2023届江西省临川一中五市九校协作体高三1月第一次联考 数学文试题（word版）

江西省五市九校协作体 2023届第一次联考

数学（文科）试卷

考试时间：120分钟 分值:150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（    ）

A．B．C．D．

2.已知，则=（    ）

A．3   B．-3   C．-2   D．2

3.某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别不同的概率是（    ）

A．B．C．D．

4.已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

5.已知，则（    ）

A．B．C．D．

6.当前疫情阶段，口罩成为热门商品，为了赚钱，小明决定在家制作两种口罩：N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉，制作一只N90口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉，现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉，且一只N95口罩有4元利润，一只N90口罩有3元利润，为了获得最大利润，那么小明应该制作（    ）

A．5只N95口罩，8只N90口罩B．6只N95口罩，6只N90口罩

C．7只N95口罩，6只N90口罩D．6只N95口罩，7只N90口罩

7.2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后．神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的起点．已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭质量（单位：）的函数关系为，若火箭的质量为，最大速度为，则加注的燃料的质量约为（    ）（参考数据：）

A．   B．   C．   D．

8.已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．

9.如图，矩形是圆柱的轴截面，，点在上底面圆周上，且，点为线段的中点，则异面直线与所成为角的余弦值（    ）

A．   B．   C．   D．

10. 已知椭圆C：的右焦点和上顶点分别为，且焦距等于4，的延长线交椭圆于点，,则椭圆C的离心率为（    ）

A．B．C．D．

11.已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（    ）

A．B．C．D．

12.如图，已知等腰垂直等腰梯形,,,

,点分别为的中点，点在线段上，且，点都在球的球面上，则球的半径是（    ）

A．   B．   C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答，第 22 题～

第 23 题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13.在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为62，则被污染的数字为__________．

14.已知数列为等差数列，且，，则__________.

15.中，，，，是上一点且，则的面积为__________.

16.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线上，且,的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率，则_________. 

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。

(一）必考题：共60分

17.(12分)已知各项均为正数的数列满足：，当时，.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设，求数列的前项和.

18.(12分)教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．

根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）

附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，.

19.(12分)如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

20.(12分)已知函数.

(1)若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；

(2)若在处有极大值，求当时的值域.

21.(12分)已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.

(1)求椭圆的离心率；

(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程

以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且．以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求的极坐标方程；

(2)若曲线C的参数方程为（t为参数），求曲线C与交点的极坐标.

23.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）当a＝3时，解不等式；

（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．

江西省五市九校协作体2023届第一次联考

数学（文科）答案

一、选择题   

1-5 D D B A C    6-10  D C D D A  11-12 D B 

二、填空题

13、5       14、       15、     16、

三、解答题

17、

（1）解：数列满足：，当时，，

整理得：，

数列是以1为首项，1为公差的等差数列.。。。。。。6分

（2），，故

，

①，

则②，

①－②得：，

.  。。。。。。12分

18、由表格数据，得，

，。。。。。。2分

所以

，

，

，。。。。。。5分

所以相关系数．

因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强．。。。。。。7分

因为，

所以，

所以y关于x的线性回归方程为．。。。。。。12分

19、

（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；。。。。。。6分

（2）利用，求得点B到平面的距离为。。。。。。12分

20、

（1）是定义域为的奇函数，

∴，即，

故，

，且.

.

当时，，此时在上单调递减，

在上只有1个零点，不合题意.

当时，令，解得，

令，解得或，

在，上单调递减，在上单调递增.

在上有3个零点，

且，

由函数为奇函数，故只需，

即，.

实数的取值范围是.。。。。。。6分

（2），

由已知可得，且，

解得或，

当，时，，.

令，即，解得，

易知是的极小值点，与题意不符；

当，时，，.

令，即，解得，

易知是的极大值点，符合题意，故，.

，

在上单调递增，在上单调递减.

又，，.

在上的值域为.。。。。。。12分

21、

（1）

设椭圆的右焦点为，连接，

根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.

又，所以

而，所以，

在四边形中，，

所以，

在中，根据余弦定理得

即

化简得.

所以椭圆的离心率；。。。。。。5分

（2）

因为椭圆的上顶点为，所以，所以，

又由（1）知，解得，

所以椭圆的标准方程为.

在中，，，

所以，从而，

又为线段的中点，即，所以，

因此，从而，

根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，

联立消去得①，

，

根据韦达定理可得，，

所以

所以，

整理得，解得或.

又直线不经过点，所以舍去，

于是直线的方程为，恒过定点，

该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，

所以直线恒过定点，定点坐标为.。。。。。。12分

22、

（1）对点，设其直角坐标为，则，即其直角坐标为，

故在直角坐标系下的方程为：，

由可得：，

故的极坐标方程为：.。。。。。。5分

（2）由题可得曲线的普通方程为：，联立，

可得，解得或，又，故，则，

即曲线C与交点的直角坐标为，设其极坐标为，

则，，

即曲线C与交点的极坐标为.。。。。。。10分

23、

（1）当a＝3时，即为，

等价于或或，

解得或或，

则原不等式的解集为；。。。。。。5分

（2）不等式的解集非空等价于有解．

由，

（当且仅当时取得等号），

所以，解得，故a的取值范围是．。。。。。。10分