备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点01 实数运算及规律探究问题

考点01  实数运算及规律探究问题

考点精讲

类型一：有理数

考点01有理数的概念

1．有理数的概念：整数和分数统称有理数

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

2.有理数大小的比较

（1）正数的绝对值越大，这个数越大；

（2）正数永远比0大，负数永远比0小；

（3）正数大于一切负数；

（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；

（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.

考点02 相反数、绝对值和倒数的概念

1．相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0  a+b=0  a、b互为相反数.

2.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；

(3)若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

(4)|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

(5)|a|=|a|=a；

(6)|a+b|≤|a|+|b|     |a-b|≥||a|-|b||    |a|+|b|≥|a+b|    |a|+|b|≥|a-b|

【拓展】 |a|≥0  b≥0

（1）若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

（2）若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

（3）若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0。

【绝对值问题总结】

（1）利用绝对值的定义及性质解决的问题

（2）简单的绝对值方程问题

（3）化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）问题

（4） 绝对值几何意义的使用问题

3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；

若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、b互为负倒数.

考点03乘方

1．乘方的定义

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

2．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

类型二：无理数

考点01实数

1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。

3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等。

4.．算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。

5．平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x叫做a的平方根。

6．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，；负数没有平方根。

7．一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a 的三次方根）。

8．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

考点02二次根式

1．二次根式的定义：形如式子（≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0

3.二次根式的性质

（1）是非负数；

（2）（）2= （≥0）；   

（3）

（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，

即 （a≥0,b≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即

（a≥0,b>0）。反之，

考点03分母有理化

1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；  ⑶分母中不含根式。

2．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

4．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

6．找有理化因式的方法：

（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：① 的有理化因式为 ，② 的有理化因式为 。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ，的有理化因式为

类型三：实数的混合运算

1．加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a ；

（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

2．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

3.乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

4.乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

5．除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.

6．乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,

当n为正偶数时: (-a)n =an   或 (a-b)n=(b-a)n .

7. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

8．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
（3）合并同类二次根式

9． 二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

（a≥0，b≥0）。

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即

（a≥0，b＞0）。

10.常见类型

常见类型一：．

常见类型二：．

11.特殊值的三角函数

类型四：规律问题

1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．

2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．

3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．

4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．

5.解题方法

规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．

真题解析

例题

1．（2022·四川泸州市·模拟真题）2022的相反数是（    ）

A．-2022 B．2022 C． D．

【答案】A

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【详解】解：2022的相反数是：-2022．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．

2．（2021·浙江模拟真题）实数的绝对值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

【详解】解：实数-2的绝对值是2，
故选：B．

【点睛】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．

3．（2021·浙江金华市·模拟真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ）

A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折

C．先提价，再降价 D．先提价，再降价

【答案】B

【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．

【详解】设原件为x元，

∵先打九五折，再打九五折，

∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，

∵先提价，再打六折，

∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，

∵先提价，再降价，

∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，

∵先提价，再降价，

∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，

∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x

故选B

【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．

4．（2021·广东模拟真题）下列实数中，最大的数是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】

直接根据实数的大小比较法则比较数的大小即可．

【详解】

解：，，，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

5．（2021·四川南充市·模拟真题）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．

【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，

∴和互为相反数，

∴+=0，

解得m=-1．

故选D．

【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．

突破提升

一、单选题

1．（2021·广西河池·中考真题）下列4个实数中，为无理数的是（     ）

A．-2 B．0 C． D．3.14

2．（2021·辽宁朝阳·中考真题）在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是（       ）

A．2 B．﹣3 C． D．0

3．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）

A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）

4．（2021·广西桂林·中考真题）有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（　　）

A．3 B．1 C．﹣2 D．4

5．（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（       ）

A． B． C．0 D．

6．（2020·辽宁盘锦·中考真题）在有理数1，，-1，0中，最小的数是（       ）

A．1 B． C．-1 D．0

7．（2016·江苏盐城·中考真题）下列实数中，是无理数的为（ ）

A．﹣4 B．0.101001 C． D．

8．（2013·海南·中考真题）下列各数中，与的积为有理数的是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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二、填空题

9．（2021·湖南永州·中考真题）在中无理数的个数是_______个．

10．（2021·福建·中考真题）写出一个无理数x，使得，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）