2022-2023学年北京市理工大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市理工大学附属中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由直线方程,可知直线的斜率，

设直线的倾斜角为，则，

又，所以，

故选．

2．已知i为虚数单位，则（    ）

A．1 B． C．i D．

【答案】C

【分析】利用复数乘法和除法运算法则计算即可.

【详解】.

故选：C.

3．在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可.

【详解】点为棱的中点，

 ，

，

又，

，故选B.

【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.

4．在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用圆的标准方程，采用排除法得出结论．

【详解】在平面直角坐标系中，由于圆的半径为，故排除A、B；

再把原点代入，只有满足，不满足

本题正确选项：

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题．

5．已知直线的方程为，则直线（    ）

A．恒过点且不垂直轴 B．恒过点且不垂直轴

C．恒过点且不垂直轴 D．恒过点且不垂直轴

【答案】D

【分析】令求出，即可求出直线过定点坐标，再分和两种情况讨论，判断直线与坐标轴的关系，即可得解.

【详解】解：直线的方程为，令，可得，所以直线恒过点，

当时直线方程为，此时直线垂直轴，

当时直线方程为，，显然直线不与轴垂直.

故选：D

6．已知点P是正方体的棱上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正方体的性质可知所求为的最小值，又因为，可知当点在处时，有最小值，计算可得结果.

【详解】解：由正方体的性质可知：，则异面直线与所成的角为直线与直线所成的角，即或其补角. 又因为平面，所以，即求的最小值.

，当点在处时， .

故选：A.

7．已知直线和直线互相平行，则a的值是（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.

【详解】由题意可知，

因为直线和直线互相平行，

所以，解得，

故选：B

8．已知三棱锥中，两两垂直，且，则点P到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，即可求得

【详解】设点到平面的距离为，

∵两两垂直，且，

∴，，

∴，

∵，即

∴，

∴，即点到平面的距离为，

故选：C

9．已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，当，面积最大，分析可得此时圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即得解.

【详解】由题意，圆，

故圆心，半径，

，

故当时，的面积取得最大值，

此时圆心到直线的距离，

即，即，解得.

故选：D

10．在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    )

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，根据求出a、b之间的关系，利用两点间距离公式结合二次函数性质可求长度的最大值．

【详解】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设，，，

则，，

，，

，则易求，

，

由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9，

线段的长度的最大值为3．

故选：B．

二、填空题

11．已知空间向量，，若，则__________．

【答案】3

【详解】，得．

12．已知，则复数在复平面内对应的点在第____________象限．

【答案】一

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，

所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.

故答案为：一

13．已知，过点作直线与相切于点，则____________．

【答案】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出，最后根据计算可得.

【详解】解：，即，

所以圆心为，半径，

又，所以，

所以.

故答案为：

14．若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．

【答案】4

【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.

15．设直线，圆，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，则a的取值范围是____________．

【答案】.

【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为点到直线的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.

【详解】圆的圆心，半径为1，

因为直线上任意一点，点P，Q是圆C上两点，当分别与圆相切时，最大，

当运动到与圆心之间的距离最小时，即时，最大，

圆心到直线的距离为，

因为在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得，

所以当时，满足条件，此时，解得，

所以a的取值范围是，

故答案为：.

三、解答题

16．已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，平面，O是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）显然，由平面得，根据线面垂直判定得平面；

（2）建立空间坐标系，求出平面法向量，代入线面角计算公式求解.

【详解】（1）因为是正三角形，O是的中点

所以

又平面，平面，

所以

又因为，平面，平面，

所以平面；

（2）取的中点，则 以为坐标原点，分别以正方向为轴建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量

由得，取，

设直线与平面所成角，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.

17．在平面直角坐标系中，从下面的条件①、条件②中选择一个作为已知．

(1)求的标准方程；

(2)若直线l过点，与相交于M，N两点，且，求直线l的方程．

①是一条直径的两个端点；

②圆心，且与直线相切．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）选①，根据，求得圆心和半径即可；选②根据与直线相切求得半径即可；

（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，根据弦长判断；当直线的斜率存在时，设直线方程为，利用弦长公式求解；

【详解】（1）解：选①，因为，

所线段AB的中点为，

则，

所以以AB为直径的圆的方程为；

是一条直径的两个端点；

选②因为圆心，且与直线相切，

所以圆的半径为，

所以圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，

圆心到直线的距离为

，则，成立；

当直线的斜率存在时，直线方程为，即，

则圆心到直线的距离为，解得，

所以直线方程为；

综上：直线的方程为：或.

18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为的中点，D为棱上的点，．

(1)求证：；

(2)若D为棱的中点，求点到平面的距离；

(3)当为何值时，平面与平面所成二面角（锐角）最小？

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据直棱柱的性质得到，再结合得到平面，利用线面垂直的性质得到，再结合∥即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求点到面的距离；

（3）设，用空间向量的方法求二面角得到，然后得到当时，锐二面角最小.

【详解】（1）∵为直棱柱，∴∥，平面，

∵平面，∴，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

又∥，

∴.

（2）

如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，，，

设平面的法向量为，点到平面的距离为，

，令，则，，则，

则.

（3）设，，则，，

，令，则，，则，

由（1）得可以作为平面的一个法向量，，

设平面与平面所成二面角（锐角）为，则，当时，最小，最大，最小，

所以当时，平面与平面所成二面角（锐角）最小.

19．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三个点的圆记为．

(1)当时，求三角形的面积；

(2)求的方程；

(3)问是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论．

【答案】(1)

(2)的方程为

(3)过定点，证明见解析.

【分析】（1）当时，求出，，所以三角形的面积为.

（2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及的一般方程．

（3）把方程里面的合并到一起，分别令的系数及剩余项为零，得到方程组，求解该方程组，求出圆过的定点．

【详解】（1）当时，，令，得，

不妨设，则，令，得，所以三角形的面积为.

（2）设所求圆的一般方程为，

由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，

令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．

令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，

∴的方程为．

（3）把的方程改写为，令，

解得，故过定点.