2022-2023学年湖北省恩施州恩施市第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省恩施州恩施市第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．32B．31C．16D．15
【答案】D
【分析】根据题意可得，从而利用公式可求出其真子集的个数.
【详解】解：由题意得，
其真子集有个.
故选：D.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】将全称命题否定为特称命题即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可以得出命题“，”的否定为“，”.
故选：B
3．下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域和对应法则相等即可判断是相等函数.
【详解】函数的定义域，值域，
对于A，中，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，当时，，当时，，
与函数是同一个函数，D正确.
故选：D
4．“”是“对恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的定义进行判断，由此确定正确选项.
【详解】由，得，则对恒成立；由恒成立，得或则．故“”是“对恒成立”的充分不必要条件．
故选：A
5．设函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．或1
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式，分时和时，由，解方程可得实数的值.
【详解】解：由题意知，；
当时，有，解得（舍去）；
当时，有，解得（舍去）或.
所以实数的值是：.
故选：C.
6．已知函数满足，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件利用赋值法求解，先求出，再求出，从而可求出.
【详解】令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
故选：A
7．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27B．23C．25D．29
【答案】A
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A
8．已知函数满足对任意，当时都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用增函数的定义求解即可.
【详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．若，，为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AB
【分析】利用不等式的性质，逐个判断命题的真假.
【详解】对于A，若，当时，由不等式的性质，有，故A正确；
对于B，由题意得，有，若，则，即，故B正确；
对于C，不妨取，满足，但，故C错误；
对于D，若，，不妨取，则，故D错误，
故选：AB
10．设，.若，则实数的值可以为（ ）
A．1B．2C．0D．
【答案】ABC
【分析】由可知，根据集合B的子集，对集合A分类讨论，求实数的值.
【详解】由得：，
当时，，符合题意；
当时，，若，则；若，则；
由于A中至多有一个元素，故，
所以实数的值可以为，
故答案为：ABC
11．已知不等式的解集为或，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．B．不等式的解集为或
C．D．不等式的解集为或
【答案】AB
【分析】对于A，由不等式的解集进行判断，对于BD，由韦达定理，然后结合一元二次不等式的解法进行判断，对于C，由不等式的解集结合根与系数的关系判断.
【详解】不等式的解集为或，
所以，，所以A正确，
所以，
由解集形式可知，由于，所以，
所以，所以C不正确，
由，得，因为，
所以，即，
因为，所以，
所以不等式的解集为或，所以B正确，D错误，
故答案为：AB
12．以下结论正确的是（ ）
A．若，，，则的最小值为1；B．若且，则；
C．函数的最大值为0.D．的最小值是2；
【答案】ABC
【分析】根据均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐个验证选项是否正确.
【详解】对于A，由，由均值不等式可得（当且仅当时，等号成立），解得，所以的最小值为1，故A正确；
对于B，由知，根据均值不等式可得，（当且仅当时，等号成立），故B正确；
对于C，由，有，由均值不等式可得，（当且仅当时，等号成立），
有，当且仅当时取等号，所以函数的最大值为0，故C正确.
对于D，，等号成立的条件是，即，而不成立，所以等号不成立，因此的最小值不是2，故D错误；
故答案为：ABC
三、填空题
13．函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】由函数解析式有意义列不等式求自变量的取值范围即可.
【详解】由题意得，解得即或，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
14．下列六个关系式：①，②，③，④，⑤，⑥；正确的关系式的序号为___________.
【答案】①②③⑤
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系以及空集的定义和性质，逐个判断关系式.
【详解】①根据元素与集合的关系可知0正确；
②集合中的元素只有一个，所以正确；
③根据空集是任何集合的子集可知正确；
④空集不含任何元素，集合有一个元素，所以不正确；
⑤因为任何集合都是本身的子集，故正确；
⑥由集合的交集运算可知，故不正确.
故正确的有①②③⑤.
故答案为：①②③⑤.
15．已知函数则函数的解析式为___________.
【答案】
【分析】利用换元法令，再代入函数求解即可.
【详解】令，则，则
故答案为：
16．已知，且，，则的最小值为___________.
【答案】##.
【分析】由于，，所以，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，所以
又因为，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，然后利用交集的定义求出；
（2）由题意可得，然后分和两种情况求解即可.
【详解】（1）时，，
由，得，解得或，
所以或，
所以
所以
（2）由于是的充分条件，则，
若，则，解得：；
若，则或，解得：；
综上所述：实数的取值范围为；
18．已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
【分析】（1）零点分段去绝对值，把表示为分段函数，根据函数类型判断单调性；
（2）由单调性，分段求函数的值域，再取并集.
【详解】（1），
由一次函数的单调性可知，的单调递增区间为，单调减区间为
（2）当时，，
当时，，
当时，，
故函数的值域为.
19．因疫情影响，超市某种水果的价格起伏较大，第一周该水果的价格为元，第二周该水果的价格为元，甲乙两人都在这两周去买了水果，甲采用的是两次购买的水果数量一定的方法，乙采用的是两次购买水果所花的钱一定的方法，甲两次购买水果的平均价格为，乙两次购买水果的平均价格为.
(1)求，的表达式（用和表示）
(2)试比较哪种购物方式更划算（平均价格越低越划算）.
【答案】(1)，
(2)乙采用的购物方式更划算
【分析】(1)求出总花费及购物总量后可得均价；
(2)两者的均价作差后比较大小，得出划算的方式.
【详解】（1）设甲两次购水果的数量均为，则两次购买水果总费用为，平均价格，
设乙两次购水果所花的钱均为，则乙两次购水果的数量和为，则
所以，，
（2），显然，，
即，
因此，乙采用的购物方式更划算，即两次购物所花的钱一样的方式比较划算.
20．乡村振兴是近几年农村发展的重要措施，某村为了利用当地优势，大量种植了改良的新品种板栗，经大量研究发现，该板栗品种每株的产量（单位：千克）与施用有机化肥（单位：千克）满足如下关系：，每株施用的有机化肥及其它成本总投入为元.已知这种新型板栗的市场售价为16元/千克，且销路畅通供不应求，记该板栗树每株的利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式；
(2)当施用有机化肥为多少千克时，每株板栗树的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)当施用有机化肥为2千克时，该板栗树每株的利润最大，最大利润为160元
【分析】（1）由利润等于销售总价减去总成本即可得的解析式；
（2）求出每一段上的最大值，然后比较可得答案.
【详解】（1）由题意得，
即；
（2）当时，，
其对称轴为，故当时，函数取得最大值；
当时，，此时
所以的最大值为160.
即当施用有机化肥为2千克时，该板栗树每株的利润最大，最大利润为160元.
21．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)在上单调递减，证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据单调性的定义证明即可；
(2)由已知可得，再根据函数的单调性求的最小值，由此可得实数的取值范围；
(3) 由已知可得，再根据函数的单调性求的最大值，由此可得实数的取值范围.
【详解】（1），设，
则，
，，，，
即，所以，即，
则在上单调递减；
（2）不等式在上恒成立，即
由（1）得在上为减函数，所以，所以
则的取值范围为；
（3）存在，使得不等式成立，即不等式在上有解，则
由（1）得在上为减函数，所以，所以，
则的取值范围为.
22．对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数，（其中为常数）且函数不存在“伸缩3倍点”，
(1)求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集；
(3)求函数在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意可得无解，再根据判别式求解即可；
（2）由（1）可得，因式分解有，再根据二次函数两根的关系，分情况讨论，和三种情况求解即可；
（3）根据二次函数对称轴，讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数的性质求解最小值即可.
【详解】（1）∵不存在“伸缩3倍点”，即无解，
即无解，则解得
（2）由（1）可得，
（i）当时，，此时不等式的解集为；
（ii）当时，，此时不等式的解集为；
（ⅲ）当时，，此时不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3），对称轴
（i）当时，，所以在单调递增，
（ii）当时，，
所以在单调递减，在单调递增，则
综上所述：当时，
当时，