2022-2023学年浙江省杭州第十四中学高一上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年浙江省杭州第十四中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定义求交集即可.

【详解】由题，集合有公共元素 5，所以.

故选：A

2．已知点在幂函数的图像上，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.

【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，

由已知条件可得，得，因此，.

故选：A.

3．下列说法正确的是（    ）

A．命题“若，则”为假命题

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命“若实数x满足，则或”为假命题

D．命题“，使得”的否定是：“，均有”

【答案】A

【分析】解出判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，所以或，故命题为假命题，

所以A选项正确.

对于B选项，解方程可得或，

所以，“”是“”的充分不必要条件，B错；

对于C选项，解方程可得或，

所以，命题“若实数满足，则或”为真命题，C错；

对于D选项，命题“，使得”的否定是：

“，均有”，D错.

故选：A.

4．关于的不等式的解集为，则的最小值是（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】先求得不等式解集，再运用基本不等式求得最值.

【详解】

不等式的解集为，所以，

所以（当且仅当时取“=”）.

故选：A.

【点睛】利用基本不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.

【详解】解：因为函数的定义域为，，

所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；

当时，，当时，，排除C．

故选：D．

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较.

【详解】在为增函数，

，即，

为减函数，

，即，

，

故选：C.

【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.

7．已知函数，，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，先求出，则有，从而将原问题转化为方程在上有解，分离参数转化为求函数值域即可得答案.

【详解】解：因为，所以，

由，即，得，

因为，

所以原问题转化为方程在上有解，即在上有解，

因为，所以，

所以实数的取值范围是，

故选：C.

8．已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先利用换元法求出的解析式，依题意等价于，令，则在上单调递减，根据反比例函数的性质即可得到不等式，解得即可；

【详解】解：令，则，所以，即，因为时等价于，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.

故选：A

二、多选题

9．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数有3个单调区间 B．当时，

C．函数有最小值 D．不等式的解集是

【答案】BC

【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.

【详解】解：当时，，因为时，

所以，又因为是定义在上的偶函数

所以时，

即

如图所示：

对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；

对B，由上述分析知，当时，，故B正确；

对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；

对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.

故选：BC.

10．已知，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质判断即可．

【详解】解：由不等式的性质知

当，故A对；

若，则，故B错；

，

，

，故C对；

，故D错．

故选：AC．

11．已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（    ）

A．2 B．6 C．8 D．12

【答案】BC

【分析】根据中有m个元素，中有个元素，设集合B中元素个数为x，再根据集合A中含有6个元素，中共有12个元素，由求解.

【详解】解：因为中有m个元素，

所以中有个元素，

设集合B中元素个数为x，

又集合A中含有6个元素，

则，即，

因为，

所以，

又中共有12个元素，

所以，

则，

故选：BC

12．形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（    ）

A．4 B．12 C． D．

【答案】AD

【分析】结合已知条件，利用与区间的位置关系以及对勾函数单调性即可求解.

【详解】由对勾函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增．

①当，即时，在上单调递增，

，

解得，满足题意；

②当，即时，在上单调递减，

，解得，不满足题意，舍去；

③当，即，在上单调递减，在上单调递增，

，

(i)当时，即时，

，

故，解得或，均不满足题意，舍去；

(ii)当时，即时，

，

从而，解得，满足题意.

综上所述，a的值所组成的集合为.

故选：AD.

三、填空题

13．求值：______.

【答案】6

【分析】利用对数恒等变换及分数指数幂运算得解

【详解】解：原式.

故答案为：6.

【点睛】掌握对数恒等变换 是解题关键

14．设函数则___________.

【答案】16

【分析】利用分段函数的定义，即可求得的值.

【详解】由题意得，

.

故答案为：16.

15．如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过后，桶1和桶2的水量相等，则再过后桶1中的水只有升，则m的值为___________．

【答案】10

【分析】根据5分钟后桶1和桶2的水量相等求得的值，将其代入解析式，令函数值为，解方程即可计算出时间．

【详解】解：由题意得

，

解得，

再经过后，桶1中的水只有升，

则，

即，

，

解得．

故答案为：10．

16．已知正实数满足，则的最小值是________

【答案】

【解析】由题意得出，令，结合基本不等式得出最小值.

【详解】由题意得，

令，则

当且仅当，即时，取等号，则的最小值是

故答案为：

四、解答题

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后将代入求解出集合，然后根据交集的运算定义进行求解即可；

（2）由，可得，然后分和两种情况分类讨论，根据子集的定义求解参数的取值范围.

【详解】（1），当时，，

因此.

（2），，

若，则，解得；

若，则，解得.

综上所述得，

故的取值范围为.

18．已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.

(1)写出在上的解析式；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为0，最小值为

【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；

（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，

由，得，由，解得，

则当时，函数解析式为

设，则，，

即当时，

（2）当时，

，

所以当，即时，的最大值为0，

当，即时，的最小值为.

19．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）2．

【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；

（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；

（3）由基本不等式求得最小值．

【详解】解析：（1）．，

，

（）

即或

在上单调递增，为偶函数

即

（2）

，，，

∴

（3）由题可知，

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．

20．已知函数.

(1)当时，解关于的不等式.

(2)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，等价于，进而分，，三种情况讨论求解；

（2）由题知对任意恒成立，进而结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）解： 等价于，

所以，等价于，

因为，

所以，当时，，的解集为，

当时，，的解集为，

当时，，的解集为，

综上，当时的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.

（2）解：因为不等式对任意恒成立，

所以对任意恒成立，即对任意恒成立，

因为，所以，

所以对任意恒成立，

因为，当且仅当，即，时等号成立，

所以， ，即实数的取值范围为

21．某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为a m的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：

方案甲：如图1，围成区域为三角形；

方案乙：如图2，围成区域为矩形；

方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.

(1)在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;

(2)为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.

【答案】(1)，；，.

(2)农户应该选择方案三，理由见解析.

【分析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；

（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.

【详解】（1）解：对于方案乙，当时，，

所以矩形的面积，；

对于方案丙，当时，，由于

所以，

所以梯形的面积为

，.

（2）解：对于方案甲，设，则，

所以三角形的面积为，

当且仅当时等号成立，

故方案甲的鸡圈面积最大值为.

对于方案乙，由（1）得，，

当且仅当时取得最大值.

故方案乙的鸡圈面积最大值为；

对于方案丙，

，.

当且仅当时取得最大值.

故方案丙的鸡圈面积最大值为；

由于

所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.

22．给定函数．且用表示，的较大者，记为．

（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；

（2）若函数的最小值为，试求实数的值．

【答案】（1），；（2）或．

【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.

【详解】由题意，

当时，，

当时，，

∴

（1）当时，，

∴当时，，此时，

当时，，此时，

.

（2），且对称轴分别为，

①当时，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去），

②当，即时，在单调递减，单调递增；

，有，故此时无解.

③当，即时，在单调递减，单调递增；

，即，（舍去）

综上，得：或.

【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.