湖南省联考2022-2023学年高一数学上学期12月月考试卷（Word版附解析）

2022年秋季高一12月联考数学

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】解：因为，

所以，，

故选：A.

2. 设甲：，乙：已知函数在上单调递增，则（    ）

A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件

C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】∵在上单调递增，

由的对称轴为，开口向上，

∴，即，

故甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

3. 将化成的形式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】.

故选：D.

4. 下列函数与函数是同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；

的定义域为，故D错误；

，与对应关系不一致，故C错误；

，定义域为，与对应关系一致，B正确.

故选：B.

5. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】因为，

所以,

故选：B.

6. 函数的零点一定位于区间（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：，

又因为函数在区间上都是增函数，

所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.

故选：C.

7. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，）（    ）

A. 2030年 B. 2029年 C. 2028年 D. 2027年

【答案】B

【解析】

【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，

由题意可得：，即，

所以，即，

又因为，∴，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.

故选：B．

8. 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】当时，函数上单调递增，，

当时，函数，当且仅当时取等号，

函数的大致图象，如图，

令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，

函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满足，

而函数对称轴为，于是得，解得，

所以的取值范围为.

故选：D

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 角为第一象限或第三象限角的充要条件是

B. 终边在轴上的角的集合为

C. 若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角

D. 用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关

【答案】AB

【解析】

【详解】对于，当角为第一象限角时，，则；

当角为第三象限角时，，则，

所以若角为第一象限或第三象限角，则.

因为，即且，或且，

当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，

所以若，则角为第一或第三象限角,

所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；

对于B,终边在轴上的角的集合为,

即，即，正确；

对于，若是第三象限角，即，

则，

当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，

则是第二象限或第四象限角，故C错误；

对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，

故选：

10. 下列各式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【详解】，故选项正确；

，故B选项错误；

，故C选项正确；

对于，故D选项错误.

故选：AC.

11. “双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：

①若购物总额不超过50元，则不给予优惠；

②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；

③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠，

④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠.

某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（    ）

A. 若购物总额为66元，则应付款为51元

B. 若应付款为208元，则购物总额为260元

C. 若购物总额为360元，则应付款为252元

D. 若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元

【答案】ABD

【解析】

【详解】对于A，若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，

可以使用一张15元优惠券，则应付款51元，故A正确；

对于B，若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元，

所以购物总额为元，故B正确；

对于C，若购物总额为360元，购物总额超过300元，

则应付款为元，故C错误；

对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，

设购物总额为元，则，解得元，故D正确.

故选：ABD.

12. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【详解】因，即，则分别为函数与图象交点的横坐标，

而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，

在同一坐标系中画出的图象，如图，

由图知，点与关于直线对称，于是得，

，A正确；

，则，B正确；

，C错误；

，D正确.

故选：ABD

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知，则___________.

【答案】##

【解析】

【详解】因为,所以，

由 ，故，

即 ，而，则，

所以，

故答案为：

14. 设，则___________.

【答案】##

【详解】因为，所以，所以，所以,

故答案为：.

另解：由可得，

所以，则,

故答案为：.

15. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.

【答案】

【解析】

【详解】解：，

则，即，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，，

综上，函数的值域为.

故答案为：.

16. 北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是___________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为___________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.

【答案】    ①. 双人艇    ②.

【解析】

【详解】由已知得，当时，，代入解得，

当时，，

故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；

当时，，

故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.

故答案为：双人艇；

四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.）

17. 已知集合.

（1）求；

（2）若且，求实数的取值范围.

【答案】（1）.   

（2）.

【解析】

【小问1详解】

由题意，则，解得，

所以，

又，

所以.

【小问2详解】

因为，，即，

所以，

所以，解得，即实数的取值范围时.

18. 已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）

（1）求该函数的解析式并判断其奇偶性；

（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.

【答案】（1），函数为偶函数.   

（2）.

【解析】

【小问1详解】

由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，

故在时，递增，又此时递减，故需满足，

由知，，

而无限接近直线但又不与该直线相交，则，

又 ,解得 ，

，因为的定义域为，关于原点对称，

且，故函数为偶函数.

【小问2详解】

当时，，设，

则

，

因为，所以，则，

所以，

故函数在上单调递增.

原不等式可化为，

因为函数为偶函数，，则有，

又函数在上单调递增，则有，

两边平方，得，即，解得，

即实数的取值范围为.

19. 已知，其中为奇函数，为偶函数.

（1）求与的解析式；

（2）判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.

【答案】（1），   

（2）函数在区间上单调递增，证明见解析

【解析】

【小问1详解】

由于函数为奇函数，为偶函数，

可得，，

因为，

所以，

即，

解得，.

【小问2详解】

的定义域为，

，

且，

则.

所以，即，

所以函数在区间上单调递增.

20. 已知函数

（1）试讨论方程实数解的个数，其中；

（2）若方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【小问1详解】

由基本不等式，时，，当，即时等号成立；

时，，当，即时等号成立.

令，则..

画出的图像与直线，如图.

由图像可知，

当，即时，有1个解；

当或，即时，有2个解；

当，即时，有3个解.

【小问2详解】

由（1）知，当时，有3个解，

根据图像以及3个解的大小关系，有，其中，

对于，已知，解得，则，

故，即的取值范围为.

21. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.

（1）求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；

（2）若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）

【答案】（1）   

（2）27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热

【解析】

【小问1详解】

当时，设，

代入，，解得，则，

由题意，代入，，，得，

所以.

【小问2详解】

若从降温至，

由题意有，代入，

计算得分钟，

故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；

从加热至需要分钟，

从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，

则共需要分钟，

故27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热.

22. 已知函数.

（1）当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；

（2）当时，解不等式；

（3）若存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.   

（2）.   

（3）或.

【解析】

【小问1详解】

当时， ,

故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.

【小问2详解】

当时，，记 ,

则，故为奇函数，且在上单调递增，

不等式化为，

即，

即，即，

从而由在上单调递增，得，即，解得，

故不等式解集为.

【小问3详解】

设，则问题转化为存在，使得，

又注意到时，，且，

可知问题等价于存在，即在上有解.

即在上有解，于是或在上有解，

进而或在上有解，

由函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递增，

可知，

故的取值范围是或.