2023信阳普通高中高三第二次教学质量检测试题（1月）数学（理）含答案

★2023 年1月 16日

2022-2023学年普通高中高三第二次教学质量检测

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第I卷

一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，那么等于（    ）

A.{-2,0,1}    B.{-1,0,2}    C.{-2,-1,0}    D.{0,1,2}

2.下列命题中，错误的命题有（    ）

A.函数f（x）=x与不是同一个函数

B.命题“，”的否定为“，”

C.设函数，则f(x)在R上单调递增

D.设x，，则“x<y”是“”的必要不充分条件

3.已知角的终边在直线3x-4y=0上，则等于（    ）

A.    B.    C.1    D.

4.在等差数列中，，，则等于（    ）

A.19    B.18    C.17    D.20

5.如图所示的程序框图，输入3个数，，，则输出的a为（    ）

A.0    B.    C.    D.

6.源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（    ）

A.18种    B.36种    C.72种    D.108种

7.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A､B两点，且，则线段AB的中点到y轴的距离为（    ）

A.1    B.4    C.3    D.7

8.已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+6）+f（x）=2f（3）且f（1-x）+f（x-1）=0，则f（2022）等于（    ）

A.-3    B.0    C.3    D.6

9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

10.某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（    ）

①    ②    ④    ④

A.①②④    B.②③④    C.②③    D.①②③④

11.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若点）满足，则该双曲线的离心率是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ）

A.    B.1    C.    D.

第Ⅱ卷

二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置

13.若复数(1-2)(a+)是纯虚数，则实数a的值为______.

14.的展开式中的系数为_____________.

15.已知是内部（不含边界）一点，若，，则__________.

16.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片，直径，需要剪去菱形，可以经过两次对折､沿裁剪､展开后得到.若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长______cm.

三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，a+b=2，求△ABC的面积.

18.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生､女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.

（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：.

19.在数列中，，.

（1）求；

（2）设为的前n项和，求的最小值.

20.（本小题满分12分）已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）P为椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，PB分别交直线x=-6于M，N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q.

（i）求证：直线AP，AN的斜率之积为定值；

（ii）判断M，B，Q三点是否共线，并说明理由.

21.已知函数.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）设函数，若，求的值.

选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为.

（1）写出曲线C的普通方程，并判断点P与曲线C的位置关系；

（2）设直线与曲线C交于M､N两点，求的值.

23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知a，b，c为正数

（1）求的最小值；

（2）求证：.

2022-2023 学年普通高中高三第二次教学质量检测

数学理科参考答案

一、选择题

1.B    2.C    3.A    4.C    5.D    6.B    7.C    8.B    9.D    10.B    11.A    12.C

二、填空题

13.    14.9    15.    16.

三､解答题

17.（1）因为，由正弦定理可得，

又，所以，

因为，则sinA>0，所以，因为，所以

（2）因为，，

由余弦定理可得，整理得，

又a+b=2，解得a=b=1，

所以

18.（1）解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，

则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，

男生中对冰壶运动有兴趣的有人，

所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，

所以列联表：全科免费下载公众号《高中僧课堂》

，

有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.

（2）解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数､女生人数分别为：

（人，（人，

则的所有可能取值为，，，

所以，

，

，

故的分布列是：

故.

19.（1）由题意，，则，两式相减得：.

又，则.于是，，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，，…是以a2为首项，2为公差的等差数列.

当n为奇数时，，

当n为偶数时，.

于是

（2）当n为偶数时，，

故当n=22时，的最小值为-242.

当n为奇数时，，

对应函数的对称轴为n=22，故当n=21或n=23时，取得最小值.

于是，当n为偶数时，取得最小值为-242；当n为奇数时，取最小值为-243.

综上：最小值为-243.

20.解：（1）由题意得a=2，，

所以，，

所以椭圆C的方程为.

（2）（i）证明：设，

因为P在椭圆C上，所以.

因为，，

所以直线BP的方程为.

所以N点的坐标为.

∴.

∴.

（ii）M，B，Q三点共线.

设，易得M（-6，-4k）.

由（i），所以直线AN的方程为.

联立，可得.

解得Q点的纵坐标为，

所以Q点的坐标为

所以，，.

由于，

所以M，B，Q三点共线.

21.（1）由题意知

因为函数在上单调递增，所以，

即对恒成立

设，则

当时，

当时，

所以函数在上单调递增

所以

（2）由题知

所以，

因为，所以，

即为的最小值，为的一个极小值点，

所以，解得

当时，

所以

①当时，（当且仅当时等号成立）

所以在上单调递增

②当时，若，；

若，

所以在上单调递减

综上，在上单调递减，在上单调递增

所以当时，

22.解：（1）曲线的参数方程为：（为参数），

∴消去参数可得，，

∵点P的极坐标为，且，，

∴点P的直角坐标为，

将代入曲线的普通方程的左边得，

故在曲线内部.

（2）直线的极坐标方程对应的普通方程为：，

∴在直线上，

故可设直线的参数方程为（为参数），

与曲线的普通方程联立，

化简整理可得，，，设两根为，，

由韦达定理可得，，

故.

注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分!

23.（1）解：因为，当且仅当“”时等号成立，

所以当时，的最小值为3.

（2）证明：因为，同理，，

所以三式相加得，

所以，当且仅当“”时等号成立.