2022-2023学年广东省信宜市第二中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省信宜市第二中学高二上学期11月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量加法的坐标运算，即得解.
【详解】∵向量，，
∴.
故选：A.
2．已知向量，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算可得.
【详解】∵，
故选:B
3．已知，若，则x=（ ）
A．-1B．1C．0D．2
【答案】A
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，化简求得的值.
【详解】由于，
所以.
故选：A
4．已知空间向量，且，则实数（ ）
A．B．C．D．6
【答案】A
【分析】由，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，空间向量，
因为，可得，即，可得 ，解得.
故选：A.
5．若直线与直线平行，则（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】B
【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.
【详解】由直线与直线平行，可得:，解得．
故选:B.
6．已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解
【详解】由．
故选：A．
7．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.
【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：A
8．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】建立空间直角坐标系，如图，
则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
【点睛】此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
二、多选题
9．在四面体中，，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据空间向量坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式、空间向量垂直的性质和数量积坐标公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以本选项正确；
B：因为，，
所以有，，
因此本选项正确；
C：因为，，
所以有，因此本选项不正确；
D：因为，，
所以，因此本选项不正确，
故选：AB
10．已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为钝角
C．边的中点坐标为
D．边上的中线所在的直线方程为
【答案】BCD
【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；
对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；
对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确；
对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确.
故选：BCD.
11．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．点A关于平面对称的点的坐标为D．
【答案】AB
【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.
【详解】，
,，
A正确,D错误.
若，则,则,B正确，
点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故选：AB.
12．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：＝0，则l⊥m
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
【答案】BCD
【分析】对A，根据斜率判断即可；
对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；
对C，根据点到线的距离公式求解即可；
对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可
【详解】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；
对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；
对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；
对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；
故选：BCD．
三、填空题
13．直线l1：和l2：的交点的坐标为________．
【答案】
【分析】联立两直线方程解方程组即可.
【详解】解方程组得
所以两条直线交点的坐标为.
故答案为：
14．在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】.
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
则有，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
所以，
故答案为：.
15．如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；
【答案】##
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线和平面所成角的正弦值.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，故可设.
设直线和平面所成角为，
则.
故选：
16．如图所示平行六面体中，，则___________.
【答案】
【分析】在平行六面体中，由空间向量可得，对其两边平方，再根据空间向量的数量积公式，即可求得，由此即可求出结果.
【详解】在平行六面体中，
所以
，
所以
四、解答题
17．已知，，求，，．
【答案】，，
【分析】直接根据向量的加减数乘的坐标运算即可得解.
【详解】，
，
．
18．已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.
(1)求直线AB的方程；
(2)若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线方程的两点式可求解；
（2）根据直线的平行关系及平行直线之间的距离公式可求解.
【详解】（1）∵A（4，0），B（0，3）
由两点式可得直线AB的方程为，即.
（2）由（1）可设直线l：，
∴，解得或.
∴直线l的方程为或.
19．已知，，.求平面的一个法向量；
【答案】平面的一个法向量为(答案不唯一)；
【分析】由向量的坐标表示求、，法一：设为面的一个法向量，列方程组即可求；法二：叉乘法，求法向量的各个坐标值，进而确定一个法向量.
【详解】由，，，知：，，
设为面的一个法向量，
法一：常规法
，得，不妨令，则，
∴平面ABC的一个法向量为；
解法二：叉乘法
，
，
，
只要跟成倍数都是平面的法向量.
20．如图，在四棱锥中，平面ABCD底面是边长为2的正方形， 为的中点，为的中点.

（1）求直线MN与直线CD所成角的余弦值；
（2）求直线OB与平面OCD所成的角.
【答案】（1）（2）30°
【分析】以为空间坐标原点建立空间直角坐标系. （1）计算出直线和直线的方向向量，根据夹角公式计算出两条直线所成角的余弦值.（2）通过计算直线的方向向量，以及平面的法向量，代入线面角向量的计算公式，求得线面角的正弦值，由此得到线面角的大小.
【详解】由已知，AB,AD,AO所在直线两两互相垂直，故可建立如图所示的空间的角坐标系A-xyz.
则.
（1），
，
直线MN与CD所成角的余弦值为.
（2），
设平面OCD的一个法向量为，则，且，
即，且，而，
，令，则，，，
设OB与平面OCD所成角为，
则，
即OB与平面OCD所成角为.
【点睛】本小题考查利用空间向量求线线角的余弦值，考查利用空间向量求线面角的大小，属于中档题.
21．在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离；
（2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）解：以为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，,
，，，
取，，则，，
则点到直线的距离为.
（2）解：设点到平面的距离为.
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，，
又，故点到平面的距离为.
22．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，点为棱的中点，点为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）证明：因为底面，，
不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，，
所以，，则，
，，
，、平面，平面.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，则.
因此，二面角的正弦值为.