江苏省南通市2022-2023学年高三数学上学期期末考试试卷（Word版附答案）

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这是一份江苏省南通市2022-2023学年高三数学上学期期末考试试卷（Word版附答案），共10页。

2022～2023学年高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2023．1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．
1. 已知集合A＝{x∈N|－1 A. {x|－1 C. {0，1} D. {1}
2. (＋i)(cos 60°－isin 60°)＝(　　)
A. －i B. 2
C. 1－i D. －i
3. 已知向量a＝(2，－3)，b＝(m，1)，若|a＋2b|＝|a－2b|，则m＝(　　)
A. B. － C. D. －
4. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200 L，若它的上、下底面边长分别为60 cm和40 cm，则它的深度约为(　　)
A. 115 cm　 B. 79 cm　 C. 56 cm　 D. 26 cm
5. 某城市地铁1号线从A站到D站共有6个站点．甲、乙二人同时从A站上车，准备在B，C，D站中的某个站点下车．若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为(　　)
A. B. C. D.
6. 已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数；　乙：f(x)的图象关于点(2，0)对称；
丙：f(22)＝0; 丁；f(x＋6)＝f(x).
如果有且仅有一个假命题，则该命题是(　　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M.若△MOF的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)
A. 2 B. C. D.
8. 已知a＝e－1.1, b＝，c＝1－ln (e－1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c C. a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是(　　)
A. 数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5
B. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
C. 若随机变量ξ服从二项分布B(8，)，则方差D(2ξ)＝6
D. 若随机变量X服从正态分布N(0，1)，则P(|X|＜)＝2P(X＞)
10. 已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则(　　)
A. ω＝2
B. 点(－， 0)是f(x)图象的一个对称中心
C. f(x)在(，)上单调递减
D. 将f(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到y＝cos (2x－)的图象
11. 过直线l：2x＋y＝5上一点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点分别为A, B，则(　　)
A. 若直线AB∥l，则|AB|＝
B. cos ∠APB 的最小值为
C. 直线AB过定点(，)
D. 线段AB的中点P的轨迹长度为π
12. 已知在三棱锥PABC中，PA⊥PB, AB⊥BC，PA＝PB＝1, AB＝BC, 设二面角PABC的大小为θ，M是PC的中点．当θ变化时，下列说法正确的是(　　)
A. 存在θ，使得PA⊥BC
B. 存在θ，使得PC⊥平面PAB
C. 点M在某个球面上运动
D. 当θ＝时，三棱锥PABC外接球的体积为π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. (x2－x－2)5的展开式中含x项的系数是________．
14. 若抛物线x2＝12y上的一点P到坐标原点O的距离为2，则点P到该抛物线焦点的距离为________．
15. 已知直线y＝ kx＋b是曲线y＝ln (1＋x)与y＝2＋ln x的公切线，则k＋b＝________．
16. 已知数列{an}满足an＋1>an>0，a＝an＋1＋an，则首项a1的取值范围是________；当a1＝时，记bn＝，且k 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝3n－4.
(1) 求证：{an＋3n－1}是等比数列；
(2) 设数列{an} 的前n项和为Sn，求Sn.

18. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3cos C＝2sin A sin B.
(1) 求的最小值；
(2) 若A＝，a＝，求c及△ABC的面积．

19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC.
(1) 求证：AB⊥BC；
(2) 若PA＝AB，M为PC上的点，当PC与平面ABM所成角的正弦值最大时，求的值．

20. (本小题满分12分)
2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7∶5战胜法国，夺得冠军，根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：① 两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；② 如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮)；③ 若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
(1) 假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列和数学期望．
(2) 现有甲、乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0∶0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
① 若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
② 求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6∶5获得冠军的概率．

21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a＞1≥b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，且当M为C的上顶点时，△MNF1的周长为8, 面积为.
(1) 求C的方程；
(2) 若A是C的右项点，设直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2，求证：k(＋)为定值．

22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln x－.
(1) 当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)有两个零点x1，x2(x1 2022～2023学年高三年级模拟试卷(南通)
数学参考答案及评分标准

1. C　2. D　3. A　4. B　5. C　6. D　7. B　8. C　9. AC　10. ABD　11. BC　12. ACD
13. －80　14. 5　15. 3－ln 2　16. 0＜a1＜2　－5
17. 解：(1) 由an＋1－2an＝3n－4，得an＋1＋3n＋2＝2(an＋3n－1).(2分)
因为a1＝1，所以an＋3n－1≠0，所以＝2，(4分)
所以{an＋3n－1}是等比数列，且公比为2.(5分)
(2) 由a1＝1，得a1＋3×1－1＝3，
所以an＋3n－1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－(3n－1).(7分)
所以Sn＝3(1＋21＋22＋…＋2n－1)－[2＋5＋8＋…＋(3n－1)]＝3×－＝3(2n－1)－.(10分)
18. 解：(1) 因为3cos C＝2sin A sin B，
所以－3(cos A cos B－sin A sin B)＝2sin A sin B，即sin A sin B＝3cos A cos B.
因为cos A cos B>0，所以tan A tan B＝3.(2分)
所以＝＝＝＋≥2＝，(4分)
当且仅当tan A＝tan B＝时，等号成立，所以的最小值为.(6分)
(2) 因为A＝，由(1)得，tan B＝＝3.
因为B∈(0，π)，所以sin B＝，cos B＝，(8分)
所以sin C＝sin (B＋)＝sin B＋cos B＝.
由正弦定理＝，得c＝＝5，(10分)
所以△ABC的面积为ac sin B＝××5×＝.(12分)
19. 解：(1) 如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E.

因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊂平面PBC＝PB，
AE⊂平面PAB，AE⊥PB，
所以AE⊥平面PBC.(2分)
因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC.
又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.
因为AE∩PA＝A，AE，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.(4分)
又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.(6分)
(2) 以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由底面ABCD是菱形，且AB⊥BC，得底面ABCD为正方形，
设PA＝AB＝1，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，－1)，
设＝λ＝(λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，则＝＋＝(λ，λ，1－λ).
设平面ABM的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
当0≤λ<1时，取n＝(0，1，－).(8分)
设PC与平面ABM所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，(10分)
当λ＝时，sin θ的最大值为.
当λ＝1时，sin θ＝＜，
所以PC与平面ABM所成角的正弦值为，此时＝.(12分)
20. 解：(1) 根据题意，门将每次扑中点球的概率p＝×＝.(2分)
(解法1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝Cp0(1－p)4＝；P(X＝1)＝Cp1(1－p)3＝；
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝；P(X＝3)＝Cp3(1－p)＝；
P(X＝4)＝Cp4(1－p)0＝.(4分)
所以X的概率分布列为

X
0
1
2
3
4
P(X)

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(5分)
(解法2)X～B(4，)，
所以X的概率分布列为

X
0
1
2
3
4
P(X)

(4分)
数学期望E(X)＝4×＝.(5分)
(2) ① 甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为()3×(1－)3＝.(7分)
② 点球在第7轮结束，且乙队以6∶5获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1∶0胜甲队. 当前5轮两队为4∶4时，乙队胜出的概率为[C()4××C()4×]×(×)×(×)＝.(9分)
当前5轮两队为5∶5时，乙队胜出的概率为[C()5×C)5]×(×)×(×)＝.(11分)
因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为＋＝.(12分)
21. 解：(1) 由题意得4a＝8，即a＝2，所以椭圆C：＋＝1.(1分)
当M为C的上顶点时，直线l为：＋＝1，联立方程组＋＝1，解得x＝， y＝.(3分)
又△MNF1的面积为，所以b·2c＋·2c＝，即7bc＝(c2＋4)，
所以7c·＝(c2＋4)，解得c2＝3或c2＝，于是b2＝1或b2＝.(5分)
因为0 (2) 椭圆C的右焦点为F2(，0)，直线l的方程为y＝k(x－)，
联立方程组消y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，(8分)
所以＋＝＋＝＋＝·(＋)
＝·＝·
＝(8－4)，所以k(＋)＝8－4为定值．(12分)
22. 解：(1) f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).
当a＝－1时，f(x)＝ln x＋，导函数f′(x)＝.(2分)
令f′(x)>0，得02＋；令f′(x)<0，得2－所以f(x)的单调递增区间为(0，2－)和(2＋，＋∞)，单调递减区间为(2－，1)和(1，2＋).(4分)
(2) 当a＝0时，f(x)只有1个零点，不符合题意；当a<0时，若0 若x>1，则f(x)>0，不符合题意，所以a>0.
当a>0时，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上均单调递增．
当x>1时，由f(ea)＝－<0，
f(e3a＋1)＝ln e3a＋1－＝
＞＝＞0，
所以f(x)在(1，＋∞)内有一个零点；
当0 所以f(x)在(0，1)上有一个零点，
所以a的取值范围是(0，＋∞).(8分)
因为f(x)的两个零点为x1，x2，
所以ln x1＝，即ln x1＋a＝，所以＝.
同理，＝，
所以＋＝＋＝[2－(＋)].(10分)
若f(x)＝0，即ln x－＝0，则ln －＝－ln x＋＝－f(x)＝0，
所以f(x)的两个零点x1，x2互为倒数，即x2＝，
所以＋＝x1＋>2(等号不成立)，所以2－(＋)<0，
所以＋＝＋＝[2－(＋)]＜0.
所以得证．(12分)