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初中数学中考复习 广东省2019年中考数学押题卷四含解析
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这是一份初中数学中考复习 广东省2019年中考数学押题卷四含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019广东省中考数学押题卷四
一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣|﹣2| D．﹣
2.张敏同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”能搜索到与之相关的结果的条数约为67 100 000，这个数67 100 000用科学记数法可表示为（ ）
A．671×105 B．6.71×106 C．6.71×107 D．0.671×108
3.如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5.下列运算不正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．2a3+a3＝3a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣2）3＝a﹣6
6.在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7.将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
8．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
二、填空题：（本大题共6道小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则的值为 ．
12． 分式方程＝的根为 ．
13． 在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 ．
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
15.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程 （结果保留根号）
16.如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
三、解答题：（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）
17.计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
18.先化简，再求值：（﹣），其中x＝
19.如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图2中过点B作BF∥AC．
四、解答题：（本大题共3道小题，每小题7分，共21分）
20.某校为了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为4类情形：A表示仅学生参与：B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示家长和学生都未参与，现绘制如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）根据抽样调查的结果，估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
22.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
五、解答题：（本大题共3道小题，每小题9分，共27分）
23.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24.已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
25.如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
（2）当OD＝时，求CP的长．
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值．
2019广东省中考数学押题卷四
一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣|﹣2| D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：﹣＞﹣＞﹣＞﹣|﹣2|，
∴在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.张敏同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”能搜索到与之相关的结果的条数约为67 100 000，这个数67 100 000用科学记数法可表示为（ ）
A．671×105 B．6.71×106 C．6.71×107 D．0.671×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：67 100 000用科学记数法可表示为6.71×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．
4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5.下列运算不正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．2a3+a3＝3a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣2）3＝a﹣6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则、完全平方公式，合并同类项法则计算即可．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故A选项错误，符合题意；
B、2a3+a3＝3a3，故B选项正确，不符合题意；
C、（﹣a）2•a3＝a5，故C选项正确，不符合题意；
D、（﹣a2）3＝a6，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方和积的乘方运算法则、完全平方公式，是中考必考题型．
6.在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象，判断两个式子中的k是否可以取到相同的符号，从而判断．
【解答】解：A、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；
B、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；
C、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＜0，
根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，则选项错误；
D、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，能根据函数的图象判断k的符号是关键．
7.将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】先根据∠CDE＝40°，得出∠CED＝40°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝40°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°，
∴∠CED＝40°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
8．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】设CD＝x，则AE＝x﹣1，证明△ADE≌△FCD，得ED＝CD＝x，根据勾股定理列方程可得CD的长．
【解答】解：设CD＝x，则AE＝x﹣1，
由折叠得：CF＝BC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDF，
∵∠A＝∠CFD＝90°，AD＝CF＝3，
∴△ADE≌△FCD，
∴ED＝CD＝x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝ED2，
（x﹣1）2+32＝x2，
x＝5，
∴CD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①求出与x轴另一个交点为（3，0）；
②∵＝﹣3，∴c＝﹣3a，由2＜c＜3的取值确定a的取值范围；
③将a+b+c＝n，化为a﹣2a﹣3a＝﹣4a＝n，∵﹣1＜a＜﹣，∴＜n＜4；
④由ax2+bx+c＝n﹣1，可得ax2﹣2ax﹣3a﹣n+1＝0，△＝4a（a+n+2），结合1＜a＜﹣，＜n＜4，确定△＜0；
【解答】解：∵轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），
∴与x轴另一个交点为（3，0），
①当x＞3时，y＜0正确；
②与y轴交点（0，c），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∵x＝1是对称轴，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
又∵＝﹣3，
∴c＝﹣3a，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②正确；
③当x＝1时y＝n，
∴a+b+c＝n，
∴a﹣2a﹣3a＝﹣4a＝n，
∵﹣1＜a＜﹣，
∴＜n＜4，
故③不正确；
④由ax2+bx+c＝n﹣1，可以看做是y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1的交点个数，
∵抛物线顶点（1，n），∴y＝n﹣1与抛物线一定有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系；能够熟练掌握公式，能够准确的从图象中获取信息是解题的关键．
10.如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
【分析】过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，由矩形的性质可知：BM＝OM，从而可求S△OMF＝S△AMO＝S△ABO＝S矩形ABCO＝1＝|k|，再由|k|＝2，求得k．
【解答】解：过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，
由矩形的性质可知：BM＝OM，
∴FA＝FO，
∴S△OMF＝S△AMO＝S△ABO＝S矩形ABCO＝1，
∵S△OMF＝|k|，
∴|k|＝2，
∵图象在第二象限，
∴k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出|k|＝1，本题属于中等题型．
二、填空题：（本大题共6道小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则的值为 ．
【分析】利用＝，则可设y＝3k，x＝4k，所以＝，然后约分即可．
【解答】解：∵＝，
∴设y＝3k，x＝4k，
∴＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质计算．
14． 分式方程＝的根为 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1＝3x﹣3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15． 在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 ．
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得＝，解得x＝6，
所以黄球的个数为6个．
故答案为6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
【分析】根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可．
【解答】解：由图可得，∠AED＝∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB＝2，AC＝1，
则tan∠ABC＝＝，
∴tan∠AED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理和锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．
15.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程 （结果保留根号）
【分析】本题可以求出甲船行进的距离AC，根据三角函数就可以求出AB，即可求出乙船的路程．
【解答】解：由已知可得：AC＝60×0.5＝30海里，
又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，
∴∠BAC＝90°，
又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC•tan30°＝30×＝10海里．
答：乙船的路程为10海里．
故答案为：10海里．
【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题及三角函数的定义，理解方向角的定义是解决本题的关键．
16.如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题：（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）
17.计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣++1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.先化简，再求值：（﹣），其中x＝
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值。解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19.如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图2中过点B作BF∥AC．
【分析】（1）画出⊙O的两条直径BK，DE，交点即为圆心O．
（2）作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．
【解答】解：（1）设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．
（2）如图2中，作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题：（本大题共3道小题，每小题7分，共21分）
20.某校为了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为4类情形：A表示仅学生参与：B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示家长和学生都未参与，现绘制如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）根据抽样调查的结果，估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以样本中D类别人数所占比例．
【解答】解：（1）在这次抽样调查中，调查的总人数为80÷20%＝400（人）；
（2）估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为1000×＝50（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
【解答】证明：（1）∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝6，
∴，．
∵DF＝BC＝4，
∴DG＝1．
在Rt△DCG中，CD＝＝2
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．
22.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
W＝W1+W2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
五、解答题：（本大题共3道小题，每小题9分，共27分）
23.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；
（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，
设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）
S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，
点E（，﹣）；
（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24.已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；
（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解决问题；
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC•MN，
∵MC•MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
（2）当OD＝时，求CP的长．
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值．
【分析】（1）证明四边形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再证明△AGO≌△PHO（ASA），则OA＝OP；
（2）如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，证明△ADO≌△CDO（SSS），可得PC的长；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根据S△AOD＝S△COD，则S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得结论．
【解答】解：（1）OA＝OP，理由是：
如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，
∴OG＝OH，
∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形OGBH是正方形，
∴BG＝BH，∠GOH＝90°，
∵∠AOP＝∠GOH＝90°，
∴∠AOG＝∠POH，
∴△AGO≌△PHO（ASA），
∴OA＝OP；
（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，
∴∠OQD＝90°，
∵∠ODQ＝45°，
∴△ODQ是等腰直角三角形，
∵OD＝，
∴OQ＝DQ＝1，
∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO（SSS），
∴AO＝OC＝OP，
∵OH⊥PC，
∴PH＝CH＝OQ＝1，
∴PC＝2；
（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，
由（2）知：△AOD≌△COD，
∴S△AOD＝S△COD，
∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．
2019广东省中考数学押题卷四
一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣|﹣2| D．﹣
2.张敏同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”能搜索到与之相关的结果的条数约为67 100 000，这个数67 100 000用科学记数法可表示为（ ）
A．671×105 B．6.71×106 C．6.71×107 D．0.671×108
3.如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5.下列运算不正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．2a3+a3＝3a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣2）3＝a﹣6
6.在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7.将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
8．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
二、填空题：（本大题共6道小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则的值为 ．
12． 分式方程＝的根为 ．
13． 在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 ．
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
15.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程 （结果保留根号）
16.如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
三、解答题：（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）
17.计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
18.先化简，再求值：（﹣），其中x＝
19.如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图2中过点B作BF∥AC．
四、解答题：（本大题共3道小题，每小题7分，共21分）
20.某校为了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为4类情形：A表示仅学生参与：B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示家长和学生都未参与，现绘制如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）根据抽样调查的结果，估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
22.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
五、解答题：（本大题共3道小题，每小题9分，共27分）
23.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24.已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
25.如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
（2）当OD＝时，求CP的长．
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值．
2019广东省中考数学押题卷四
一、选择题：（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣|﹣2| D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：﹣＞﹣＞﹣＞﹣|﹣2|，
∴在﹣、﹣、﹣|﹣2|、﹣这四个数中，最大的数是﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.张敏同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”能搜索到与之相关的结果的条数约为67 100 000，这个数67 100 000用科学记数法可表示为（ ）
A．671×105 B．6.71×106 C．6.71×107 D．0.671×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：67 100 000用科学记数法可表示为6.71×107，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．
4.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5.下列运算不正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣1 B．2a3+a3＝3a3
C．（﹣a）2•a3＝a5 D．（a﹣2）3＝a﹣6
【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则、完全平方公式，合并同类项法则计算即可．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故A选项错误，符合题意；
B、2a3+a3＝3a3，故B选项正确，不符合题意；
C、（﹣a）2•a3＝a5，故C选项正确，不符合题意；
D、（﹣a2）3＝a6，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方和积的乘方运算法则、完全平方公式，是中考必考题型．
6.在同一坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+3的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象，判断两个式子中的k是否可以取到相同的符号，从而判断．
【解答】解：A、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；
B、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＞0，则k＜0，则选项错误；
C、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＜0，
根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，则选项错误；
D、由反比例函数图象得函数y＝（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得﹣k＜0，则k＞0，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，能根据函数的图象判断k的符号是关键．
7.将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】先根据∠CDE＝40°，得出∠CED＝40°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝40°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°，
∴∠CED＝40°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
8．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】设CD＝x，则AE＝x﹣1，证明△ADE≌△FCD，得ED＝CD＝x，根据勾股定理列方程可得CD的长．
【解答】解：设CD＝x，则AE＝x﹣1，
由折叠得：CF＝BC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDF，
∵∠A＝∠CFD＝90°，AD＝CF＝3，
∴△ADE≌△FCD，
∴ED＝CD＝x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝ED2，
（x﹣1）2+32＝x2，
x＝5，
∴CD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包含端点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②﹣1≤a≤﹣；③3≤n≤4；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①求出与x轴另一个交点为（3，0）；
②∵＝﹣3，∴c＝﹣3a，由2＜c＜3的取值确定a的取值范围；
③将a+b+c＝n，化为a﹣2a﹣3a＝﹣4a＝n，∵﹣1＜a＜﹣，∴＜n＜4；
④由ax2+bx+c＝n﹣1，可得ax2﹣2ax﹣3a﹣n+1＝0，△＝4a（a+n+2），结合1＜a＜﹣，＜n＜4，确定△＜0；
【解答】解：∵轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），
∴与x轴另一个交点为（3，0），
①当x＞3时，y＜0正确；
②与y轴交点（0，c），与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间，
∴2＜c＜3，
∵x＝1是对称轴，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
又∵＝﹣3，
∴c＝﹣3a，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②正确；
③当x＝1时y＝n，
∴a+b+c＝n，
∴a﹣2a﹣3a＝﹣4a＝n，
∵﹣1＜a＜﹣，
∴＜n＜4，
故③不正确；
④由ax2+bx+c＝n﹣1，可以看做是y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1的交点个数，
∵抛物线顶点（1，n），∴y＝n﹣1与抛物线一定有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系；能够熟练掌握公式，能够准确的从图象中获取信息是解题的关键．
10.如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D、E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．﹣2
【分析】过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，由矩形的性质可知：BM＝OM，从而可求S△OMF＝S△AMO＝S△ABO＝S矩形ABCO＝1＝|k|，再由|k|＝2，求得k．
【解答】解：过点M作MF⊥OA于点F，连接OB，
由矩形的性质可知：BM＝OM，
∴FA＝FO，
∴S△OMF＝S△AMO＝S△ABO＝S矩形ABCO＝1，
∵S△OMF＝|k|，
∴|k|＝2，
∵图象在第二象限，
∴k＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出|k|＝1，本题属于中等题型．
二、填空题：（本大题共6道小题，每小题4分，共24分）
11．若＝，则的值为 ．
【分析】利用＝，则可设y＝3k，x＝4k，所以＝，然后约分即可．
【解答】解：∵＝，
∴设y＝3k，x＝4k，
∴＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质计算．
14． 分式方程＝的根为 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1＝3x﹣3，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15． 在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 ．
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得＝，解得x＝6，
所以黄球的个数为6个．
故答案为6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
【分析】根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可．
【解答】解：由图可得，∠AED＝∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB＝2，AC＝1，
则tan∠ABC＝＝，
∴tan∠AED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理和锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．
15.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程 （结果保留根号）
【分析】本题可以求出甲船行进的距离AC，根据三角函数就可以求出AB，即可求出乙船的路程．
【解答】解：由已知可得：AC＝60×0.5＝30海里，
又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，
∴∠BAC＝90°，
又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC•tan30°＝30×＝10海里．
答：乙船的路程为10海里．
故答案为：10海里．
【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题及三角函数的定义，理解方向角的定义是解决本题的关键．
16.如图，已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn＝ ．
【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…Bn点的坐标为（n，yn），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值，故可得出结论．
【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三、解答题：（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）
17.计算：﹣12019+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣++1
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.先化简，再求值：（﹣），其中x＝
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值。解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
19.如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图2中过点B作BF∥AC．
【分析】（1）画出⊙O的两条直径BK，DE，交点即为圆心O．
（2）作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．
【解答】解：（1）设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．
（2）如图2中，作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题：（本大题共3道小题，每小题7分，共21分）
20.某校为了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为4类情形：A表示仅学生参与：B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示家长和学生都未参与，现绘制如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）根据抽样调查的结果，估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以样本中D类别人数所占比例．
【解答】解：（1）在这次抽样调查中，调查的总人数为80÷20%＝400（人）；
（2）估计该校1000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为1000×＝50（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，CF＝6，求CD的长．
【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长．
【解答】证明：（1）∵点E为CD中点，
∴CE＝DE．
∵EF＝BE，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）∵四边形DBCF是平行四边形，
∴CF∥AB，DF∥BC．
∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．
在Rt△FCG中，CF＝6，
∴，．
∵DF＝BC＝4，
∴DG＝1．
在Rt△DCG中，CD＝＝2
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键．
22.小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
W＝W1+W2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
五、解答题：（本大题共3道小题，每小题9分，共27分）
23.如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；
（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；
（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，
设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）
S△CBE＝HE×OB＝3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），
∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，
点E（，﹣）；
（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），
CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，
①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；
②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；
③当CM＝PM时，同理可得：m＝；
故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
24.已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．
（1）如图1，若∠PCB＝∠A．
①求证：直线PC是⊙O的切线；
②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．
【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；
（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解决问题；
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
②∵CP＝CA，
∴∠P＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠P，
∵∠OCP＝90°，
∴∠P＝30°，
∵OC＝OA＝2，
∴OP＝2OC＝4，
∴．
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴，
∴AM2＝MC•MN，
∵MC•MN＝9，
∴AM＝3，
∴BM＝AM＝3．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
（2）当OD＝时，求CP的长．
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值．
【分析】（1）证明四边形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再证明△AGO≌△PHO（ASA），则OA＝OP；
（2）如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，证明△ADO≌△CDO（SSS），可得PC的长；
（3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根据S△AOD＝S△COD，则S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得结论．
【解答】解：（1）OA＝OP，理由是：
如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，
∴OG＝OH，
∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形OGBH是正方形，
∴BG＝BH，∠GOH＝90°，
∵∠AOP＝∠GOH＝90°，
∴∠AOG＝∠POH，
∴△AGO≌△PHO（ASA），
∴OA＝OP；
（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，
∴∠OQD＝90°，
∵∠ODQ＝45°，
∴△ODQ是等腰直角三角形，
∵OD＝，
∴OQ＝DQ＝1，
∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO（SSS），
∴AO＝OC＝OP，
∵OH⊥PC，
∴PH＝CH＝OQ＝1，
∴PC＝2；
（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，
由（2）知：△AOD≌△COD，
∴S△AOD＝S△COD，
∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．
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