江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷(含答案)

2022-2023学年高二期末模拟检测 数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知点，直线，点R是直线l上的一个动点，若P是RA的中点，则点P的轨迹方程为(    )

A．  B．  C．  D．

2. 已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则a的取值范围是(    )

A．  B．  C．  D．

3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为(    )

A．  B．  C．  D．

4. 已知，则动点P的轨迹是(    )

A． 双曲线 B． 双曲线左边一支 

C． 一条射线 D． 双曲线右边一支

5. 对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若，，为数列的前n项和，则(    )

A．  B．  C．  D．

6. 若正项数列中，，，则的值是(    )

A． B． C．  D．

7. 函数的图象大致为(    )

A．  B．
C．  D．

8. 已知函数，则“”是“是的极小值点”的(    )

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.  设有一组圆：，下列说法正确的是(    )

A． 这组圆的半径均为1
B． 直线平分所有的圆
C． 直线被圆截得的弦长相等
D． 存在一个圆与x轴和y轴均相切

10. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是(    )

A． 若直线与双曲线C无交点，则
B． 焦点到渐近线的距离为2
C． 点P到两条渐近线的距离之积为
D． 当P与A，B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2

11. 已知数列是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是(    )

A． 符合题意的数列有无数多个 B． 符合题意的实数d有无数多个
C． 符合题意的数列仅有一个 D． 符合题意的实数d仅有一个

12. 设，在上可导，且，则当时，有(    )

A．  B．
C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为__________．

14．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线、，且A、B为切点，若直线的倾斜角为，则P点的横坐标为__________．

15．设数列满足，，，数列前n项和为，且且若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为__________．

16．已知对任意都成立，则实数a的最小值是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为
 

若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程；

若折痕所在直线的斜率为k，为常数，试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；

当时，求折痕长的最大值．

18．（12分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．
求圆N的标准方程;
设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值;
设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由．

19．（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，

求抛物线方程；

若，求k的值；

过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值．

20．（12分）已知正项数列的前n项和为，且

求数列的通项公式；

若，数列的前n项和为，求的取值范围；

若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．

21．（12分）设函数
若，求的极值；
讨论函数的单调性；
若，证明：…

22．（12分）已知抛物线上有一动点，，过点P作抛物线C的切线l交y轴于点

判断线段的垂直平分线是否过定点?若过，求出定点坐标;若不过，请说明理由;
过点P作l的垂线交抛物线C于另一点M，若切线l的斜率为k，设的面积为S，求的最小值．

参考答案

1．【答案】C 

【解析】

解：设，，

已知，由P是RA的中点，

，则①．

点R是直线l上的一个动点，②．

把①代入②得：，即

点P的轨迹方程为

故选：

2．【答案】C 

【解析】

解：由题意可知圆与圆C相交，
则，
解得或
故选

3．【答案】B 

【解析】

解：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以可设椭圆C的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为故选

4．【答案】D 

【解析】

解：，
且   ，
动点P的轨迹为双曲线的右边一支．

故选

5．【答案】A 

【解析】

解：由题意，当，，，时均有，
所以

故本题选

6．【答案】A 

【解析】

解：正项数列中，时，，
时，，
依次可求，
猜想，
利用数学归纳法正明．
时，显然成立；
假设时，，
当时，，
故，
故时，结论也成立．
故猜想成立．
故，
则，
故选

7．【答案】A 

【解析】

解：由，可得函数的减区间为，增区间为，
当时，，可得选项
故选

8．【答案】C 

【解析】

解：  若，则
当时，，单调递减;
当时，，单调递增．
故是的极小值点．
若是的极小值点，则，解得，
经检验．当时，是的极小值点，
故“”是“是的极小值点”的充要条件．
故选

9．【答案】AD 

【解析】

解：由圆：，可得这组圆的圆心为，半径为1，故A正确；

将代入中，得不恒成立，即直线不恒过圆心，故B错误；

圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值，所以直线被圆截得的弦长不相等，故C错误；

若存在一个圆与x轴和y轴均相切，则，解得，故D正确．

10．【答案】BC 

【解析】

解：A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为，
所以与双曲线无交点，则，所以A不正确；
B中，由A知渐近线的方程为，焦点，
所以焦点到渐近线的距离为，所以B正确；
C中，设，因为P在双曲线上，所以，即，
所以P到渐近线的距离之积为
，所以C正确；
D中，由双曲线的方程可得，，
则，所以D不正确；
故选：

11．【答案】AD 

【解析】

解：因为存在实数 d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，
由等差数列的性质可知，，公差为0，
故选

12．【答案】CD 

【解析】

解：令，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，

13．【答案】1 

【解析】

设点，，直线，直线
由题意知点在直线上，点在直线上，，
由，得

14．【答案】 

【解析】

解：如图，设 ， ，，
 

则 ， 又，，
 ，则

由，得，， 
切线的方程为， 

切线的方程为， 
即切线的方程为，即 ；
切线的方程为，即

点在切线、上， 

， ， 

可知 ，是方程的两个根， 

，得

15．【答案】2023 

【解析】

解：当时，，
，
，
，
又，，，
，
是首项为4，公差为2的等差数列．
，
当时，


，
，
当时，
又，

故答案为：

16．【答案】 

【解析】

解：因为，所以可等价变形为，
令，
由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
所以时，，
所以，
故答案为

17．【答案】解：折痕的斜率为时，A点落在线段DC上，
折痕必过点，
直线方程为；
①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 
则A与关于折痕所在的直线对称，有，即
点坐标为
从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，
折痕所在的直线方程，
即
综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为： 
当时，折痕长为当时，
折痕所在直线交BC于点，交y轴于
 ，
折痕长的最大值为
综上所述，折痕长度的最大值为 

18．【答案】解：由题意得：圆M的半径为，
圆心M即AB的中点为，
圆M的方程为：，
则圆N关于圆M关于直线对称的圆心为，
所以圆N的标准方程为：
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，则，，
则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则

，
当且仅当即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为
设，，
联立消去y得，
则，，
直线OP的方程为，直线DQ的方程为，联立解得，
则
，
所以，
所以点G在定直线上． 

19．【答案】解：抛物线E的顶点在原点，焦点为，

如图，若，不妨设，则
设抛物线的准线为l，
过点P作垂足为H，过点Q作，垂足为
，
在中，，，
得，
，
同理时，，

根据题意得AB，CD斜率存在且不为
设，，，，
由，
，
同理可得，
，
，
，
当且仅当时，面积取到最小值 

20．【答案】解：当时，由，得，得
由，得，
两式相减，得，
即，即
因为数列的各项均为正数，所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此，
即数列的通项公式为
由知，所以，
所以，
所以


令，
则，
递增，数列递增，所以，又易知，
所以的取值范围为
，
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，
因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数，
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，
设抽出的三个偶数从小到大依次是,
则为奇数，而，
则为偶数，为奇数，所以
又为奇数，而，
则均为偶数，矛盾，
又因为，所以，即偶数只有两项，
则奇数最多有3项，即的最大值为5，
设此等差数列为，则为奇数，为偶数，且，
由，得，此数列为1，2，3，4，5，
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1，
综上，当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列为1，2，3，4，5，和5，4，3，2， 

21．【答案】解：的定义域是，
当时，，
令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值．
，
①当时，若，则，若，则，
在上单调递减，在上单调递增；
②当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增；
③当，即时，恒成立，
在上单调递增；
④当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知在上单调递减，
时，，，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，
 

22．【答案】解：依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于，
设直线的方程为，，
由消去y并化简得，
由得，，
则，解得，
所以，
在中，令得，
所以，中点为，
所以线段的中垂线方程为，即，
所以线段的垂直平分线过定点；
由可知，直线PM的方程为，即，
由消去y并化简得：，
所以，而，
所以得，，，
，
，
所以的面积，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为