七年级数学下册易错点第3课时 平行线的性质

这是一份七年级数学下册易错点第3课时 平行线的性质，共26页。试卷主要包含了核心考点，易错题，拔尖角度等内容，欢迎下载使用。
第3课时 平行线的性质（原卷版）
一、核心考点
考点1 用平行线的性质计算，说理
1．（2021春•青羊区期末）如图，直线l1∥l2且与直线l3相交于A、C两点．过点A作AD⊥AC交直线l2于点D．若∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
2．（2022•滕州市校级模拟）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，下列结论错误的是（　　）

A．∠CNH＝∠BPG B．∠BMN＝∠MNC C．∠DNG＝∠AME D．∠EMB＝∠END
3．（2019•泸州）如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（　　）

A．40° B．50° C．45° D．60°
4．（2020•吴中区二模）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为　 　．

5．（2021春•罗湖区 期末）如图，DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD＝　 　°．

考点2 综合运用平行线的性质和判定
6．（2022春•右玉县期中）在横线处填写依据：
如图所示．已知：EF⊥AC．垂足为点F，DM⊥AC，垂足为点M，DM的延长线交AB于点B，且∠1＝∠C，点N在AD上，且∠2＝∠3，试说明AB∥MN．
解∵EF⊥AC，DM⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90° （ 　 　）
∴EF∥DM （ 　 　）
∴∠3＝∠CDM （ 　 　）
∵∠3＝∠2（已知），∴∠2＝∠CDM（等量代换），
∴MN∥CD （ 　 　）
∴∠AMN＝∠C （ 　 　）
∵∠1＝∠C（已知），
∠1＝∠AMN（等量代换），
∴AB∥MN （ 　 　）．

7．（2018春•红花岗区校级期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？说明理由．

8．（2020春•舒兰市期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠MGH＝∠MEF．
求证：∠MEF＝∠GHN．

二、易错题
易错点：动态问题因考虑不周导致漏解
9．（2022春•黔南州期末）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有 　 　次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．

三、拔尖角度
角度1 平行线与角平分线、垂线综合
10．（2022春•柘城县期末）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是 　 　．

11．（南通中考）如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 　度．

12．（2021春•茅箭区期末）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，∠1＝∠2，∠C+∠ADE＝90°．
（1）求证：DE∥AC；
（2）判断EF与BC的位置关系，并证明你的猜想．

13．如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M、N，MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，那么MG与NH平行吗？为什么？

角度2 三角尺、直尺为背景的平行线问题
14．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（　　）

A．62° B．56° C．28° D．72°
15．（2021春•兰陵县期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的余角度数是 　．

16．（2021•岳阳模拟）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　 　．

17．（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
18．（2022春•湖北期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝56°，则∠1的度数等于（　　）

A．54° B．44° C．24° D．34°
19．（2022•伊宁市模拟）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（　　）

A．90° B．75° C．65° D．60°
角度3 折叠问题
20．（2022春•广水市期末）如图所示，将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是 　 　．

21．（2018春•高安市校级月考）如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．

角度4 “拐点折线”问题
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝　 　°．

23．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）

A．15° B．25° C．30° D．45°
24．（2022春•洛阳期中）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠ECA+∠BDF＝（　　）

A．30° B．35° C．36° D．40°
25．（2022•南京模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为（　　）

A．55° B．45° C．60° D．50°

26．（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
27．（2021春•西平县期末）已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，设∠E＝m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M＝ 　．

第3课时 平行线的性质（解析版）
一、核心考点
考点1 用平行线的性质计算，说理
1．（2021春•青羊区期末）如图，直线l1∥l2且与直线l3相交于A、C两点．过点A作AD⊥AC交直线l2于点D．若∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．70°
思路引领：根据平行线的性质得出∠BAD＝∠ADC＝35°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵直线l1∥l2，∠BAD＝35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
故选：C．
总结提升：本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
2．（2022•滕州市校级模拟）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，下列结论错误的是（　　）

A．∠CNH＝∠BPG B．∠BMN＝∠MNC C．∠DNG＝∠AME D．∠EMB＝∠END
思路引领：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等解答即可．
解：A、∵AB∥CD，∴∠CNH＝∠APN，∵∠APN＝∠BPG，∴∠CNH＝∠BPG，结论正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠MNC，结论正确，不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠DNG＝∠BPG，∵∠BPG≠∠AME，∴∠DNG与∠AME数量关系不明确，故无法判断，结论错误，符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠END，结论正确，不符合题意；
故选：C．
总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等解答．
3．（2019•泸州）如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（　　）

A．40° B．50° C．45° D．60°
思路引领：根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
解：∵AC∥BD，∠B＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∵BC⊥DE，
∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACB＝40°．
4．（2020•吴中区二模）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为　 　．

思路引领：根据平行线性质求出∠CAB，根据角平分线求出∠EAB，根据平行线性质求出∠AED即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAB＝110°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=12∠CAB＝55°，
∴∠AED＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
总结提升：本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021春•罗湖区 期末）如图，DA平分∠BDF，∠3＝∠4，若∠1＝50°，∠2＝130°，则∠CBD＝　 　°．

思路引领：利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD＝∠EBC，可得结果．
解：∵∠1＝50°，
∴∠DBE＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，
∵∠2＝130°，
∴∠DBE＝∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4＝∠ADF，
∵∠3＝∠4，
∴∠EBC＝∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB＝∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠3＝∠ADF，
∴∠CBD＝∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．
故答案为：65．

总结提升：本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的性质等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
考点2 综合运用平行线的性质和判定
6．（2022春•右玉县期中）在横线处填写依据：
如图所示．已知：EF⊥AC．垂足为点F，DM⊥AC，垂足为点M，DM的延长线交AB于点B，且∠1＝∠C，点N在AD上，且∠2＝∠3，试说明AB∥MN．
解∵EF⊥AC，DM⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90° （ 　 　）
∴EF∥DM （ 　 　）
∴∠3＝∠CDM （ 　 　）
∵∠3＝∠2（已知），
∴∠2＝∠CDM（等量代换），
∴MN∥CD （ 　 　）
∴∠AMN＝∠C （ 　 　）
∵∠1＝∠C（已知），
∠1＝∠AMN（等量代换），
∴AB∥MN （ 　 　）．

思路引领：由垂直的定义可得∠CFE＝∠CMD＝90°，从而可判定EF∥DM，则有∠3＝∠CDM，故可求得∠2＝∠CDM，则MN∥CD，可得∠AMN＝∠C，可求得∠1＝∠AMN，即可判定AB∥MN．
解：∵EF⊥AC，DM⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90° （垂直的定义），
∴EF∥DM （同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠CDM （两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠2（已知），
∴∠2＝∠CDM（等量代换），
∴MN∥CD （内错角相等，两直线平行），
∴∠AMN＝∠C （两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠C（已知），
∠1＝∠AMN（等量代换），
∴AB∥MN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
总结提升：本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是明确平行线的判定定理与性质，并灵活运用．
7．（2018春•红花岗区校级期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？说明理由．

思路引领：根据平行线的判定证得DE∥BC，由平行线的性质得到∠1＝∠DCB，由等量代换得∠DCB＝∠2，根据平行线的判定可证得结论．
解：CD与FG平行，
理由如下：
∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠DCB＝∠2（等量代换），
∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行）．
总结提升：此题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．
8．（2020春•舒兰市期末）如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠MGH＝∠MEF．
求证：∠MEF＝∠GHN．

思路引领：延长ME交CD于P点，然后由AB∥CD．可得∠1＝∠3，等量代换易得∠2＝∠3，由平行线的判定定理可得ME∥HN，易得∠MGH＝∠GHN，等量代换易得结论．
证明：延长ME交CD于点P，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴ME∥HN，
∴∠MGH＝∠GHN，
∵∠MGH＝∠MEF，
∴∠MEF＝∠GHN．

总结提升：此题考查了平行线的性质与判定，熟记同位角相等⇔两直线平行，内错角相等⇔两直线平行，同旁内角互补⇔两直线平行是解题的关键．
三、易错题
易错点：动态问题因考虑不周导致漏解
9．（2022春•黔南州期末）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有 　 　次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．

思路引领：分8种情况讨论，即可求解．
解：分8种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；
综上所述：共有8次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．
故答案为：8．


总结提升：本题考查旋转的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．
四、拔尖角度
角度1 平行线与角平分线、垂线综合
10．（2022春•柘城县期末）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是 　 　．

思路引领：根据平行线的性质解答即可．
解：∵CD∥AB，∠D＝110°，
∴∠AOD+∠D＝180°，∠BOD＝∠D＝110°，
∴∠AOD＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°．
故答案为：35°．
总结提升：此题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
11．（南通中考）如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE＝ 　度．

思路引领：依据∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，可得∠AOC＝∠BOC＝20°，再根据CD⊥OA于点D，CE∥OB，即可得出∠DCP＝90°+20°＝110°，∠PCE＝∠POB＝20°，依据∠DCE＝∠DCP+∠PCE进行计算即可．
解：∵∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝20°，
又∵CD⊥OA于点D，CE∥OB，
∴∠DCP＝90°+20°＝110°，∠PCE＝∠POB＝20°，
∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝110°+20°＝130°，
故答案为：130．
总结提升：本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
12．（2021春•茅箭区期末）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，∠1＝∠2，∠C+∠ADE＝90°．
（1）求证：DE∥AC；
（2）判断EF与BC的位置关系，并证明你的猜想．

思路引领：（1）根据垂直的定义得到∠1+∠C＝90°，等量代换得到∠1＝∠ADE，于是得到结论；
（2）等量代换得到∠2＝∠ADE，根据平行线的性质即可得到结论．
（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠1+∠C＝90°，
∵∠C+∠ADE＝90°，
∴∠1＝∠ADE，
∴DE∥AC；
（2）解：EF⊥BC，
理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ADE，
∴∠2＝∠ADE，
∴EF∥AD，
∴∠EFD＝∠ADC＝90°，
∴EF⊥BC．
总结提升：本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
13．如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M、N，MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，那么MG与NH平行吗？为什么？

思路引领：首先根据两直线平行，内错角相等可得∠BMF＝∠CNE；再由MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，结合上步分析可得∠1＝∠2；最后根据上述分析结合内错角相等，两直线平行，即可解答本题．
解：MG与NH平行．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BMF＝∠CNE，
∵MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，
∴∠1=12∠BMF，∠2=12∠CNE，
∴∠1＝∠2，
∴MG∥NH．
总结提升：此题考查的是平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
角度2 三角尺、直尺为背景的平行线问题
14．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（　　）

A．62° B．56° C．28° D．72°
思路引领：由两锐角互余的性质可求∠DAC度数，由平行线的性质可求解．
解：如图，标注字母，

由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAC＝62°，
故选：A．
总结提升：本题考查了平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
15．（2021春•兰陵县期中）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的余角度数是 　．

思路引领：根据平行线的性质和直角三角形的性质求出∠2＝50°，根据余角的定义解答即可．
解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠CAB＝20°+30°＝50°，
∴∠2的余角度数是90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．也考查了余角的定义．
16．（2021•岳阳模拟）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　 　．

思路引领：由平行线的性质求出∠2＝∠3＝37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1＝53°．
解：如图所示：

∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
总结提升：本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，角的和差相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是平行线的性质，垂直的性质在学习工具中的应用．
17．（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
思路引领：直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．
18．（2022春•湖北期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝56°，则∠1的度数等于（　　）

A．54° B．44° C．24° D．34°
思路引领：根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，可得∠3＝∠2＝56°，然后用90°减去∠3的度数，求出∠1的度数等于多少即可．
解：如图，
，
∵两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，
∴∠3＝∠2＝56°，
又∵∠1+∠3＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°﹣56°＝34°，
即∠1的度数等于34°．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了平行线性质定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
19．（2022•伊宁市模拟）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（　　）

A．90° B．75° C．65° D．60°
思路引领：根据EF∥BC得出∠FDC＝∠F＝30°，进而得出∠1＝∠FDC+∠C即可．
解：如图，

∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠F＝30°，
∴∠1＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，
故选：B．
总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据EF∥BC得出∠FDC的度数．
角度3 折叠问题
20．（2022春•广水市期末）如图所示，将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是 　 　．

思路引领：根据矩形的性质可得DG∥EF，从而利用平行线的性质求出∠DBA的度数，再根据折叠的性质可求出∠DBC的度数，然后利用平行线的性质，即可解答．
解：如图：

∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴∠DBA+∠CAB＝180°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠DBA＝180°﹣∠CAB＝150°，
由折叠得：
∠DBC=12∠DBA＝75°，
∵DG∥EF，
∴∠DBC＝∠ACB＝75°，
故答案为：75°．

总结提升：本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（2018春•高安市校级月考）如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．

思路引领：由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝55°，由题意知∠GEF＝∠DEF＝55°，则可求得∠2＝∠GED＝110°．由邻补角的性质可求得∠1的值．
解：
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°，
由对称性知∠GEF＝∠DEF，
∴∠GEF＝55°，
∴∠GED＝110°，
∴∠1＝180°﹣110°＝70°，
∴∠2＝∠GED＝110°．
总结提升：本题考查了翻折的性质，对应角相等及平行线的性质、邻补角的性质．
角度4 “拐点折线”问题
22．（2021春•饶平县校级期末）如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝　 　°．

思路引领：首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°．
故答案为：360．

总结提升：此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
23．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）

A．15° B．25° C．30° D．45°
思路引领：根据平行线的性质以及外角和定理，可求出其值．
解：∵CE∥DF，
∴∠CEA+∠DFB＝180°，
∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，
∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．
故选：C．
总结提升：本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和定理，综合性较强，难度适中．
24．（2022春•洛阳期中）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠ECA+∠BDF＝（　　）

A．30° B．35° C．36° D．40°
思路引领：首先由直线CE∥DF，根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠CEA+∠F＝180°，然后由∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，利用三角形外角的性质，求得答案．
解：如图，∵CE∥DF，
∴∠CEA+∠F＝180°，
∵∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
∴∠1+∠CEA＝∠CAB＝125°，∠2+∠F＝∠ABD＝85°，
∴∠1+∠2＝∠CAB+∠ABD﹣（∠CEA+∠F）＝30°．
故选：A．

总结提升：此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．注意掌握整体思想的应用是解此题的关键．
25．（2022•南京模拟）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为（　　）

A．55° B．45° C．60° D．50°
思路引领：根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角的性质即可解答．
解：延长ED交BC于点M，如图：

∵AB∥DE，∠B＝75°，
∴∠BMD＝∠B＝75°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°，
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∠CDE＝150°．
∴∠C＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．
故选：B．
总结提升：本题考查了平行线的性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质、邻补角的关系、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
26．（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
思路引领：作BD∥AE，如图，利用平行线的传递性得到BD∥CF，再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，则∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．
解：作BD∥AE，如图，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∵BD∥AE，
∴∠ABD＝∠A＝120°，
∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，
∵BD∥CF，
∴∠C+∠DBC＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．

总结提升：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．
27．（2021春•西平县期末）已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2中，∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM=1n∠ABF，∠CDM=1n∠CDF，设∠E＝m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M＝ 　．

思路引领：（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE＝280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF＝140°，从而得到∠BFD的度数；
（2）先由已知得到∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E，∠M＝∠ABM+∠CDM，等量代换，即可；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E＝360°，将∠E＝m°代入可得∠M=360°−m°2n．
解：（1）作EG∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°
∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝80°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于E，
∴∠ABF+∠CDF＝140°，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝140°；

（2）∵∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，
∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E＝360°，
∵∠M＝∠ABM+∠CDM，
∴6∠M+∠E＝360°．

（3）由（2）结论可得，
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E＝360°，∠M＝∠ABM+∠CDM，
解得：∠M=360°−m°2n．
故答案为：∠M=360°−m°2n

总结提升：本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．