2022-2023学年安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学试题（解析版）

“皖东县中联盟”2022-2023学年第一学期高三联考

数学试题

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：高考范围．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数满足（i为虚数单位），则（    ）

A．1         B．2         C．           D．3

2．设集合，则（    ）

A．    B．      C．        D．

3．设动直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

4．在数列中，，且数列是等差数列，则（    ）

A．16         B．         C．19          D．

5．设，则（    ）

A．      B．        C．         D．

6．已知函数若，则实数a的值为（    ）

A．0         B．1         C．2         D．4

7．2022年9月底，在长江台州段，工作人员发现大面积盛开的野大豆，野大豆的发现，对我国大豆的育种等有很大的帮助，通过上一代野大豆的培育，出现某新品种，有“抗倒伏”和“抗虫害”两种遗传性状，该新品种出现“抗倒伏”性状的概率为，出现“抗虫害”性状的概率为，“抗倒伏”和“抗虫害”性状都不出现的概率为，则该品种在“抗倒伏”性状的条件下，出现“抗虫害”性状的概率为（    ）

A．      B．        C．         D．

8．已知双曲线的左、右焦点恰为椭圆的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（    ）

A．      B．     C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列函数中，最小值是4的函数有（    ）

A．      B．

C．                 D．

10．已知等边的边长为2，点D，E满足，BD与CE交于点O，则（    ）

A．           B．

C．    D．在方向上的投影向量为

11．一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，若G为FC上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．若G为线段FC的中点，则平面AEF      B．多面体ABCDFE的体积为144

C．的最小值为108                    D．

12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ）

A．           B．若，则该三角形周长的最大值为6

C．若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为

D．设，且，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么___________．

14．已知正三棱柱的各个棱长均为2，其外接球的球心为O，以O为球心，以为半径的球面与侧面的交线的长度为___________．

15．已知函数则函数的值域为___________；若函数有2个零点，则k的取值范围是___________．

16．设抛物线的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为的重心，且，直线l过点与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，则___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

设向量，函数的最大值为1，且图象相邻两个对称中心之间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求实数t的最大值．

18．（本小题满分12分）

在①，且，为数列的前n项和；②，且这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知正项数列满足___________，．

（1）求数列和的通项公式：

（2）设数列满足，且的前n项和为，求证：．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分．

19．（本小题满分12分）

某课题组开展“皖东地区中学体育现状教学调查与发展对策研究”，以皖东地区2市2区4县285所中学为研究对象，其中县城高中22所，县城初中9所，农村高中29所，农村初中225所．旨在增强“全民健身”理念、增强中学生身体素质与优化中学体育教学管理．课题组从“体育管理、体育师资、体育科研、《体育与健康》课程教学、课外体育、体育场地设施”这六个方面进行赋分，并制作了调查问卷（满分共100分），分发问卷并整理相关数据，从问卷中随机抽取200份，按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中县城高中占．

（1）估计抽取的200份问卷的数据平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

（2）若在第五组中，按照县城高中和非县城高中两类随机抽取7份问卷，再从中选取3份问卷作进一步调研，设这3份问卷中包含县城高中问卷数为X，求X的分布列和数学期望；

（3）根据教育部发布《<体育与键康>教学改革指导纲要》精神，指导全国中小学体育教师科学、规范、高质量地上好体育课，更好地帮助学生在体育锻炼中“享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，促进青少年学生身心健康全面发展具有积极指导作用．根据相关数据，体育教学综合质量指标服从正态分布（用样本平均数和方差作为，的近似值且取整数），若某市有65所中学学校，试估计该市中学学校体有教学综合质量指标在内的学校数量．（结果保留整数）

参考数据：若随机变量，则，，

可能用到的数据：．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．

（1）求CE的长；

（2）设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右焦点分别为，直线与椭圆C相切，点到直线l的距离分别为，求的最小值．

22．（本小题满分12分）

已知函数的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求实数m的值，并求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

“皖东县中联盟”2022-2023学年第一学期高三联考·数学试题

参考答案、提示及评分细则

1．B根据已知得．故选B．

2．C由，解得且，故集合且，由，解得，所以，所以．故选C

3．C由，得，经验证只有当时，．故选C．

4．B数列的公差，解得，故选B．

5．A  ，所以．故选A．

6．D因为当时，，所以，即，所以，所以．故选D．

7．B记事件E：该新品种“抗倒伏”性状，事件F：该新品种“抗虫害”性状，则，，，则，又因为，则，故所求概率为，故选B．

8．D  椭圆E的左、右顶点分别为，则，双曲线，，椭圆E的上焦点，当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，AB边上中垂线为x轴，若外心Q落在y轴上，则，但此时，由，则不符合题意；当直线l斜率存在时，设，联立消去y可得，设，则，，因为A，B位于双曲线C的右支，则或，，设AB的中点，则Q在AB的中垂线上，所以，解得，所以，由，可得，整理得，由，得（舍去），直线方程为．故选D．

9．ACD  对于A选项，因为，所以，当且仅当即时取等号，故A正确；对于B选项，设，则，由于在上为减函数，所以当时，y有最小值5，故B错误；对于C选项，，，当且仅当即时取等号，故C正确；对于D选项，，当且仅当即时取等号，故D正确．故选ACD．

10．BC  由题E为AB中点，则．以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

，设，，，，，所以，解得，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，所以选项A错误；，在方向上的投影向量为，所以选项D错误．故选BC．

11．ABD  以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则．则，，，，易求平面AEF的一个法向量．对于A，若G为线段FC的中点，则，又．则．因为，又平面AEF，所以平面AEF，故A正确；对于B，多面体ABCDFE的体积等于一个棱长为6的正方体的体积减去两个三棱锥的体积，，故B正确；对于C，设，又，所以，所以，故当时，取得最小值为99，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确．故选ABD．

12．BCD  ，即，所以，又，所以，故A错误；对于B．因为，所以，，当且仅当时等号成立，此时，所以周长的最大值为6，故B正确；对于C，结合三角形面积公式得，，，则，又因为，所以，结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的最大值为，故C正确；对于D．由题，两边平方并化简得，即，，，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确．故选BCD．

13．10  ，又，所以．

14．  因为三棱柱的外接球球心O到侧面的距离为，所以以O为球心，半径为的球的球面与侧面的交线为半径为1的圆，所以其交线长度为．

15．（2分）（3分）当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，综上，函数的值域为，作出函数的大致图象与直线如图所示：

函数有2个零点，即与有2个交点，所以或．

16．0  由抛物线方程知，设，则，因为F为的重心，所以，则，所以，所以抛物线方程为，当直线l斜率不存在时，直线，不妨取，此时为；当直线l斜率存在时，设直线,，联立消去y得，所以，，所以，综上．

17．解：（1）

，                                                2分

所以的最大值为，所以，                                  3分

又因为该函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，

所以该函数的最小正周期为，所以，                              4分

所以．                                               5分

（2）由题意得，               7分

因为，                                       8分

所以，又0，所以，则实数t的最大值为．                 10分

18．（1）解：选①：因为，所以，

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，                    2分

所以，                                             3分

当时，；                                                4分

当时，，

也符合上式，所以．                                     5分

所以．                                     6分

选②：根据已知得，两边同时除以，得，

所以或（舍），又，所以是以，公比的等比数列，      4分

故，所以．                              6分

（2）证明：因为当时，，

所以，                         7分

所以，                             8分

当，                                     9分

当时，因为，                                                     10分

所以

，

所以对于任意的．

综上，对于任意的．                                       12分

19．解：（1）依题意，得，

估计抽取的200份问卷的数据平均值．                                      3分

（2）由于第五组总抽取7份问卷，县城高中占，

所以抽到的县城高中问卷有份，非县城高中问卷共4份，                     4分

再从中抽3份问卷中包含县城高中问卷数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，          5分

，      7分

故其分布列为：

所以得到随机变量X的数学期望．         8分

（3）因为，所以，

．                                            10分

则，

所以估计该市中学学校体育教学综合质量指标在内的学校数量约为53所，           12分

20．解：（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示：

则，且．，

所以四边形CDGE为平行四边形．                                  2分

在中，，

所以CE的长为.                                                 4wv

（2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示，

以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面MABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，取AD的中点为N，连接PN，MN，在平面PMN中过点P作，垂足为F，则，则．设．                          5分

因为，所以，

所以

所以，

所以．                   6分

设平面PAD的法向量，

则

令，则．                              7分

设平面PBC的法向量，

因为，

则

令．可得．                              8分

设平面PAD和平面PBC的夹角为，

则

．        10分

令，所以，

所以，所以当时，有最小值，

所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为．                      12分

21．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，

则解得，                                     2分

故椭圆C的标准方程为．                                     3分

（2）将直线l的方程与椭圆方程联立消去y并整理得，          4分

所以，             5分

因为直线l与椭圆C相切，即，所以，                            6分

因为到直线l的距离为到直线l的距离为,           7分

所以，                9分

结合基本不等式得，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．                                        12分

22．解：（1），而，

根据导数的几何意义得，解得，             2分

所以，所以．

当时，，又，则，

故，单调递减．

设，则，

当时，，，是增函数，即是增函数，

所以，因此单调递增，

所以的增区间是，减区间是．                                 4分

（2）因为，设，即在上恒成立，满足题意．

，令，                  5分

则，令，

则，所以即在上是增函数，                 6分

，当时，，

函数即在上单调递增，                                         7分

所以，在上单调递增，

所以恒成立，原不等式恒成立；                                8分

当时，则，又，

所以存在，使得，                                      9分

时，，即单调递减，时，，即单调递增，

又，所以时，，从而单调递减，                 10分

于是不合题意．

综上，实数a的取值范围是．                          12分