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    第九章 章末复习提升课

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    这是一份第九章 章末复习提升课,共14页。

    章末复习提升课



          抽样方法
     一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如下表:

    轿车A
    轿车B
    轿车C
    舒适型
    100
    150
    z
    标准型
    300
    450
    600
    按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类轿车有10辆.
    (1)求z的值;
    (2)用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本,求舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆?
    【解】 (1)设该厂本月生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2 000,则z=2 000-100-300-150-450-600=400.
    (2)设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以由(1)知=,解得m=2,所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.

    与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略
    (1)确定抽样比.可依据各层总数与样本数之比,确定抽样比.
    (2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比,再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数.
    (3)求各层的样本数.可依据题意,求出各层的抽样比,再求出各层样本数. 

    1.某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生,其中高一年级学生160名,高二年级学生180名,为了解学生身体状况,现采用分层随机抽样方法进行调查,在抽取的样本中高二学生有32人,则该样本中高三学生人数为______.
    解析:高三年级学生人数为430-160-180=90,设高三年级抽取x人,由分层随机抽样可得=,解得x=16.
    答案:16
    2.某单位有职工960人,其中青年职工420人,中年职工300人,老年职工240人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为14人,则样本量为______.
    解析:因为分层随机抽样的抽样比应相等,所以=,样本量==32.
    答案:32

          频率分布直方图的应用
     下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位:cm):
    区间界限
    [122,126)
    [126,130)
    [130,134)
    [134,138)
    [138,142)
    人数
    5
    8
    10
    22
    33
    区间界限
    [142,146)
    [146,150)
    [150,154)
    [154,158]

    人数
    20
    11
    6
    5

    (1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数);
    (2)画出频率分布直方图;
    (3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.
    【解】 (1)列出样本频率分布表:

    分组
    频数
    频率
    [122,126)
    5
    0.04
    [126,130)
    8
    0.07
    [130,134)
    10
    0.08
    [134,138)
    22
    0.18
    [138,142)
    33
    0.28
    [142,146)
    20
    0.17
    [146,150)
    11
    0.09
    [150,154)
    6
    0.05
    [154,158]
    5
    0.04
    合计
    120
    1.00
    (2)画出频率分布直方图,如图所示.

    (3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为
    =≈0.19.
    所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.

    与频率分布直方图有关问题的常见类型
    及解题策略
    (1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据,可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1可求出其他数据.
    (2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据,可利用图形及某范围结合求解. 
     对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图,如图所示:
    分组
    频数
    频率
    [10,15)
    10
    0.25
    [15,20)
    24
    n
    [20,25)
    m
    p
    [25,30]
    2
    0.05
    合计
    M
    1

    (1)求表中M,p及图中a的值;
    (2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数.
    解:(1)由分组[10,15)的频数是10,频率是0.25,知
    =0.25,
    解得M=40.
    因为频数之和为40,所以10+24+m+2=40,
    得m=4,p===0.10.
    因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,
    所以a==0.12.
    (2)因为该校高三学生有240人,分组[10,15)的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数为240×0.25=60.

          众数、中位数、平均数、方差与标准差的应用
     某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,数据如下(单位:分):

    95
    82
    88
    81
    93
    79
    84
    78

    83
    75
    80
    80
    90
    85
    92
    95
    (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;
    (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.
    【解】 (1) 甲=(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分),
    乙=(83+75+80+80+90+85+92+95)=85(分).
    甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.
    (2)由(1)知甲=乙=85分,所以
    s=[(95-85)2+(82-85)2+…+(78-85)2]=35.5,
    s=[(83-85)2+(75-85)2+…+(95-85)2]=41.
    ①从平均数看,甲、乙均为85分,平均水平相同;
    ②从中位数看,乙的中位数大于甲,乙的成绩好于甲;
    ③从方差来看,因为甲=乙,s<s,所以甲的成绩较稳定;
    ④从数据特点看,获得85分以上(含85分)的次数,甲有3次,而乙有4次,故乙的成绩好些;
    ⑤从数据的变化趋势看,乙后几次的成绩均高于甲,且呈上升趋势,因此乙更具潜力.
    综上分析可知,甲的成绩虽然比乙稳定,但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析,乙具有明显优势,所以应派乙参赛更有望取得好成绩.

    用样本的数字特征估计总体的数字特征
    应注意的问题
    (1)众数、中位数、平均数的含义及求法.
    (2)方差、标准差的计算.
    (3)中位数用来描述分类变量的中心位置,众数体现了数据的最大集中点,平均数反映样本数据的总体水平.
    (4)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,数据的离散程度较小. 
     为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机抽取了该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)列表如下:

    26
    28
    31
    29
    31

    28
    30
    29
    31
    32
    以下结论正确的是(  )
    ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;
    ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;
    ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;
    ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
    A.①③          B.①④
    C.②③ D.②④
    解析:选B.法一:因为甲==29,乙==30,
    所以甲<乙,
    又s==,s==2,
    所以s甲>s乙.故可判断结论①④正确.
    法二:甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间,且数据波动较大,而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间,且数据波动较小,可以判断结论①④正确,故选B.

    1.(2019·河北省沧州市期末考试)某学校高一、高二年级共有1 800人,现按照分层随机抽样的方法,抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人,则该校高一年级学生共有(  )
    A.420人         B.480人
    C.840人 D.960人
    解析:选C.由题意需要从1 800人中抽取90人,所以抽样比为=.又样本中高一年级学生有42人,所以该校高一年级学生共有42×20=840(人).故选C.
    2.(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,样本落在[5,10]内的频数为(  )

    A.50 B.40
    C.30 D.20
    解析:选D.第一个小矩形的面积为0.04×5=0.2, 所以样本落在[5,10]内的频数为0.2×100=20.故选D.
    3.甲、乙两个城市某年4月中旬,每天的最高气温统计图如图所示,这9天里,气温比较稳定的是________.

    解析:从折线统计图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大,而甲城市的气温相对来说较稳定,变化基本不大.
    答案:甲城市
    4.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)
    解析:假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则所以
    又s=

    ==1,
    所以(x1-2)2+(x2-2)2=2.
    同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2.
    由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.
    答案:1,1,3,3

    [A 基础达标]
    1.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层随机抽样的方法抽取样本.某中学共有学生2 000名,从中抽取了一个容量为200的样本,其中男生103名,则该中学共有女生为(  )
    A.1 030名         B.97名
    C.950名 D.970名
    解析:选D.由题意,知该中学共有女生2 000×=970(名),故选D.
    2有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
    [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9
    [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
    [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5] 3
    则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为(  )
    A.             B.
    C. D.
    解析:选B.由题意知,样本量为66,而落在[31.5,43.5]内的样本个数为12+7+3=22,故总体中大于或等于31.5的数据约占=.
    3.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各有1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(  )
    A.85,85,85 B.87,85,86
    C.87,85,85 D.87,85,90
    解析:选C.因为得85分的人数最多,为4人,所以众数为85,中位数为85,平均数为(100+95+90×2+85×4+80+75)=87.
    4.某商场在五一促销活动中,对5月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时到12时的销售额为  (  )

    A.6万元 B.8万元
    C.10万元 D.12万元
    解析:选C.设11时至12时的销售额为x万元,由于频率分布直方图中各小组的组距相同,故各小矩形的高度之比等于频率之比,也等于销售额之比,所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为=,
    所以有=,解得x=10,故选C.
    5.某学校举行的运动会上,七位评委为某位体操选手打出的分数为79,84,84,86,84,87,93,则去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(  )
    A.84,4.84 B.84,1.6
    C.85,1.6 D.85,4
    解析:选C.最高分是93分,最低分是79分,所剩数据的平均数为=80+=85,方差为s2=×[(84-85)2×3+(86-85)2+(87-85)2]=1.6,故选C.
    6.12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________,80%分位数为________.
    解析:因为8×25%=2,8×80%=6.4.所以25%分位数为==19,80%分位数为x7=32.
    答案:19 32
    7.如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图,估计这批产品的平均长度为________mm.

    解析:根据频率分布直方图,估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03)×5=22.75 mm.
    答案:22.75
    8.下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校共有学生3 000人,由统计图可得该校共捐款为________元.

    解析:由扇形统计图可知,该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人,由条形统计图知,该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元,所以共捐款15×960+13×990+10×1 050=37 770(元).
    答案:37 770
    9.为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次环保知识竞赛,共有900名学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:

    组号
    分组
    频数
    频率
    1
    [50,60)
    4
    0.08
    2
    [60,70)
    8
    0.16
    3
    [70,80)
    10
    0.20
    4
    [80,90)
    16
    0.32
    5
    [90,100]


    合计



    (1)填充频率分布表中的空格;
    (2)如图,不具体计算,补全频率分布直方图;

    (3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
    解:(1)=50,即样本量为50.
    第5组的频数为50-4-8-10-16=12,
    从而第5组的频率为=0.24.
    又各小组频率之和为1,所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.
    (2)根据小长方形的高与频数成正比,设第一个小长方形的高为h1,第二个小长方形的高为h2,第五个小长方形的高为h5.
    由等量关系得=,=,补全的频率分布直方图如图所示.

    (3)50名学生竞赛的平均成绩为
    ==79.8≈80(分).
    利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成绩约为80分.
    [B 能力提升]
    10.某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后,并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示).据此估计此次考试成绩的众数是________.

    解析:众数是一组数据出现次数最多的数,结合题中频率分布折线图可以看出,数据“115”对应的纵坐标最大,所以相应的频率最大,频数最大,据此估计此次考试成绩的众数是115.
    答案:115
    11.某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

    (1)频率分布直方图中x的值为________;
    (2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1 200名,估计新生中可以申请住校的学生有________名.
    解析:(1)由频率分布直方图,可得20x+0.025×20+0.006 5×20+0.003×2×20=1,所以x=0.012 5.
    (2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20=0.12,因为1 200×0.12=144,所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校.
    答案:(1)0.012 5 (2)144
    12.共享单车入驻泉州一周年以来,因其“绿色出行,低碳环保”的理念而备受人们的喜爱,值此周年之际,某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息,在全市范围内发放5 000份调查问卷,回收到有效问卷3 125份,现从中随机抽取80份,分别对使用者的年龄段、26~35岁使用者的使用频率、26~35岁使用者的满意度进行汇总,得到如下三个表格:
    表(一)
    使用者
    年龄段
    25岁
    以下
    26岁~
    35岁
    36岁~
    45岁
    45岁
    以上
    人数
    20
    40
    10
    10
    表(二)
    使用
    频率
    0~6
    次/月
    7~14
    次/月
    15~22
    次/月
    23~31
    次/月
    人数
    5
    10
    20
    5
    表(三)
    满意度
    非常满意
    (9~10)
    满意
    (8~9)
    一般
    (7~8)
    不满意
    (6~7)
    人数
    15
    10
    10
    5
    (1)依据上述表格完成下列三个统计图形:



    (2)某城区现有常住人口30万,请用样本估计总体的思想,试估计年龄在26岁~35岁之间,每月使用共享单车在7~14次的人数.
    解:(1)


    (2)由表(一)可知:年龄在26岁~35岁之间的有40人,占总抽取人数的一半,用样本估计总体的思想可知,某城区30万人口中年龄在26岁~35岁之间的约有30×=15(万人);又年龄在26岁~35岁之间每月使用共享单车在7~14次之间的有10人,占总抽取人数的,用样本估计总体的思想可知,年龄在26岁~35岁之间15万人中每月使用共享单车在7~14次之间的约有15×=(万人),所以年龄在26岁~35岁之间,每月使用共享单车在7~14次之间的人数约为万人.
    [C 拓展探索]
    13.某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球,现随机抽样检查20只,测得每只球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下:
    40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
    40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
    40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
    39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
    (1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;

    分组
    频数
    频率

    [39.95,39.97)



    [39.97,39.99)



    [39.99,40.01)



    [40.01,40.03]



    合计



    (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品,若这批乒乓球的总数为10 000只,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数.
    解:(1)频率分布表:

    分组
    频数
    频率

    [39.95,39.97)
    2
    0.10
    5
    [39.97,39.99)
    4
    0.20
    10
    [39.99,40.01)
    10
    0.50
    25
    [40.01,40.03]
    4
    0.20
    10
    合计
    20
    1


    频率分布直方图:

    (2)因为抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有18只,所以合格率为×100%=90%,
    所以10 000×90%=9 000(只).
    即根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格数为9 000只.

    相关试卷

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