)坐标;若不存在,请说明理由.【自主解答】略
【明·技法】1.因动点产生的三角形问题(1)坐标优先,不知道的坐标以线段表示,最后再求坐标.(2)找到相似三角形中不变的角.(3)求坐标的两种方法:一是用相似(利用成比例线段),二是用函数.
2.因动点产生的平行四边形问题(1)观察已知根据几个点求平行四边形.(2)若已知三个点,则以对角线来判断要求的点.(3)若已知两个点,其余两点都是动点,则考虑两点的连线是平行四边形的对角线或是平行四边形的边来分类讨论.
3.因动点产生的面积问题(1)观察图形是否有一边与坐标轴平行或重合于一个三角形.(2)割补四边形或多边形.
【题组过关】 (2018·白银中考)如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴交于点A,B(3,0),点P是直线BC上方抛物线上一动点.世纪金榜导学号
(1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式.(2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C,若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.
【解析】(1)∵y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),B(3,0),∴ 解得: ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)如图1,∵四边形POP′C为菱形,
∴PO=PC,∴点P在CO的垂直平分线上.而CO的中点坐标是 ,所以点P的纵坐标是 .当y= 时, =-x2+2x+3,解得:x=1± ,∵点P在直线BC上方,
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