2023泸县四中高三上学期期末考试数学（文）试题含答案

四川省泸县四中高2023届高三上期末考试

文科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（    ）

A．1 B．0 C．1 D．1或1

3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．

B．估计这批产品该项质量指标的众数为45

C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60

D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5

4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）．

A． B．4 C．5 D．14

5．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知是两条异面直线，直线与都垂直，则下列说法正确的是（    ）

A．若平面，则 B．若平面，则

C．存在平面，使得 D．存在平面，使得

7．已知函数是奇函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（    ）.

A．24 B．26 C．8 D．16

9．已知α满足，则（    ）

A．3 B．﹣3 C． D．

10．已知曲线在处的切线为l，若l与相切，则实数（    ）

A．2或 B．或3 C．2 D．3

11．三棱锥，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线：上一点，曲线：上一点，当时，对于任意，都有恒成立，则的最小值为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是______．

14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是_____．

15．若直线与抛物线交于点，则的值为______.

16．已知函数在区间上单调，且满足．有下列结论：

①；

②若，则函数的最小正周期为；

③关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解；

④若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为．

其中所有正确结论的编号为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，面积为2，求．

18．（12分）广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级人，他们的测试成绩的频数分布如下表：

（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为市一诊数学成绩不低于分与测试“过关”有关？说明你的理由；

（2）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考：

19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，，，，且，平面平面，M，N分别为EF，CD的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求多面体的体积.

20．（12分）已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，

(1)求椭圆的方程；

(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.

21．（12分）已知函数在处的切线的斜率为1．

(1)求的值及的最大值．

(2)证明：

(3)若，若恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．

23．设．

（1）对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（2）已知最大值为M，，且，求证：．

四川省泸县四中高2023届高三上期末考试

文科数学参考答案：

1．A  2．C  3．C 4．B  5．C  6．C  7．A  8．D  9．D  10．A   11．A  12．A

13．，    14．    15．   16．①②④．

17．（1），∴，∵，

∴，∴，∴；

（2）由（1）可知，

∵，∴，

∴，

∴．

18．（1）根据题意得列联表如下：

所以，.

因此有的把握认为期末数学成绩不低于分与测试“过关”有关.

（2）设该市一诊考试数学成绩的中位数为.

根据题意有：，解得：.

所以，该校市一诊考试数学成绩的中位数为分.

19．解：（1）如图，取AD的中点O,连接OM，ON，

在矩形ADEF中，∵O，M分别为线段AD，EF的中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

在中，∵O，N分别为线段AD，CD的中点，

∴.又平面，平面，

∴平面.

又，平面，∴平面平面

又平面，∴平面.

（2）如图，过点作于.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

同理平面.

连接，.在中，∵，，∴.同理.

∵，∴等边的高为，即.连接.

∴

.

20．(1)依题意，，椭圆半焦距c，则，即，因此，

所以椭圆的方程为.

(2)直线的方程为：，由消去y并整理得：

，设，由得，

于是得，因，即直线的斜率为，同理得，

而，即，整理得，

令，则是的零点，又，因此在单调递增，

又，即在有唯一的零点，且零点在内，所以.

21．（1）函数的定义域为．

由已知得，得，解得．

此时．

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在单调递减，

所以；

（2）由（1）得，当且仅当时，等号成立，

令，则，所以，

将上述个不等式依次相加，得；

（3）因为，若恒成立，则，

①时，显然成立②时，由，得．

当时，单减，当时，单增，

所以在处取得极小值，即最小值，，即恒成立，

综合①②可知，实数的取值范围为.

22．（1）因为，圆的参数方程（为参数），消去参数可得：；

把代入，化简得：，即为此圆的极坐标方程；

（2）设两点的极坐标为：，，

因为直线的极坐标方程是，射线，

将代入得，即；

将代入得，所以．

23（1）由题意,所以，所以，实数m的取值范围是；

（2）证明：由（1）知，，由得，，

所以，

当且仅当，且，即，时，等号成立；

，

当且仅当，且，即，时，等号成立；

综上所述，．