重庆市南开中学校2022-2023学年高三上学期期末数学综合复习题(含答案)

重庆南开中学高 2023 届高三（上）数学综合复习题

一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

1．已知为虚数单位，复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

3．若已知直线与圆交于两点，则“”是“弦所对圆心角为”的（    ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（    ）

A． B．2 C． D．

5．已知等比数列的前项和为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．

设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（    ）

A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为

B．

C．使得不等式成立的的最大值为4

D．数列的前项和

8．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中．有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与平行，则

B．正项等比数列满足，，则

C．在中，，，若三角形有两解，则边长的范围为

D．函数为奇函数的充要条件是

10．动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（    ）

 A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出

 B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低

 C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池

 D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好

11．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．设，则

12．数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推．记的前项和为，则（    ）

A． B．存在正整数，使得

C． D．数列是递减数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．

13．已知，，则______________．

14．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠环相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的最少移动次数，且数列满足，，（，），则解开九连环最少需要移动______________次．

15．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______________．

16．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是______________．

四、解答题：本题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17．圆心在射线上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）求过点且与该圆相切的直线方程．

18．已知的内角的对应边分别为，，，．

（1）求；

（2）设为边上一点﹐且，求的面积．

19．已知数列的前n项和为，且，．

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）证明：．

20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部长肖亚庆先生提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接纯收益（亿元）的数据统计如下：

当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型．

（附：刻画回归效果的相关指数，）

（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，应用（1）的结论，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．

（附：线性回归方程的系数关系：）

（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励4元．记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）．

（附：若随机变量，则，）

21． (12分)

已知函数,,其中e为自然对数的底数．

（1）当时，求证：；

（2）是否存在直线与函数及的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．

22．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点,的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为：，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．

①求的取值范围；

②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．

重庆南开中学高 2023 届高三（上）数学综合复习题参考答案

一．单选题   BAAC       DBCD

二．多选题   9．BCD            10．AB           11．BCD          12．ACD

三．填空题   13．        14．        15．         16．

四．解答题

17．解：（1）设圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，

而，即，解得（舍去），故所求圆的方程为．

（2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意．

当切线斜率存在时，设切线为，即，圆心，半径，

，解得．当切线的斜率存在时，其方程为，即．

综上，切线方程为或．

18．解：（1）由正弦定理得：，即，

，在中，，，

所以，因为，所以．

（2）由余弦定理可得，即，

整理得：，解得或（舍去），

，，解得，

在中，，所以，，即是的中点，

所以的面积．

19．解：（1）因为，所以，又因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，故

（2）由（1）知，，则，

作差，得，

所以，又因为，所以．故．

20．解：（1）由表格中的数据，，所以，

所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．

所以回归模型②的拟合效果更好．

（2）由（1）回归模型②的拟合效果更好，其回归方程为，

所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．

当时，由已知可得，．

所以．

所以当时，与满足的线性回归方程为．

当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．

当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，

所以技术升级投入亿元时，公司的实际收益更大．

（3）因为，，

所以

；．

所以（元）．

21．解：（1）设，，．

因为在为增函数，且，

所以，，为减函数，，，为增函数．

所以，，即证．

（2）设直线与切于，与切于，．

，，，所以切线为．

因为，即，即．

又因为，将，代入，

得：，整理得．

设，，

因为在为增函数，且时，，

所以，，为减函数，，，为增函数．

，

又因为，，

所以在上有两个零点，即方程有两个根，

所以有两条直线与函数及的图象均相切．

22．解：（1）设，由题意（常数），

整理得：，故，

又，解得：，，∴，椭圆的方程为．

（2）①由，又，∴，

令，则，设，则有，

又直线的斜率，则，，代入得：

，即，∵，∴．

②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，

设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有，

即，解得：．

又，故，∴，

又，

∴，

解得：，，∴，

∴直线的方程为．