2023北京朝阳区高三上学期期末考试数学含答案

北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

数    学

2023.1

（考试时间120分钟   满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集，集合，则

 （A）       （B）     

（C）          （D）

（2）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是

（A）                          （B）     

（C）                          （D）

（3）函数的零点的个数为

（A）           （B）           （C）            （D）

（4）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为

（A） （B）        （C） （D）

（5）在中，“”是“为等腰三角形”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件  （D）既不充分也不必要条件

（6）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则的最大值为

（A）                               （B）           

（C）                                （D）

（7）已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于

 （A）

（B）

 （C）

（D）

（8）年月日，长征五号遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的关系满足， ,,之间的关系如图所示，则下列结论正确的是

（A）当，时，

（B）当，时，

（C）当，时，

（D）当，时，

（9）已知,,是单位圆上不同的三点，，则的最小值为

（A） （B）          （C） （D）

（10）在数列中，，，若存在常数，对任意的，都有成立，则正数的最大值为

（A） （B）            （C） （D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每题5分，共25分。

（11）在的展开式中，常数项为       ．（用数字作答）

（12）已知等差数列的公差，，且,,成等比数列，则       ；其前项和的最大值为       ．

（13）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为       ．

（14）抛物线:的准线的方程为       ．若点是抛物线上的动点，与轴交于点，则(是坐标原点)的最大值为       ．

（15）如图，在棱长为的正方体中，,分别为,的中点，点在正方体的表面上运动，满足.

给出下列四个结论：

①     点可以是棱的中点；

②     线段长度的最小值为；

③     点的轨迹是矩形；

④     点的轨迹围成的多边形的面积为.

其中所有正确结论的序号是       ．

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的最小值．

（17）（本小题13分）

跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共个班），规定每班人参加，其中人摇绳，人跳绳，在分钟内跳绳个数超过个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）：

高三（）班：，，，，，，，，，；

高三（）班：，，，；

高三（）班：，，，；

高三（）班：，，，，，．

假设用频率估计概率，且高三年级各班在分钟内的跳绳个数相互独立．

（Ⅰ）估计高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；

（Ⅱ）用表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计的数学期望；

（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，,分别为,的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

作为已知，求二面角的余弦值．

条件①：；

条件②：． 

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（19）（本小题15分）

已知椭圆的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于另一点，直线,分别与轴相交于点,．当时，求直线的方程．

（20）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若，证明：．

（21）（本小题15分）

已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若数列的前项为,,,，写出,,,的值；

（Ⅱ）证明：对任意的，均有；

（Ⅲ）证明：存在正整数，当时，．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B （2）A （3）C （4）D         （5）D

（6）A （7）B （8）C （9）C         （10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（ 11 ）                   （12）                 （13） 

（14）              （15）②③④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分） 

解：（Ⅰ）因为，

所以．

又因为，所以．

所以．

又因为，

所以．

（Ⅱ）因为，，

由余弦定理，得

．

因为，当且仅当时等号成立，

所以，解得． 

所以的最小值为．

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．

根据题中数据，高三（）班共训练次，跳绳个数超过个的共次．

所以估计为．

（Ⅱ）设事件为“高三（）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，．

      根据题中数据，估计为，估计为，估计为．

根据题意，随机变量的所有可能取值为,,,,，且

；

；

；

；

．

所以，估计为；估计为；估计为；

估计为；估计为．

所以估计为．

（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（）班获得冠军的概率估计值最大．

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）取的中点,连接,.

  因为,分别是,的中点,

所以且.

又且，

　　　　　  所以且.

故四边形为平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）取中点，连接,.

在中，因为，所以.

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面.

故,.

又在正方形中， ,

所以,,两两垂直.

如图建立空间直角坐标，

设，

则,,,,.

所以，， .

 设平面的法向量为，则

即令，则,．于是．

又因为平面的一个法向量为，

所以．

选择条件①：．

则，即．

又，所以．

此时．

由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．

             选择条件②：．

则，得．

此时．

由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为面积的最大值为，所以．

         又因为，，所以，．

所以椭圆的方程为，离心率为．

（Ⅱ）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．显然∽．

          因为，所以．不合题意．

② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由得．

显然．

设，，且，则，．

直线的方程为．

令，得点的纵坐标，则．

直线的方程为．

同理可得．

所以

．

   所以．

   即．

   可得．

   化简得． 解得．

所以直线的方程为或．

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ）的定义域为．

由得．

令得．

因为，所以当时，；当时，．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）由，依题意，在上恒成立．

设，

则．

令，得（舍），．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减．

故．

又由得．

所以．

依题意需，即．

设，则易知在为增函数．

又，

所以对任意的，有；对任意的，有．

所以，即，解得．

所以的取值范围为．

（Ⅲ）由得，且,．

由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时取等号．

所以，．

两式相加得，即．

故．

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ），，，．

（Ⅱ）对任意，存在，使得．

若或，

则或又可以写成数列中某两项的和，如．

依此类推，存在，使得，

其中．

所以存在，使得，

且．

设，则当时，．

当时，

              ．

所以，对任意，均有，即．

（Ⅲ）令，其中．由（Ⅱ）知，.

    由

，

得．

所以，当时，.

由（Ⅱ）知

.

若，则．此时，当时，.

若不全为，

设，为中最小的正数，则．

当某个时，必有．否则，则.

设不超过的最大整数为，

则能表示的不同值的个数不超过．

所以，对每一个，只能取有限多个值.

所以存在，当时，为常数．

令，则当时，，即．

故．