2022-2023学年上海市吴淞中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年上海市吴淞中学高二上学期第二次月考数学试题一、填空题1．直线的倾斜角______________.【答案】【详解】试题分析：由于直线方程化为，斜率为，由于直线的倾斜角的范围是，则直线的倾斜角为【解析】直线的倾斜角与斜率；直线的倾斜角的范围；2．已知两点，以为直径的圆的标准方程为__________.【答案】【分析】由中点坐标公式求线段的中点坐标可得圆心坐标，由两点距离公式求长可得半径，根据圆的标准方程定义求圆的标准方程即可.【详解】线段的中点为圆心，又，所以圆心坐标为，又 圆的半径为 所以圆的标准方程为，故答案为：.3．在等差数列中，若，则______．【答案】15【分析】根据等差数列与下标和有关的性质即可求解.【详解】∵是等差数列，∴.故答案为：15.4．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】求出所过定点，然后画出图形，求出，数形结合实数的取值范围.【详解】变形为，恒过点，画图如下：则，，则要想直线和以为端点的线段相交，则或，即或.故答案为：.5．已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是________.【答案】【分析】Sn＝na1．根据数列{Sn}是递增数列，可得Sn+1＞Sn，代入化简利用数列的单调性即可得出．【详解】Sn＝na1．∵数列{Sn}是递增数列，∴Sn+1＞Sn，∴（n+1）a13＞na1．化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．【答案】【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.【详解】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有：，即，解得，故答案为：7．由于疫情防控需要，工厂年前加紧口罩生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为（单位：万只），若这组数据的方差为，且的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________万只.【答案】##【分析】由平均数定义可知，再根据方差的公式即可求得结果.【详解】依题意得，设的平均数为，根据方差计算公式有即可得，又，所以故答案为：8．学校从参加高二年级数学期中考试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.则这次考试数学成绩的50百分位数为__________.【答案】##【分析】根据第50百分位数的定义列方程求其值即可．【详解】因为前三个小矩形的面积和为，第四个小矩形的面积为，，所以第50百分位数应位于第四个小矩形中，设第50百分位数为，则 ，解得，故答案为：.9．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则弦长为__________.【答案】【分析】首先根据焦点到准线的距离求出确定抛物线方程及焦点坐标，已知中点则用点差法求出斜率进而求出直线方程，再联立求得弦长.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以，则抛物线方程为，若直线过点且是线段的中点，则的斜率一定存在，设的斜率；因为在抛物线上所以，两式相减得，即；所以直线方程为即：；联立方程的得，则，.故答案为：10．两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走__________元.【答案】1600【分析】根据分别计算出赢与赢的概率，再计算出概率之比即可计算出应当拿走的金额.【详解】单局赢的概率是，则单局赢的概率是；因为先赢一局后赌局中止，所以赢若继续比赛下去，则赢的情况有：胜胜胜；胜败胜，其胜概率为；赢的情况有：败胜胜，其胜的概率为；所以，赢与赢的概率之比为，所以应当拿走（元）.故答案为：1600.11．已知分别为双曲线​的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又，，故，即.故答案为：12．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左､右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是__________.【答案】【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合点位置，即可求得的取值范围．【详解】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示：因为是的平分线上一点，且，所以，即为的中点，又因为为的中点，由中位线性质可得 ，在椭圆方程为，则 ，所以因为所以当为短轴的顶点时，又因为与椭圆的四个顶点不重合综上所述，.故答案为：二、单选题13．如果椭圆的焦距､短轴长､长轴长成等差数列，则其离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得离心率.【详解】依题意，由于，所以，，，由于为正数，所以. 故选：A14．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（    ）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【分析】由题可得焦点坐标为：，又圆心坐标为，据此可得答案.【详解】由，得，故抛物线焦点坐标为.又由题可得圆心C坐标为，半径为1.设圆C上一点为P，则如图，当F，C，P三点共线时，最大，为.故选：A15．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（    ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线【答案】C【分析】根据双曲线的定义判断．【详解】设是界限上的一点，则，所以，即（定值），在中，，所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线．故选：C．16．设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（    ）A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大【答案】B【分析】设，然后由向量数量积的坐标表示求出为的函数后，根据函数性质可得结论．【详解】设，由椭圆方程知，，随的减小而变小，故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．三、解答题17．已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.【答案】(1)；(2)，直线的方程为.【分析】(1)将直线方程化为斜截式，再利用数形结合求出k的取值范围.(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.【详解】（1）方程可化为，要使直线不经过第四象限，则，解得，所以k的取值范围为.（2）由题意可得，由取得，取得，所以，当且仅当时，即时取等号，此时，直线的方程为.18．如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．(1)求圆C的方程；(2)已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1).(2).【分析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有， ，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.【详解】（1）解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；（2）解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.19．浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米. （1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意得，解方程组即可得解；（2）设，，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.【详解】（1）由条件 椭圆C的方程为 （2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则 设 .【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.20．如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点(1)求的值；(2)设为曲线上的动点，求的最小值；(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，且，详见解析【分析】（1）将代入求出，再由与轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出；（2）先设，得到，分别讨论，和两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；（3）先由题意得到的方程，与抛物线联立，求出；与圆联立，求出，根据得到，化简得到关于的方程，求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，将代入，得到；所以抛物线；又与轴交于，所以，代入圆的方程，可得；所以，；（2）设，因为，则，当时，，所以，所以时，；当时，，，所以时，；而，所以的最小值为；（3）由题意，可得：的方程为，由，整理得：，解得或，即；由，整理得：解得：或，则，由，可得，即，整理得，解得（由题意，负值舍去）因此，存在实数，使得.【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物位置关系即可，属于常考题型.21．已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.(1)求实数的值；(2)求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值；(3)点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由【答案】(1)(2)(3)是，【分析】（1）根据双曲线关系即可. （2）根据已知条件表示出斜率化简整理即可.（3）设出的坐标，根据向量共线进行表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系.【详解】（1）解：由已知离心率，又因为所以，解得.（2）证明：由（1）可知，，设，，因为所以 所以在双曲线上，所以 所以与直线的斜率之积是定值为（3）过点过点的直线与双曲线右支交于不同的两点设， ，因为在双曲线上.所以，故，设，则 得 由，得 将，代入 得， 将带入得恒在定直线上.【点睛】（1）圆锥曲线第一问通常是涉及基本量的计算.（2）定值问题首先根据题意将等量关系进行表示后在化简，必要时借助于直曲联立，通过韦达定理减少计算量.（3）定点过定直线通常设出定点后找到定点的横纵坐标所满足的线性关系，一般计算量较大.