2023中考数学一轮复习专题10一次函数(同步练习卷）（通用版）

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第10讲 一次函数（精练）
一次函数图像与性质

1. （2021秋•金安区校级月考）下列关于的函数关系式：①；②；③；④．其中一次函数的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①是正比例函数，是特殊的一次函数；
②属于二次函数；
③不属于一次函数；
④是一次函数．
综上所述，一次函数的个数是2个．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
2. （2021春•昭通期末）若表示一次函数，则等于　　
A．0 B．2 C．0或2 D．或0
【分析】依据一次函数的定义可知且，从而可求得的值．
【解答】解：函数是一次函数，
且，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义得到且是解题的关键．
3. （2021秋•北镇市期中）若是正比例函数，则的值是　　
A．0 B．1 C．2 D．0或
【分析】根据正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1列方程即可得到结论．
【解答】解：函数是正比例函数，
，且，
，且，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数定义里的条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1．
4. （2021秋•兴平市期中）若函数是关于的正比例函数，则的值为　　
A．3 B． C． D．0
【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
【解答】解：函数是关于的正比例函数，
，，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
5. （2021春•饶平县校级期末）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质得到，而，则，所以一次函数的图象经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方．
【解答】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
一次函数的图象经过第二、四象限；
，
，
图象与轴的交点在轴上方，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
6. （2020秋•织金县期末）关于的一次函数的图象可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据图象与轴的交点直接解答即可．
【解答】解：令，则函数的图象与轴交于点，
，
图象与轴的交点在轴的正半轴上．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，熟知一次函数的图象与轴交点的特点是解答此题的关键．
7. （2021春•潢川县期末）若，则一次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】判断出及的符号，进而可得出结论．
【解答】解：，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
8. （2020秋•海淀区校级期末）若，，一次函数的图象大致形状是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，，，则，，进而在一次函数中，有，，结合一次函数图象的性质，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，，，
则，，
，，
故其图象过一二四象限，
即符合，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象的性质，应该识记一次函数在、符号不同情况下所在的象限．
9. （2021春•营口期末）一次函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题．
【解答】解：当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，故选项、、、不符合题意；
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，故选项、、不符合题意，选项符合题意；
当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，故选项、、、不符合题意；
当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第二、三、四象限，故选项、、、不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
10. （2021春•柳南区校级期末）若且，则一次函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据且，可以得到，然后根据一次函数的性质即可得到一次函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：且，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
11. （2021•上城区校级一模）两条直线与在同一坐标系中的图象可能是图中的　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数图象的性质加以分析即可．
【解答】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
．由图象可知，；由图象可知，．错误；
．由图象可知，；由图象可知，．正确；
．由图象可知，；由图象可知，．错误；
．由图象可知，；由图象可知，．错误；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键．
12. （2021•商河县校级模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据和的符号判断即可得出答案．
【解答】解：、一条直线反映，，一条直线反映，，故本选项错误；
、一条直线反映出，，一条直线反映，，一致，故本选项正确；
、一条直线反映，，一条直线反映，，故本选项错误；
、一条直线反映，，一条直线反映，，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
13. （2021春•白云区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线，，则下列图象中可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】先看一个直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：、一条直线反映，，一条直线反映，，故本选项错误；
、两条条直线反映出，，一致，故本选项正确；
、一条直线反映，，一条直线反映，，故本选项错误；
、两条直线交于轴同一点，则，而两条直线不重合，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
14. （2021秋•兴平市期中）一次函数的图象不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数中，与的符号判断．
【解答】解：中，，
函数图象经过第一，二，四象限，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数关系．
15. （2021秋•龙岗区校级期中）已知一次函数与，为常数，且，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为　　
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：①，；②，；③，；④，．
【解答】解：①当，时，
经过第一、三、四象限，过第二、四象限；
②当，时，
经过第一、二、三象限，过第一、三象限；
③当，时，
经过第二、三、四象限，过第一、三象限；
④当，时，
经过第一、二、四象限，过第二、四象限；
符合条件的选项为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象，通过分类讨论与的正负情况解题是本题的关键．
16. （2021•庐阳区校级一模）一次函数的图象和性质．叙述正确的是　　
A．随的增大而增大 B．与轴交于点
C．函数图象不经过第一象限 D．与轴交于点
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：一次函数，
该函数随的增大而减小，故选项错误；
与轴交于点，故选项错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项正确；
与轴交于点，，故选项错误；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17. （2021春•沂水县期末）关于一次函数，下列说法中正确的是　　
A．随的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．与轴交于 D．与轴交于
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：一次函数，
随的增大而增大，故选项正确；
图象经过第一、三、四象限，故选项错误；
与轴交于点，故选项错误；
与轴交于点，故选项错误；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
18. （2020秋•罗湖区校级期末）下列有关一次函数的说法中，错误的是　　
A．当值增大时，的值随着增大而减小
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第一、二、四象限
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：、，当值增大时，的值随着增大而减小，正确；
、函数图象与轴的交点坐标为，正确；
、当时，，错误；
、，，图象经过第一、二、四象限，正确；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
19. （2020秋•太湖县期末）关于一次函数为常数），下列说法正确的是　　
A．随的增大而增大
B．当时，直线与坐标轴围成的面积是4
C．图象一定过第一、三象限
D．与直线相交于第四象限内一点
【分析】根据系数的性质判断即可．
【解答】解：、因为，所以随的增大而减小，错误；
、当时，直线与坐标轴围成的面积是4，正确；
、图象一定过第二、四象限，错误；
、与直线平行，错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，常采用数形结合的方法求解是关键．
20. （2021秋•涡阳县期中）关于函数，下列结论正确的是　　
A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线平行 D．随的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、当，，则点不在函数图象上，故本选项错误；
、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；
、由于直线与直线的倾斜角相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；
、由于，则随增大而减小，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方．
21. （2021春•迁安市期末）关于函数的图象，有如下说法：
①图象过点
②图象与轴的交点是
③由图象可知随的增大而增大
④图象不经过第一象限
⑤图象是与平行的直线，
其中正确说法有　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．
【解答】解：①将代入解析式得，左边，右边，故图象过点，正确；
②当时，中，，故图象过，正确；
③因为，所以随增大而减小，错误；
④因为，，所以图象过二、三、四象限，正确；
⑤因为与的值（斜率）相同，故两图象平行，正确．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
22. （2021•饶平县校级模拟）对于函数，下列结论正确的是　　
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、四象限
C．当时，
D．的值随值的增大而增大
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对进行判断；根据一次函数的性质对、进行判断；利用时，函数图象在轴的左侧，，则可对进行判断．
【解答】解：、当时，，则点不在函数的图象上，所以选项错误；
、，，函数图象经过第一、二、四象限，所以选项正确；
、当时，，所以选项错误；
、随的增大而减小，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
23. （2021春•江夏区期末）对于函数，下列结论正确的是　　
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．的值随值的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、当时，，它的图象不经过点，故错误；
、，，它的图象经过第一、二、四象限，故错误；
、当时，，当时，，故正确；
、，的值随值的增大而减小，故错误．
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系、一次函数的增减性是解答此题的关键．
24. （2021春•绥宁县期末）关于函数，下列结论正确的是　　
A．图象必经过 B．随的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限 D．当时，
【分析】根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
、时，，故图象必经过，故错误，
、，则随的增大而减小，故错误，
、，，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
、当时，，正确；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
25. （2021秋•宣州区校级期中）下列函数：①；②；③；④；⑤中，一次函数是 　①③⑤　．（填序号）
【分析】一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数，据此进行判断即可．
【解答】解：①③⑤是一次函数，②④不是一次函数．
故答案为：①③⑤．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数．
26. （2021秋•龙华区校级期中）在中，若是的正比例函数，则值为 　　．
【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
【解答】解：，是的正比例函数，
，且，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零是解题关键．
27. （2021春•海淀区校级期末）如果是正比例函数，则　0　．
【分析】根据正比例函数的定义可得出关于的方程，解出即可．
【解答】解：依题意得：且，
解得，
故答案是：0．
【点评】本题正比例函数的定义，应注意求出的值时，不要忘记检验这个条件．
28. （2021春•萝北县期末）若是关于的正比例函数，则常数　2　．
【分析】依据正比例函数的定义求解即可．
【解答】解：是关于的正比例函数，
，，
解得：．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
29. （2021春•富拉尔基区期末）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是　　．
【分析】当一次函数的图象经过二、四象限可得其比例系数为负数，据此求解．
【解答】解：函数是正比例函数，
且，
解得．
又函数图象经过第二、四象限，
，解得，．故答案是：．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．
30. （2021春•邹城市期末）已知函数是正比例函数，则　　．
【分析】由正比例函数的定义可得，且．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：，且，
解得：，故答案为：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1．
【解题技巧】
基础知识归纳：所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线．
k＞0，b＞0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大．
k＞0，b＜0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
k＜0，b＞0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小．
k＜0，b＜0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．
基本方法归纳：一次函数是由正比例函数上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过一、三象限还是过二、四象限，再由b的正负得向上平移还是向下平移，从而得出所过象限．而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关．
注意问题归纳：准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键．




















一次函数解析式的确定

1. （2021•永嘉县校级模拟）如图，直线分别交，轴于、两点，过点的另一条直线交轴于点，为中点，过点作的垂线交于点，若，则直线的函数表达式为　　．

【分析】先由直线的解析式求出、两点的坐标，线段中点的坐标．设，则．根据线段垂直平分线的性质得出点的横坐标．根据互相垂直的两直线斜率之积为得到直线的斜率，设直线的解析式为，将，代入求出，得到直线的解析式为，将点的横坐标代入，求出，得点的坐标为，．设直线的解析式为，将，，，，分别代入，求出，得到，．设直线的函数表达式为，把，，代入，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：直线分别交，轴于、两点，
，，，
为中点，
，．
设，则．
，
在线段的垂直平分线上，
点的横坐标为．
，
直线的斜率为：．
设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，，，，分别代入，
得，解得，
，．
设直线的函数表达式为，
把，，代入，
得，解得，
直线的函数表达式为．
补充方法：分别过，作，．

可得，，，，
设，则，由相似得，，
解得，
，
，，
直线的解析式为．
故答案为：．

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式，线段垂直平分线的性质，互相垂直的两直线斜率之积为等知识，综合性较强，关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式，其一般步骤为：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；
（2）将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
本题计算量较大，需认真仔细．
2. （2021春•上海期中）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且，若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是　或　．

【分析】确定、点的坐标，利用待定系数法即可求得结论．
【解答】解：点的坐标是，且．
，
，，
当顺时针旋转后，点，，，
直线的解析式是；
当逆时针旋转后，点，，，，
直线的解析式为，
故答案为或．
【点评】本题考查了坐标和图形的变化旋转，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形求得、的坐标是解题的关键．
3. （2021春•饶平县校级期末）已知与成正比例，且时，．则与的函数关系式为　　．
【分析】设，把，代入求值即可得到函数解析式．
【解答】解：设，
则由时，，
得到：，
解得．
则与的函数关系式为：；
故答案为：．
【点评】考查了一次函数解析式的求法，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
4. （2021春•河北区期末）已知与成正比例，且当时，，则关于的函数解析式为　　．
【分析】设，将、代入求出即可．
【解答】解：根据题意，设，
将、代入，得：，
解得：，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5. （2021春•无为市月考）已知与成正比例函数，当时，，则与的函数关系式为　　．
【分析】根据与成正比例，把时，代入，用待定系数法可求出函数关系式．
【解答】解：与成正比例，
成正比例，
把时，代入，得，
解得；
与的函数关系式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数解析式的求法，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．
6. （2021秋•瑶海区校级月考）已知一次函数的图象经过点，．
（1）求此函数的解析式．
（2）若点在此函数的图象上，求的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出、的值即可；
（2）根据点，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出值．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，．
，解得：，
与之间的函数关系式为．
（2）把点代入得，，
解得：，
的值为3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
7. （2021春•定西期末）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点，点为坐标原点．求：（1）直线的解析式和的值；
（2）的面积．
【分析】（1）设直线的解析式为，再把、点的坐标代入得到、的方程组，解方程组得到直线的解析式，然后把点坐标代入可求出的值；
（2）设直线交轴于点，如图，先确定，再根据三角形面积公式，利用进行计算．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
在直线上，
；
（2）设直线交轴于点，如图，
当时，，解得，则，
．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到、的方程组，然后解方程组得到一次函数解析式．
8. （2021春•昌平区期末）一次函数的图象经过点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与轴交于点，求的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据直线解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
所以一次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得，
，．
，，
．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
一次函数的平移

1. （2021春•孟村县期末）将直线向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了　　
A．9 B．2 C．14 D．8
【分析】求得平移前后直线与坐标轴围成的三角形的面积，即可求得结论．
【解答】解：在中，令，则；令，则，
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，
将直线向上平移4个单位长度后得到直线，
令，则；令，则，
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，
，
将直线向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了8，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的直线解析式是解题的关键．
2. （2020秋•市南区校级期中）在平面直角坐标系中，直线不动，将坐标系向上平移了3个单位长度后得到新的平面直角坐标系，此时该直线对应的函数关系式为　　．
【分析】将坐标系向上平移3个单位后得到新的平面直角坐标系，求直线在新的平面直角坐标系中的解析式相当于是求把直线向下平移3个单位后的解析式．
【解答】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移3个单位后的解析式，
则所求解析式为，即．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
3. （2020春•卧龙区期中）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为　　．
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式是：．即．
故答案是：．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
4. （2020春•武城县期末）将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是　　．
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线先向下平移2个单位，得到直线，即，
再向左平移2个单位，所得的解析式为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
5. （2020•河北区一模）将直线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线　　．
【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解决问题．
【解答】解：直线先向下平移2个单位，
，
再向右平移3个单位得到直线得到．
故答案为．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟记平移规律是解决问题的捷径．

【解题技巧】
规律：“左加右减，上加下减”
①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.






一次函数与方程不等式

1. （2021春•恩施市期末）一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同学根据图象写出以下信息：①；②不等式的解集是；③方程组的解是．其中信息正确的有　　

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线在下方的部分对应的的取值范围就是不等式的解集，由此判断②；直线在的交点坐标就是方程组的解，由此判断③．
【解答】解：如图，直线经过一、二、三象限，
，，

直线经过一、二、四象限，
，，
，
，故①错误；
当时，直线在下方，
不等式的解集是，故②正确；
直线与的交点坐标为，
方程组的解是，故③正确．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想是解题的关键．
2. （2021春•永年区期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为　　

A． B． C． D．
【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【解答】解：直线经过点，
，
解得，
，
关于的方程组的解为，
故选：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
3. （2021春•海阳市期末）一次函数与的图象的交点为，则二元一次方程组的解和的值分别是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【解答】解：一次函数与的图象的交点为，
二元一次方程组的解是，
将点的坐标代，得，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程（组的关系：要准确的将一次函数问题的条件转化为二元一次方程（组，注意自变量取值范围要符合实际意义．
4. （2021春•滦南县期末）如图，是在同一坐标系中作出的一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是　　

A． B． C． D．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【解答】解：一次函数与的图象的交点坐标为，
二元一次方程组的解为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
5. （2021春•海淀区校级期末）若一次函数与的图象交点坐标为，则解为的方程组是　　
A． B．
C． D．
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此是联立两直线函数解析式所组成的方程组的解．由此可判断出正确的选项．
【解答】解：一次函数与的图象交点坐标为，
则是方程组，即的解．
故选：．
【点评】本题是一次函数与二元一次方程（组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6. （2021秋•新华区校级期中）若一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为 　　．
【分析】根据一次函数和二元一次方程组的关系即可直接求出方程组的解．
【解答】解：一次函数与的交点坐标为，
方程组的解为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的关系，解题时要注意一次函数的交点坐标正好是它们组成的方程组的解．
7. （2021•梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 　　．

【分析】两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解．
【解答】解：直线与直线相交于点，
关于、的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
8. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　．

【分析】根据方程组的解就是两函数图象的交点，于是得到结论．
【解答】解：直线与直线相交于点，
关于，的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
9. （2021秋•历下区期中）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　．

【分析】根据方程组的解就是两函数图象的交点，于是得到结论．
【解答】解：直线与直线相交于点，
关于、的方程组的解为：；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．

【解题技巧】
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集



一次函数的应用

1. （2021•路桥区一模）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达地，甲一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：与甲骑行的时间（单位：之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是　　

A．甲的骑行速度是 B．，两地的总路程为
C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达地
【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断．
【解答】解：甲骑行，故速度为，
故正确；
设乙的速度为，则有，
解得：，
乙的速度为，
甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即继续骑行，
乙先到达地，
由题意可得两地的总路程为，
故正确；
乙出发后追上甲，
则，
解得，即乙出发后追上甲，
故错误．
甲的路程为，
甲比乙晚到达地，
故正确．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
2. （2021春•忠县期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步630米，先到运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的是　　

A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得、、的值，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象知，甲的速度为（米秒），
乙出发70秒后到达终点，
乙的速度为（米秒），
乙出发秒时乙追上甲，
，
解得：，
故①正确；
当乙到达终点时，甲走的的路程为（米，
（米，
故②错误；
当乙到达终点时，甲还需要走（秒，
（秒，
故③正确．
正确的是①③．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
3. （2021春•巴彦淖尔期末）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是　　
①汽车在行驶途中停留了；
②汽车在整个行驶过程的平均速度是；
③汽车共行驶了；
④汽车出发离出发地．

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据停留时距离不发生变化可判断①；根据速度路程时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出到的速度，再求据出发地的距离可判断④．
【解答】】解：①汽车在行驶途中停留了，
故①正确；
②平均速度：千米小时，
故②错误；
③汽车共行驶了，
故③正确；
④汽车自出发后到速度为：千米小时，
汽车出发离出发地距离为千米，
故④正确．
正确的是①③④，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了速度、路程、时间之间的关系，准确识图并获取必要的信息是解题的关键．
4. （2021•沙坪坝区校级开学）某天上午，大学生小南从学校出发去重庆市图书馆查阅资料，同时他的同学小开从该图书馆看完书回学校．两人在途中相遇，于是马上就各自最近的研究课题交流了6分钟，又各自按原速前往自己的目的地．直到小开回到学校并电话告知小南后，小南决定提速到达图书馆（接打电话的时间忽略不计）．在整个运动过程中，小南和小开之间的距离与小南所用的时间之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是　　

A．学校和图书馆的之间的距离为
B．小南提速前，小开的速度是小南的1.8倍
C．
D．
【分析】从图象上直接可以得出图书馆到学校的距离，从而可以判断；先求出小南和小开的和速度，再求出小开的速度，从而可以判断；通过图象和题意可以求出，从而可以判断；先求出小南提速后的速度，再根据路程速度时间，即可判断．
【解答】解：由图象可知：图书馆到学校的距离为2400米，
故错误；
小南和小开的和速度为：（米分），
小开走完2400米所用时间为：（分，
小开的速度为：（米分），
小南的速度为：（米分），
小南提速前，小开的速度是小南的，
故错误；
相遇后到小开到达学校所用时间为（分，
（米，
故错误；
小南提速后的速度为（米分），
（分，
故正确．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是弄清各个拐点的意义．
5. （2021•吴兴区一模）某天，甲、乙两车同时从地出发，驶向终点地，途中乙车由于出现故障，停车修理了一段时间，修理完毕后，乙车加快了速度匀速驶向地；甲车从地到地速度始终保持不变，乙车的速度始终小于甲车的速度．甲、乙两车之间的距离与两车出发时间的函数图象如图所示．下列说法：①甲到达地（终点）时，乙车距离终点还有；②故障排除前，乙的速度为；③线段所在直线的解析式；④当，时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是　　

A．③④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【分析】根据函数图象中的数据和题意，可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
到达地（终点）时，乙车距离终点还有，故①错误；
故障排除后，乙的速度为，
设故障排除前，乙的速度为，
则甲的速度为：，
，
解得，
即故障排除前，乙的速度为，故②正确；
，
点的坐标为，
设线段所在直线的解析式，
，解得，
即线段所在直线的解析式，故③正确；
，
当时，甲、乙两人之间相距，
，
当时，甲、乙两人之间相距，故④错误；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6. （2021春•沙坪坝区校级期末）周六早晨，文文从家出发，匀速步行去公园，此时爸爸在公园晨练结束，准备匀速跑步前往与家方向相反的菜市场．他们以各自速度同时出发，爸爸到达菜市场，用了15分钟买菜，然后以原速的速度原路匀速散步回家，文文到达公园，没有遇见爸爸，立即提速匀速跑步回家．爸爸和文文相距的路程（米与他们出发的时间（分钟）之间的关系图象如图所示，则下列说法中正确的是　　

A．公园到菜市场的距离是1400米
B．文文提速后的速度是180米分
C．文文到家时，爸爸离家的距离是4000米
D．文文出发分钟，与爸爸相距1500米
【分析】根据图象可知，前10分钟同向而行，距离越来越大，10分钟以后，距离开始变小，说明爸爸到达了菜市场，10分钟到30分钟之间有一个转折点，他们之间的距离变小的速度突然加快，说明爸爸离开了菜市场，30分钟后他们之间的距离又开始增大，说明文文回头回家了，当文文到家后，他们之间的距离开始减少，全程用时分钟，根据分析过程和图象列出关于和的式子，求出和即可作出判断．
【解答】解：设爸爸的速度为，
根据图象可得：10分钟时爸爸到达菜市场，
30分钟时，文文到达公园，爸爸返回5分钟，此时两人相距1400千米，
，
解得米分钟，
菜市场到公园的距离为米，
选项不合题意，
爸爸返回所用时间为分钟，
菜市场到家的距离为米，
家到公园的距离为米，
文文的出发速度米分钟，
选项不合题意，
文文返回所用的时间为分钟，
此时爸爸返回用时为分钟，
爸爸离家的距离为米，
选项不合题意，
当文文出发分钟时，在返回的路上，返回时间为分钟，
此时爸爸也在返回的路上，
此时两人的距离为米，
选项符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，关键是要根据图象分清楚每一段的变化情况．
7. （2021春•渝中区校级期末）小巴和小蜀两人分别从学校、市图书馆两地出发，相向而行，学校和市图书馆在一条直线上．已知小巴跑步出发3分钟后，小蜀骑自行车才出发，他们两人相遇后，小巴继续向市图书馆跑步前行，到达市图书馆停止；当小蜀到达学校后，立即以原速的调头返回，到达市图书馆也停止骑车；设两人相距的路程（米与小巴出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是　　

A．小巴的速度为160米分钟
B．小蜀调头后的速度为320米分钟
C．点的坐标为
D．小巴出发分钟时，他们相遇
【分析】根据图象可知学校、市图书馆两地相距2000米；利用速度路程时间可求出甲、乙的速度，可得小蜀调头后的速度，由二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由小巴的速度可求出点的横坐标，由两地之间的距离结合两人的速度，可求出点的纵坐标．
【解答】解：由图象可知，学校、市图书馆两地相距2000米，
小巴的速度为（米分钟），故选项正确，不合题意；
小蜀的速度为（米分钟），
小蜀调头后的速度为（米分钟），故选项正确，不合题意；
小巴到达市图书馆的时间：（分钟），
此时两人相距：（米，故选项错误，符合题意；
二者相遇的时间：（分钟），故选项正确，不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用数量关系，求出小巴和小蜀的速度及学校、市图书馆两地之间的距离是解题的关键．
8. （2021春•无为市期末）甲、乙两地高速铁路建成通车，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系，下列结论：
①甲、乙两地相距1800千米；
②点的实际意义是两车出发后4小时相遇；
③动车的速度是280千米小时；
④，．
则以上结论一定正确有　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可知，甲、乙两地相距1800千米，故①说法正确；
点的实际意义是两车出发后4小时相遇，故②说法正确；
动车的速度为：，故③说法错误；
，
，，
故④说法正确；
正确的是①②④．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9. （2020秋•钱塘区期末）2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 　250千米　．

【分析】首先求该旅游专列与高铁的速度分别为200千米小时和40千米小时，确定第二次相遇时的位置，因为，说明第二次相遇时，旅游专列还没走完全程；根据路程相等列方程可得结论．
【解答】解：由图形可知：高铁小时，由杭州到黄山，
速度为：（千米小时），
设旅游专列的速度为千米小时，
则，
，
（小时），
高铁：第一次去黄山：小时，休息1小时；
第一次返回：（小时），休息1小时；
第二次去成都：，
设当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了千米，
则，
，
则当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了250千米；
故答案为：250千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10. （2020秋•沙坪坝区期末）已知、两地相距200千米，货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往地，货车甲以原速的返回地．两辆货车之间的路程与货车甲出发的时间的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计）．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是　　．

【分析】由点的坐标是得货车甲行驶出现故障，此时距地，货车甲行驶了，则货车甲的速度为，由点的坐标是得货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，由题意可得货车乙从地出发遇到货车甲用时，则货车乙以原速开往地用时，即货车乙回到地，货车甲返回地的时间为，可得点的横坐标为货车乙到地的时间，根据此时货车甲的速度即可的纵坐标．
【解答】解：由点的坐标是得货车甲行驶出现故障，此时距地，货车甲行驶了，
货车甲的速度为，
由点的坐标是得货车乙遇到货车甲并将物资从货车甲搬运到货车乙上，
货车乙从地出发遇到货车甲用时，
货车乙以原速开往地用时，
货车乙回到地，
货车甲返回地的时间为，
点的横坐标为货车乙到地的时间为5.1，纵坐标为，
即点的坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象的应用，根据数形结合得到甲乙相应的路程以及相应的时间是解决本题的关键．
11. （2021•北碚区校级开学）2020年新年，武汉爆发的新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，一方有难，八方支援，各地纷纷驰援武汉．某地组织的蔬菜驰援车队从甲地出发匀速行驶前往武汉，一段时间后，在甲地的驰援领导小组发现车队漏带有机蔬菜检测证书，于是驰援领导小组立即派一辆轿车匀速前去追赶车队，轿车追上车队后以原速原路返回甲地．车队拿到检测证书后以原速度的倍快速赶往武汉，并在从甲地出发后15小时到达武汉（车队被轿车追上交流时间忽略不计），轿车与车队之间相距的路程（米与车队从甲地出发到武汉的行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，则轿车返回到甲地时，车队距离武汉的路程为　400　千米．

【分析】观察图象可知，第6小时时轿车与车队的距离为0，即轿车追上了车队，此后匀速增大至第10小时，距离为680千米，第10小时以后图象出现转折，即轿车已经返回甲地，因此车队第10小时时距离甲地680千米，由此解答即可．
【解答】解：观察图象可知，第6小时时轿车与车队的距离为0，即轿车追上了车队，此后匀速增大至第10小时，距离为680千米，第10小时以后图象出现转折，即轿车已经返回甲地，因此车队第10小时时距离甲地680千米．
设车队原来速度为每小时千米，根据题意得：
，
解得：，
，
观察图象可知，轿车回到甲地时间为第10小时，此后车队又经过个小时到达武汉，
所以轿车回到甲地时，车队距离武汉的路程为（千米）．
故答案为：400．
【点评】本题考查了利用一次函数图形解决实际问题，从图象中获取信息是解答关键．
12. （2021春•沙坪坝区校级月考）草长莺飞三月天，春暖花开好时节．上周末，小董从家出发匀速去公园野餐，出发一段时间后，妈妈发现小董忘带餐盒，于是立即骑车沿相同的路线匀速去追赶，追上后，小董继续以原速度步行前往公园（交接餐盒的时间忽略不计），妈妈原地休息了2分钟，然后沿原路线匀速返回家，返回时速度是原来的，妈妈与小董之间的路程（米与小董从家出发步行的时间（小时）之间的关系如图所示，则图中点的坐标是　　．

【分析】由图象可知：小董家到公园总路程为3200米，分别求小董和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的三分之二”，得速度为160米分，可得返回时又用了7.5分钟，此时小董已经走了22.5分，还剩17.5分钟的总程．
【解答】解：由图象得：小董步行速度：（米分），
由函数图象得出，妈妈在小董10分后出发，15分时追上小董，
设妈妈去时的速度为米分，
，
，
则妈妈回家的时间：（分，
所以图中点的横坐标为：，
纵坐标为：（米，
所以点的坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程速度时间之间的关系的运用，分别求小青和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
13. （2021•两江新区模拟）经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考．初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液．已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200．其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支．脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶．在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元．若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费　1320　元．
【分析】设购买个士力架，瓶脉动饮料，士力架的单价为元，则脉动饮料的单价为元，依题意得出，可得出的值，然后结合一次函数的性质分析求解．
【解答】解：购买个士力架，瓶脉动饮料，士力架的单价为元，则脉动饮料的单价为元，
依题意，得：，
整理，得：．
，，
，，
，
，
又，，均为正整数，
或，
或．
当时，，，
，
解得：，
此时实际购买这三种物品的总费用为：
（元，
当时，，，，
当随的增大而增大
由题意可得，解得
当取最大值40时，
此时实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多为：
元，
综上，实际购买三种物品最多需要花费1320元，
故答案为：1320．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
14. （2021春•渝北区校级月考）一条笔直的公路上顺次有、、三地，小军早晨从地出发沿这条公路骑自行车前往地，同时小林从地出发沿这条公路骑摩托车前往地，小林到地后休息了1个小时，然后掉头原路原速返回追赶小军，经过一段时间后两人同时到达地，设两人行驶的时间为（小时），两人之间的距离为（千米），与之间的函数图象如图所示，下列说法：①小林与小军的速度之比为；②时，小林到达地；③时，小林与小军同时到达地；④两地相距420千米，其中正确的有　②④　．（只填序号）

【分析】根据函数图象可求得二人的速度和，结合第二段图象可求得小林的速度，进而可得小军的速度，由此判断①；根据时间路程速度可判断②：根据时间路程差速度差可判断③、④．
【解答】解：由题意得：（千米小时），
（小时），
则（千米小时），
（千米小时），
，
①错误；
（小时），
，
②正确；
（千米），
（小时），
，
小林和小军在到达地，
③错误；
，
④正确，
故答案为：②④．
【点评】本题考察了一次函数的应用，理解函数图象上点的实际意义是解决本题的关键．
15. （2021春•沙坪坝区期中）、两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从地出发前往地，乙骑自行车从地出发前往地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，甲离地的距离为 　　千米．

【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，甲离地的距离．
【解答】解：设甲的速度为，乙的速度为，
，
解得，
故甲的速度为，乙的速度为
设第二次甲追上乙的时间为小时，
，
解得，，
当甲第二次与乙相遇时，甲离地的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
16. （2021•江津区模拟）已知甲、乙两车分别从、两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车继续向终点地行驶，而甲车原地停留了一段时间后才继续驶向终点地，两车到达各自的终点后分别停止运动．若整个过程中，甲、乙两车之间的距离（千米）与乙车行驶时间（小时）的函数图象如图所示，则当甲车到达地时，乙车离地　45　千米．

【分析】根据题意和图中数据求出甲实际行驶的时间即可解决问题．
【解答】解：由题意乙的速度：（千米小时），甲的速度：（千米小时），
甲从到需要（小时），
中途休息了（小时），
甲时间行驶时间（小时），
（小时），
甲车比乙车早到小时．
则当甲车到达地时，乙车离地：（千米），
故答案为：45．
【点评】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17. （2021•铁西区模拟）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量与时间之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为　3.75　．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先求出进水量，然后再根据图象中的数据，即可求得出水量，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
每分钟的进水量为：，
每分钟的出水量为：，
故答案为：3.75．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18. （2021•滨湖区模拟）甲，乙两车分别从，两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行．当甲车到达地后，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度降继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的倍匀速前去追赶乙车，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达地．如图反映的是两车之间的距离（千米）与乙车行数时间（小时）之同的函数关系，则甲车在地准备好相关物品共花了　　小时．

【分析】（1）点，说明甲用小时走完全程，此时乙走了200千米，则乙的速度为；
（2）两车2小时相遇，相遇后甲乙都走了小时，共走了200米，则甲乙的的速度和为，即可求解；
（3）甲乙2小时相遇，则的距离为千米；
（4）设甲准备了个小时，则甲乙的距离为，则甲走420米用的时间和乙走用时间相同，即可求解．
【解答】解：（1）点，说明甲用小时走完全程，此时乙走了200千米，则乙的速度为；
（2）两车2小时相遇，相遇后甲乙都走了小时，共走了200米，则甲乙的的速度和为，乙的速度为60．则甲的速度为90；
（3）甲乙2小时相遇，则的距离为千米，
（4）设甲准备了个小时，则甲乙的距离为，则甲走300米用的时间和乙走用时间相同，此时甲的速度为，乙的速度为：，
即，
解得：，
故答案为．
【点评】本题考查的是一次函数应用，本类题目的关键是分清各个点对应的关系，由此求出甲乙的速度，进而求解．
19. （2021秋•深圳期中）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于20件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为20元件，乙种奖品的单价为10元件．
（2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元，
甲种奖品不少于20件，
．
依题意，得：，
，
随值的增大而增大，
当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式．
20. （2021•新野县三模）按照新冠疫情防控要求，学校应准备好测温枪和消毒液等防疫物资．某学校共有24个班级，每班配一把测温枪，门卫室配2把，学校备用4把，消毒液若干．已知5把测温枪和3箱消毒液共需1500元，2把测温枪和5箱消毒液共需790元．每天要对校园全面消毒，消毒液至少备足一个月的用量，每天消耗一箱消毒液，每月按30天计算．
（1）求测温枪和消毒液的单价分别为多少元；
（2）甲、乙两家不同的医药公司，销售同一品牌和价格的测温枪和消毒液，两家公司给出了不同的优惠方案：
甲：所购物品统一打八五折；
乙：购买一个测温枪送一箱消毒液．
①以（单位：箱）表示购进消毒液的数量，（单位：元）表示应支付金额，分别就两家医药公司的优惠方式，求出关于的函数关系式；
②由于学校后勤仓库容量有限，最多存放50箱消毒液，如何选择这两家医药公司去购买更合算？
【分析】（1）设测温枪为元把，消毒液为元箱，根据5把测温枪和3箱消毒液共需1500元，2把测温枪和5箱消毒液共需790元列出方程组求解即可；
（2）①根据两家公司的优惠方案写出函数关系式即可；②先做出甲、乙两家公司的费用之差，然后根据费用差大于0、小于0，等于0选择合适的公司即可．
【解答】解：（1）设测温枪为元把，消毒液为元箱，
由题意得：，
解得：，
答：测温枪单价270元，消毒液单价为50元；
（2）①从甲公司购买的费用：，
从甲公司购买时关于的函数关系式为；
从乙公司购买的费用：，
从乙公司购买时关于的函数关系式为；
②，
Ⅰ、如果从一家公司购买：
从甲、乙两家公司购买的费用之差为：，
当时，解得：，
此时选乙家公司购买更合适，
当时，选择甲家公司更合适，
当时，两家公司的花费一样多．
Ⅱ、如果从两家公司购买：
从乙公司购买30把测温枪，赠30箱消毒液，剩余消毒液在甲公司购买，需要花费：
，
，，
从两家公司购买更合适．
从一家公司购买，当时，选择甲家公司更合适；当时，两家公司的花费一样多；当时，选择乙公司更合适．从两家公司购买，可以从乙公司购买30把测温枪，赠30箱消毒液，剩余消毒液在甲公司购买．
【点评】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和方程组．
21. （2021•温州模拟）某体育器材专卖店销售，两款篮球，已知款篮球的销售单价比款篮球多10元，且用4000元购买款篮球的数量与用3600元购买款篮球的数量相同．
（1）、两款篮球的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，、两款篮球很快售完，该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且款篮球的数量不少于款篮球数量的2倍．
①求款篮球至少有几个；
②老板计划让利顾客，款篮球8折出售，款篮球的销售单价不变，且两款篮球的进价每个均为60元，应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）设款篮球的单价是元，则款篮球的单价是元，根据“已知款篮球的销售单价比款篮球多10元，且用4000元购买款篮球的数量与用3600元购买款篮球的数量相同”列分式方程解答即可，注意分式方程要检验；
（2）设购买款篮球个，根据“该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且款篮球的数量不少于款篮球数量的2倍”列不等式解答即可；
②根据题意可以得到利润与购买款篮球数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）设款篮球的单价是元，则款篮球的单价是元，
根据题意得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：、两款篮球的销售单价分别是100元、90元；
（2）①设购买款篮球个，则购买款篮球个，
款篮球的数量不少于款篮球数量的2倍，
，
解得，，
故款篮球至少有80个；
②设销售利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买款篮球80个，款篮球20个时，能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是2200元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
22. （2021•河南模拟）小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．
（1）求大卷和小卷壁纸的单价；
（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸卷．
①设购买壁纸总费用为元，写出与的函数关系式；
②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．
【分析】（1）设大卷壁纸单价为元卷，小卷壁纸单价为元卷，根据购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元，列方程组求解即可；
（2）①设购买大卷壁纸卷，根据总费用等于大、小卷费用之和列出函数关系式即可；②根据买壁纸的预算不能超过15000元，可求出的最大值，再根据函数的性质求面积的最大值即可．
【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为元卷，小卷壁纸单价为元卷，
由题意得：，
解得：，
答：大卷壁纸单价为400元卷，小卷壁纸单价为250元卷；
（2）①购买大卷壁纸卷，购买小卷壁纸卷，
则，
与的函数关系式为；
②，
，
解得：，为整数，
设贴墙壁的面积为，
则，
，
随的增大而增大，
最大值为33，
，
答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．
【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式．
23. （2021•洛阳二模）第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
※每个大盘的批发价比每个小盘多120元；
※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；
※※※每套组合瓷盘的批发价为320元
根据以上信息：
（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；
（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的大盘成套销售，每套500元，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘个．
①试用含的关系式表示出该商户计划获取的销售额；
②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案并求出最大销售额．
【分析】（1）设每个大盘的批发价是元，则每个小盘的批发价是元，然后根据一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘，每套组合瓷盘的批发价为320元，可以列出方程，从而可以求得每个大盘与每个小盘的批发价；
（2）①设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，销售额为元，销售额单价乘数量，可以得到与的函数关系式；
②根据大盘和小盘的总数不超过320个，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围，注意为整数，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：（1）设每个大盘的批发价是元，则每个小盘的批发价是元，
，
解得，，
，
答：每个大盘的批发价是160元，每个小盘的批发价是40元；
（2）①设该商户购进大盘个，则该商户购进小盘的数量是个，销售额为元，
，
即该商户计划获取的销售额为元；
②，
解得，，
为整数，
且为整数，
，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买50个大盘，268个小盘时可以获得最大销售额，最大销售额是20150元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式，利用一次函数的性质解答．
24. （2021•洛江区模拟）经济快速发展使得网店的规模越来越大，现甲、乙两家电商公司拟各招聘一名网络客服，日工资方案如下：甲公司规定底薪100元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪140元，日销售量不超过44件没有提成，超过44件且不超过48件时，超过的部分每件提成8元，超过48件的部分每件提成10元．现随机抽取了甲、乙两家销售公司100天的销售单数，对两个公司的推销员平均每天销售单数进行统计，数据如图．

（1）如果甲公司一名网络客服的日销售件数为46件，则甲公司这名网络客服当日的工资为多少元？
（2）设乙公司一名网络客服的日工资为（单位：元），日销售件数为件，写出乙公司一名网络客服的日工资（单位：元）与销售件数的关系式；
（3）小华利用假期到两家公司中的一家应聘网络客服，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．
【分析】（1）根据甲公司的日工资方案进行计算即可；
（2）根据乙公司的日工资方案进行解答即可得出结果；
（3）分别表示出甲、乙两间公司的平均日工资，再进行解答即可．
【解答】解：（1）甲公司这名网络客服当日的工资为：（元，
甲公司这名网络客服当日的工资为146元；
（2）当时，；
当时，；
当时，，
乙公司一名网络客服的日工资与销售件数的关系式为：
；
（3）甲公司一名网络客服的平均日工资为：
（元；
乙公司一名网络客服的平均日工资为：
（元，
，
如果从日均收入的角度考虑，建议他去乙公司．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是分析清楚题意，明确其中的等量关系．
25. （2021•雨花区校级一模）2021年中考在即，为了更好地调整同学们的应试状态，我校某班积极筹备体育释压活动，现决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元．
（1）求在线下商店购买篮球和足球的单价；
（2）经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折，若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？
【分析】（1）设在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元，根据购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元，列出方程组，求解即可；
（2）设学校在线上商店购买个篮球，则购买个足球，根据题意列出函数关系式，再根据的取值范围由函数的性质求最小值．
【解答】解：（1）设在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：在线下商店购买篮球的单价为80元，足球的单价为60元；
（2）设学校在线上商店购买个篮球，则购买个足球，
依题意得：，
解得：．
设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值（元．
答：学校在线上商店购买40个篮球，20个足球时，所花费用最少，最少费用为4160元．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
26. （2021•昆明模拟）某电器商场销售甲、乙两种品牌的节能热水器，已知每台乙种品牌热水器的进价比每台甲种品牌热水器的进价高，同样用6000元购进的乙种品牌热水器数量比甲种品牌热水器数量少1台．
（1）求甲、乙两种品牌热水器的进货价；
（2）该商场拟用不超过11000元购进甲、乙两种品牌热水器共10台进行销售，其中甲种品牌热水器的售价为1500元台，乙种品牌热水器的售价为1800元台．请你帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台热水器后获利最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设甲种品牌热水器的进货价为元台，乙种品牌热水器的进货价为元台，可得，解得，即可求解；
（2）设甲种品牌热水器购进台，则乙种品牌热水器购进台，利润为，由题意可得，求得的函数解析式，根据函数的增减性讨论最值问题，即可求解．
【解答】解：（1）设甲种品牌热水器的进货价为元台，乙种品牌热水器的进货价为元台，
，
解得：，
，符合条件，
甲种品牌热水器的进货价为1000元台，乙种品牌热水器的进货价为元台；
（2）设甲种品牌热水器购进台，则乙种品牌热水器购进台，利润为，
，
解得：，
此时，
，随增大而减小，
时，取得最大值为：，
即购进甲种品牌热水器5台，购进乙种品牌热水器5台，获得利润最大，为5500．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，熟练掌握一次函数解析式、一元一次不等式分类讨论求最值的方法是解决问题的关系．

【解题技巧】
基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤：
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）写出答案．
注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．