2022-2023学年湖南省益阳市高一上学期六校联考数学期末试题（含答案）

益阳市2022-2023学年六校期末联考

数 学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共40分）

二元一次方程组 的解集是

 A．  B．

 C．  D．

“”是“”的 条件．

 A．充分非必要 B．必要非充分

 C．充要 D．既不充分也不必要

函数 的最小值为

 A．  B．  C．  D．

已知函数 ，则 的值为

 A．  B．  C．  D．

已知 ，，，则

 A．  B．  C．  D．

函数 （ 且 ）的图象大致为

 A． B．

 C． D．

若函数 的值域为 ，则 的取值范围为

 A．  B．  C．  D．

在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为 ， 个感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么 个感染者新的传染人数为 ．已知新冠病毒在某地的基本传染数 ，为了使 个感染者传染人数不超过 ，该地疫苗的接种率至少为

 A．  B．  C．  D．

二、多选题（共20分）

下列命题正确的有

 A．  B．

 C．  D．

已知 ， 为非零实数，且 ，则下列命题不成立的是

 A．  B．  C．  D．

已知函数 ，给出下述论述，其中正确的

 A．当 时， 的定义域为

 B． 一定有最小值

 C．当 时， 的值域为

 D．若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是

已知函数 （）的图象关于直线 对称，则

 A．函数 为奇函数

 B．函数 在 上单调递增

 C．若 ，则 的最小值为

 D．函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象

三、填空题（共20分）

不等式 的解集是．

函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是．

已知 ，若 ，则 ．

函数 ，若有 ，则 的取值范围是．

四、解答题（共70分）

设全集 ，集合 ，（10分）

(1)   求 ，．

(2)  若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．

已知函数 的周期为 ，且图象上一个最低点为 ．（12分）

(1)  求 的解析式；

(2)  当 时，求函数 的最值以及取得最值时 的值．

设函数 ．（12分）

(1)  当 时，解关于 的不等式 ．

(2)  若 对 恒成立，求实数 的取值范围．

北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用 万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 万元，已知建筑第 层楼房时，每平方米建筑费用为 万元．（12分）

(1)  若学生宿舍建筑为 层楼时，该楼房综合费用为 万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出 的表达式．

(2)  为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？

一个半径为 米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每 秒转一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间．（12分）

(1)  以过点 且平行于水轮所在平面与水面的交线 的直线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点 距离水面的高度 （单位：米）表示为时间 （单位：秒）的函数；

(2)  在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点 距离水面的高度不低于 米？

已知 ，．（12分）

(1)  求证：关于 的方程 有解；

(2)  设 ，求函数 在区间 上的最大值；

(3)  对于（）中的 ，若函数 在区间 上是严格减函数，求实数 的取值范围．

答案

一、选择

1.  B

2.  B

3.  C

4.  D

5.  B

6.  C

7.  A

8.  C

二、多选题

9.  C；D

10.  A；B；D

11.  A；C

12.  A；C

三、填空题

13.  

14.  

15.  

16.  

四、解答题

17. 

(1)   ，，

，

．

(2)   ，，

所以 ．

18. 

(1)   ；

(2)   时，最大值为 ， 时，最小值为 ．

19. 

(1)   时，，

，

解得： 或 ，

解集为：．

(2)   ，

若 对 恒成立，

则

解得：，

所以 ．

20. 

(1)  由题意知建筑第 层楼房时，每平方米建筑费用为 万元，

建筑第 层楼房的建筑费用为 （万元），

楼房每开高一层，整层建筑费用提高 （万元），

则建筑第 层楼房的建筑费用为 万元，

建筑 层楼房时，该楼房综合费用为 ，

综上可知，．

(2)  设该楼房每平方米的平均综合费用为 ，

则 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

综上可知，应把楼房建成 层，此时每平方米的平均综合费用最低为 万元．

21. 

(1)   ，；

(2)   ， 秒时间．

22. 

(1)   ，令 ，

则 ．

(2)   ，

当 时，即 时，，

当 时，即 时，

(3)  （方法一），

①令 ，，

当 ，即 时， 恒成立，

所以 ，

因为 在 上是减函数，

所以 ．解得 ．

所以 ．

当 ，即 或 时，．

因为 在 上是减函数，

所以方程 的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且 ，

所以 或

解得 或 ．

所以 或 ．

综上可得，实数 的取值范围为 ．

（方法二），

因为函数 在 上是减函数，

所以 或

即 或

解得 或 ．

所以实数 的取值范围为 ．