初中数学中考复习 2020年中考数学一轮专项复习——阅读、新定义问题（含详细解答）

这是一份初中数学中考复习 2020年中考数学一轮专项复习——阅读、新定义问题（含详细解答），共20页。试卷主要包含了5B．7，阅读下面的材料，1)等内容，欢迎下载使用。
2020年中考数学一轮专项复习——阅读、新定义问题
1. (2019济宁中考 第10题 )已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
2．（2019遂宁中考 第14题 4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　 　．


3．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．

4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=　　寸，CD=　　寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．



5.（2019山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB.
∴，∴②
任务：（1）观察发现：， （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.











6.（2019济宁中考 第21题）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝　﹣　，f（﹣4）＝　﹣　；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　增　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．








7 .(2019黔东南州中考 第25题12分)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下
对于三个实数，用表示这三个教的平均数，用表示这 三个教中最小的数，例如：，，清结合上述材料，解决下列问题：
（1）①____________,
②____________；
（2）若，则的取值范围为___________:
（3）若求的值
（4）如果，求的值。





8. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数，给出如下定义：当时，
将以点P为圆心，为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．
例如，在如图1中，点P(1,1)的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P1(2,1)，P2(1,)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______．
（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直
线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图3，已知点A的(0,3)，B(1,m)，反比例函数的图象经过点B，直线l与直线AB关
于y轴对称．
①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为 ．
②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆
心，hR为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值.










9．（1）阅读理解，如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则　 　．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．









10.(2019·荆州中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．


11．(2019·镇江中考)【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数；
(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．(π取3.1)






参考答案
1. (2019济宁中考 第10题 )已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
【解析】∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．
2．（2019遂宁中考 第14题 4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　 　．
【解析】：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i＝6﹣i﹣i2＝6﹣i+1＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．

3．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于点E，设AE=x，BE=y，用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度），通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．

【考点】垂径定理的应用．
【专题】数形结合．
【分析】此题中隐含的不等关系：直径是圆中最长的弦，所以AB≥CD．
首先可以表示出AB=x+y，再根据相交弦定理的推论和垂径定理，得CD=2CE=2．
【解析】∵直径AB⊥弦CD于点E，
∴CE=DE，
根据相交弦定理的推论，得CE2=AE•BE，则CE=，
∴CD=2CE=2．
又∵AB=x+y，且AB≥CD，
∴x+y≥2．
【点评】本题考查：直径是圆中最长的弦；相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用．
4．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=　1　寸，CD=　10　寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．
【解析】根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；
故答案为：1，10；
（2）连接CO，如图所示：
∵BO⊥CD，
∴．
设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，
在Rt△CAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．
∴（x﹣1）2+52=x2．
解得：x=13，
∴⊙O的直径为26寸．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．
5.（2019山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴①
如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB.
∴，∴②
任务：（1）观察发现：， （用含R，d的代数式表示）；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

【解析】.解：（1）R-d（2）BD=ID
理由如下：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID
（3）由（2）知：BD=ID∴IA·ID=DE·IF
又∵DE·IF=IM·IN，
∴，
∴
∴，
∴
6.（2019济宁中考 第21题）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝　﹣　，f（﹣4）＝　﹣　；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　增　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【解析】（1）∵f（x）＝+x（x＜0），
∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣
故答案为：﹣，﹣（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数
故答案为：增（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）
∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数
7 .(2019黔东南州中考 第25题12分)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下
对于三个实数，用表示这三个教的平均数，用表示这 三个教中最小的数，例如：，，清结合上述材料，解决下列问题：
（1）①____________,
②____________；
（2）若，则的取值范围为___________:
（3）若求的值
（4）如果，求的值。



8. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数，给出如下定义：当时，
将以点P为圆心，为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．
例如，在如图1中，点P(1,1)的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P1(2,1)，P2(1,)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______．
（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直
线ON与点M的倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图3，已知点A的(0,3)，B(1,m)，反比例函数的图象经过点B，直线l与直线AB关
于y轴对称．
①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为 ．
②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆
心，hR为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值.


【解析】（1）解：P1，3；
（2）解：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切.
证明：设点M的坐标为（x，0），过M点作MP⊥ON于点P，
∴ 点M的倍相关圆半径为.
∴ OM=x .
∵∠MON＝30°，MP⊥ON,
∴ MP＝=.
∴ 点M的倍相关圆半径为MP.
∴直线ON与点M的倍相关圆相切.
（3）① 点C的3倍相关圆的半径是3;
② h的最大值是.

9．（1）阅读理解，如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则　 　．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．故答案为：+＞．

（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．

10. (2019·荆州中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
【解析】：(1)∵y＝x2－4，∴其顶点坐标为(0，－4)，
∵y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，∴(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图象上，∴－4＝0＋p.∴p＝－4，∴一次函数为：y＝－x－4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0，－4)，(－4，0)，∴直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积为：×4×4＝8；
(2)设函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝n，
∴|x1－x2|＝＝，
∵函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，∴＝4，解得，n＝－3，
∴函数y＝x2＋2x＋n为：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴其顶点坐标为(－1，－4)，
∵y＝x2＋2x＋n是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数，
∴－4＝－m－3，∴m＝1.
11．(2019·镇江中考)【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数；
(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．(π取3.1)

【解析】：(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：

则∠DHC＝67°，∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°－67°＝23°，
∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°－23°＝67°；
(2)同(1)可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB－∠POA＝67°－31°＝36°，
∴＝＝3968(km).