2022-2023学年河南省安阳县实验中学高二上学期9月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省安阳县实验中学高二上学期9月月考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年河南省安阳县实验中学高二上学期9月月考数学（理）试题 一、单选题1．已知直线经过两点，那么直线的斜率为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据斜率公式求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为.故选：C2．在平面直角坐标系中，点，，如果直线的倾斜角为45°，那么实数等于（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据斜率公式求解即可.【详解】，解得.故选：B3．圆心为且与直线相切的圆的方程为A． B．C． D．【答案】C【详解】设圆方程，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，，故圆的方程为，故选C.4．的圆心和半径分别为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把圆，化为圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可化为，可得圆心是，半径是.故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其应用，其中解答中把圆的一般方程化为圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．圆与曲线的公共点个数为（  ）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】D【分析】利用几何法直接判断.【详解】圆可化为：，圆心为，半径为.当时，，此时圆心到直线的距离为,所以与圆的无交点；当 时，，此时，所以与圆的无交点；当x=0时，点不在圆上.综上所述：圆与曲线无交点.故选：D6．已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设，，则，，，，，，，即，所以，当时，所以，所以．故选：C．7．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）A．(1，－1,1) B．(1,3，)C．(1，－3，) D．(－1,3，－)【答案】B【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.【详解】对于选项A，，则，故排除A；对于选项B，，则对于选项C，，则，故排除C；对于选项D，，则，故排除D；故选:B8．“”是“直线和直线垂直”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据两条直线垂直的性质再结合充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】直线的斜率为，当时，直线的斜率为，则两条直线垂直，满足充分性.因为“直线和直线垂直”，所以直线的斜率存在，为.所以，解得，不满足必要性.所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.故选：A9．已知空间四个点，，，，则直线AD与平面ABC所成的角为（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量法求出线面角即可.【详解】设平面的法向量为，直线AD与平面ABC所成的角为令，则则故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.10．已知直线过圆的圆心，当原点到直线距离最大时，直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意结合圆的方程、直线斜率的知识可得原点到直线的距离最大时，直线的斜率，再利用点斜式即可得解.【详解】由题意，圆的圆心为，设原点为，则当直线与直线垂直时，原点到直线的距离最大，此时直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的方程的应用，确定原点到直线的距离最大时直线的斜率是解题的关键，属于基础题.11．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】D【详解】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，，故选D. 二、多选题12．已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（    ）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】BCD【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】解：对于A：与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为，对于B：根据题意，有平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，对于C：根据题意，有平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，对于D：根据题意，有平面，平面，所以，即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为，故选：BCD． 三、填空题13．已知三点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标__．【答案】【分析】设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上求出Q（λ，λ，2λ），表示出和，＝2（3λ2﹣8λ+5），利用二次函数求出最小值，得到Q点的坐标.【详解】设Q（x，y，z）∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 ，所以＝（λ，λ，2λ）则Q（λ，λ，2λ） 所以＝（1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ），＝（2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ）所以＝（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）＝2（3λ2﹣8λ+5）根据二次函数的性质可得当λ＝时，取得最小值，此时Q点的坐标为：（）故答案为：（）14．已知空间四边形，点M､N分别为的中点，且，用表示，则___________.【答案】【分析】根据几何图形，利用向量加，减法的几何意义表示.【详解】 故答案为：15．若直线与圆相切，则__________．【答案】【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，圆心到直线的距离，解得：.故答案为：.16．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______.【答案】【分析】根据圆心在直线上，可设圆心坐标为，再利用圆与两直线相切列出方程组，可求出和半径，进而可求得圆的方程．【详解】因为圆心在直线上，可设圆心坐标为，因为圆与直线及都相切，所以，即，解得,所以圆心的坐标为，所以圆的方程为．故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的方程，属于基础题． 四、解答题17．已知直线l经过点，且斜率为．(1)求直线l的一般方程；(2)求与直线l切于点，圆心在直线上的圆的标准方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据点斜式写出直线l的一般方程；（2）求过且与l垂直的直线，联立求圆心坐标，结合切点求半径，即可得圆的标准方程.【详解】（1）直线l经过点且斜率为，∴直线l为，即，（2）由（1）知：过且与l垂直的直线为，由得：，∴圆心为，故，∴圆的标准方程为.18．已知圆的方程为．(1)若直线：，试判断直线与圆的位置关系；(2)点在圆上，且，在圆上任取不重合于点的两点，，若直线和的斜率存在且互为相反数．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)相交(2)定值 【分析】（1）求出圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系；（2）首先求出的坐标，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与圆的方程求出的坐标，同理求出的坐标，即可求出直线的斜率．【详解】（1）解：圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交；（2）解：由点在圆上，即，解得，又，所以，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入圆，可得，是方程的一个根，，，则．由题意，，则直线的方程为，，，，直线的斜率是定值．19．已知圆：（为半径），圆被轴截得弦长为，直线：（），为坐标原点．(1)求圆的方程；(2)若，过直线上一点作圆的切线，为切点，求切线长最短时，点的坐标；(3)若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)m＝−1或m＝2 【分析】（1）由题意可知，圆心C在y轴上，OC⊥x轴，设x轴与圆C交于A，B，可得，|OC|＝1，|AC|＝r,由勾股定理求解r,则圆的方程可求；（2）当m＝−2时，直线l的方程为y＝x−2，当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC⊥l时，|PC|最小，求出直线PC的方程，联立两直线方程可得P的坐标；（3）设，由题意可得：，联立直线方程与圆的方程利用根与系数的关系结合OM⊥ON可得m值．【详解】（1）由题意可知，圆心C在y轴上，OC⊥x轴，设x轴与圆C交于A，B，，|OC|＝1，|AC|＝r,∵△AOC为直角三角形，∴，即．∴圆C的方程为；（2）当m＝−2时，直线l的方程为y＝x−2，∵△PQC为直角三角形，∴．当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC⊥l时，|PC|最小，∵，∴直线PC：y−1＝−1×（x−0），即y＝−x＋1．由，解得，即；（3）设，由题意可得：，联立，得．∴．．∵OM⊥ON，，∴．即．整理得：，解得m＝−1或m＝2．经检验满足Δ＞0，∴m＝−1或m＝2．20．如图：在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.（1）求证：平面；（2）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【分析】（1）取中点，连接､，则由三角形中位线定理可得，，由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可证得平面；（2）如图建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量求解即可【详解】（1）证明：取中点，连接､，∵为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.∵为中点，∴，又､分别为､的中点，∴，则.∵平面，平面，∴平面.又，､平面.∴平面平面，∵平面∴平面；（3）解：因为底面，平面，平面，所以，因为，所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，依题意，设，则，进而可得，.由已知，得，整理得，解得或，所以线段的长为或.21．如图，正方形的边长为，、分别为、的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)设、分别为线段、上一点，且平面，求线段长度的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）设点，设，其中，求出点的坐标，分析可知平面的一个法向量为，可得出，再利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】（1）解：折叠前，在正方形中，且，因为、分别为、的中点，则且，又因为，则四边形为矩形，则，即，，折叠后，仍有，，，、平面，平面，平面，.（2）解：，，故为等边三角形，为的中点，所以，，因为，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，因为，，因此，直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：设点，设，其中，则，则点，所以，，易知平面的一个法向量为，因为平面，，，则，所以，，当且仅当，取得最小值.22．已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足，求直线的方程.【答案】(1) （x﹣2）2+y2=9 (2) x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0【详解】试题分析：（1）可设圆心坐标为，由直线与圆相切，知圆心M到切线的距离等于半径，可求得，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线斜率不存在时，代入求出A、B两点坐标，检验是否符合题意；当直线斜率存在时，设斜率为，得直线方程为，代入圆的方程，由韦达定理得，代入已知等式可求得的值，从而得直线方程．试题解析：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9                        （II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意         当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴                  把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0   点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算．在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入可得参数值．这就是解析几何中的“设而不求”思想．