2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学高中部高一上学期第二次阶段检测数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市东北育才学高中部高一上学期第二次阶段检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求解两个集合，再求集合的交集.

【详解】由得所以集合．

由，得，解得，所以集合，

所以.

故选：B．

2．已知命题p：“”，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据命题的否定的定义判断．

【详解】特称命题的否定是全称命题．

命题p：“”，的否定为：．

故选：C．

3．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

4． 对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.

5．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ）

A． B．， C．， D．

【答案】C

【分析】先确定，再转化为在区间上为减函数，且，即可求得的取值范围.

【详解】解：若，则在区间上为增函数，不可能，舍去；

若，则在区间上为减函数，且,

即的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.

6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（    ）

A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年

【答案】D

【分析】根据题意，设第年开始超过200万元，可得，从而可得的取值范围，分析即可得答案．

【详解】解：根据题意，设第年开始超过200万元，

则，

化为：，

解可得：；

则，

所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年.

故选：D．

7．已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是（    ）

A． B．

C．[2，3] D．[1，2]

【答案】B

【分析】由函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞，1]上递减，可得t≥1，从而可得f(x)在[0，t＋1]上的最大值为f(0)＝1，最小值为f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，进而得1－(－t2＋1)≤2，从而求出t的取值范围

【详解】由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，

又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.

则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，

f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，

要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，

都有|f(x1)－f(x2)|≤2，

只需1－(－t2＋1)≤2，解得.

又t≥1，∴.

故选：B

【点睛】此题考查了二次函数的性质，属于基础题.

8．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．

【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，

由，可知的图象关于对称，

作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，

可得作出在上的图象，如图所示．

再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，

由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，

故选B．

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．

二、多选题

9．下列结论成立的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】CD

【分析】对于A，运用举反例的方法，可判断；

对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；

对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；

对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.

【详解】对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.

对于B，，，，得不出，故B不成立；

对于C，，，又，，故C成立；

对于D，，，，即，故D成立.

故选:CD.

【点睛】本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.

10．若，则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．的最小值为 D．若，则

【答案】ABD

【解析】A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断.

【详解】A. 因为，故正确；

B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确；

C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误；

D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确；

故选：ABD

11．下列说法正确的序号是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．一次函数满足，则函数的解析式为

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

【答案】AC

【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；

对B，设，则可得，建立方程组求解即可；

对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；

对D，分别讨论、解的个数即可

【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对；

对B，设一次函数，则，

∵，，解得或，函数的解析式为或，B错；

对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，

，，，，，C对；

对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得，

或，D错.

故选：AC

12．设函数，且，下列说法正确的是（    ）

A．函数有最小值0，无最大值

B．函数与直线的图像有两个不同的公共点

C．若，则

D．若，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】由题意画出图像，由图像可知的最小值为0，无最大值，且图像与只有一个公共点，从而可对选项A,B进行判断，，且可知在图像中如图，，且，，且，由此可对C选项进行判断，由图可知，，且，，从而由得，则，再由，可求得其范围

【详解】解：由题意画出图像.

A项，当时，，无最大值，所以A正确

B项，与只有一个公共点，所以B错误

C项， ，且可知，在图像中如图，，且，，且，则，则，所以，所以，所以C正确

对于D，由图可知，，且，，

则可写为，

，

，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数的图像和性质的应用，解题的关键是准确的画出函数的图像，利用数形结合的思想解题，属于中档题

三、填空题

13．已知函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．

【答案】2

【分析】由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，得出m＝2或m＝－1，代入验证即可.

【详解】是幂函数，

根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1．

解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f（x）＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；

当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，

所以m＝2．

故答案为：2

【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.

14．已知函数 ，则_________．

【答案】-2

【详解】，则．

15．设函数，则使得成立的x的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】由题意，判函数的奇偶性以及单调性，可解得不等式，可得答案.

【详解】由函数，其定义域为R，且，

则函数为偶函数，即，

由函数在上单调递增，且，在上单调递减，则在上单调递减；

由函数在上单调递增，且，在上单调递减，则在上单调递减；

故函数在上单调递减，则，，即，

两边分别平方，可得，整理可得，则，解得.

故答案为：

16．已知，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由可知，，，利用基本不等式即可求最值.

【详解】因为，所以，，

当且仅当 即，时等号成立，

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

四、解答题

17．计算：（1）；

（2）.

【答案】（1） ； （2）.

【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.

【详解】由题意，（1）原式；

（2）原式.

【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18．已知全集,集合,.

(1)求;

(2)若集合,且,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）解指数不等式求得集合，由此求得,求函数值域求得集合，进而求得.

（2）分两种情况，结合进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.

【详解】(1)由已知得,∴或.当时，，所以

∴或.

(2) 当时,即时,,满足,

当时,由题意,解得, 综上,实数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查指数不等式和指数函数值域的求法，属于基础题.

19．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

【答案】（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【解析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；

（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.

【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；

当40≤x≤100时，L(x)＝

．

所以

（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，

所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．

②当40≤x≤100时，，

当且仅当，即x＝50时取等号．

因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．

答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.

20．设函数的定义域为[，4]．

（1）若t＝log2x，求t的取值范围；

（2）求y＝f（x）的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．

【答案】（1）[－2，2]；（2）x＝时，ymin＝－；x＝4时，ymax＝12．

【分析】（1）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求得取值范围；

（2）把利用对数式的运算性质化为含有的二次函数，然后利用配方法求函数的最值，并由此求出最值时对应的的值．

【详解】（1）∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，

∴－2≤t≤2．

∴t的取值范围是[－2，2]．

（2）y＝f（x）＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，

由（1）知t＝log2x，t∈[－2，2]，

∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－．

当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，

当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12．

【点睛】本题考查对数的运算和二次型函数的最值问题，考查换元法，属于中档题.

21．已知函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．

（1）判断的奇偶性；

（2）求在区间上的最大值；

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）奇函数；（2）6；（3）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．

【分析】（1）令，求出，再令，化简整理即可.

（2）任取，且，则，由，且，再结合（1）的结论得解.

（3）根据前边的结论，把整理为，再分类讨论解即可.

【详解】解：（1）取，则，即．

取，则，

即对任意恒成立，故函数为奇函数．

（2）任取，且，则．

∴，

∴．

又∵为奇函数，∴．

∴在区间内是减函数．

∴对任意，恒有．

∵，

∴，

∴在区间上的最大值为6．

（3）∵为奇函数，，

∴整理原不等式得．

∴．

∵在区间内是减函数，

∴，即．

∴当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

【点睛】考查抽象函数的单调性、奇偶性的应用以及分类讨论解含参数的一元二次不等式，属于难题.

22．已知函数．

（1）解不等式；

（2）若函数在上有零点，求m的取值范围；

（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）设，将原不等式化为一元二次不等式，解得即可；

（2）设，则，，令，求出函数在上的值域，即可求出参数的取值范围；

（3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的性质求出函数的最值，即可得解．

【详解】解：（1）因为，

所以

设，，

原不等式可化为，

整理可得，解得，

即，解得，

所以不等式的解集为．

（2）设，由可得，

则，

令，

由二次函数的知识可得，当时，，当时，，

故函数的值域为，

函数有零点等价于方程有解，等价于在的值域内，

故的取值范围为

（3）由题意得解得

即，对任意恒成立，

又时，令，则，

因为在上单调递增，

当时，有最大值，

所以